羅永高

摘 要：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中探究性學(xué)習(xí)的開展需要關(guān)注以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容的確立；（2）探究過程的指導(dǎo)；（3）課例研究中教師應(yīng)發(fā)揮的作用.

關(guān)鍵詞：探究主題；探究情境；探究過程；課例

問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出：倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí). 2012年《浙江省高考數(shù)學(xué)考試說明》明確指出“考查綜合與靈活地運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的能力，會(huì)進(jìn)行獨(dú)立的思考、探究和研究，能夠提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.” 從近幾年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷看，涌現(xiàn)了一些“注重通性通法，淡化技巧”的試題. 這些試題對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，探究能力的考查達(dá)到了相當(dāng)高的要求. 學(xué)生面對這些試題缺少有效的解決辦法，大多數(shù)學(xué)生很難上手，即使部分學(xué)生可以上手，也往往是半途而廢，不是敘述不明，就是推理不夠嚴(yán)謹(jǐn).

反思當(dāng)前高三復(fù)習(xí)課的現(xiàn)狀，往往是按“知識(shí)回顧，例題講解，鞏固練習(xí)”的順序組織教學(xué)的，這種教學(xué)方式割裂了數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生只是解題的機(jī)器，知識(shí)的回顧只是枯燥的概念、公式、定理與性質(zhì)的再現(xiàn). 在例題教學(xué)中，學(xué)生容易產(chǎn)生對知識(shí)模塊的依賴性，一旦脫離鞏固練習(xí)，面對陌生情境的數(shù)學(xué)問題時(shí)，就很難順利而又準(zhǔn)確地提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法去解決問題.

針對這種現(xiàn)象，筆者認(rèn)為有必要在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和問題解決的途徑，使他們重新經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，通過親身體驗(yàn)、內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究問題的欲望，提升解決問題的水平. 因此在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，適當(dāng)開展探究性學(xué)習(xí)是十分必要的.

探究性學(xué)習(xí)的界定

探究性學(xué)習(xí)即學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，以數(shù)學(xué)探究課題的案例和背景材料為載體，通過運(yùn)用一定的教學(xué)方法與教學(xué)組織形式，把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的發(fā)現(xiàn)、探究等認(rèn)識(shí)活動(dòng)呈現(xiàn)出來，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的學(xué)習(xí)過程，并在此過程中理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)初步的研究意識(shí).

探究性學(xué)習(xí)的開展過程

（一）探究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容的確立

1. 探究主題的選擇

吳剛平教授關(guān)于《教學(xué)方式變革的知識(shí)觀基礎(chǔ)》的講座中講到：

知識(shí)觀的核心是對知識(shí)進(jìn)行分類，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式分類，可以把知識(shí)分成以下三類：

第一類為事實(shí)性知識(shí)（學(xué)科知識(shí)），其行為動(dòng)詞為：理解、記憶、再現(xiàn)、判斷，簡稱為“記中學(xué)”. “記中學(xué)”掌握知識(shí)的難點(diǎn)是記不住、遺忘. 掌握知識(shí)的策略是重復(fù)訓(xùn)練.

第二類是方法性知識(shí)（學(xué)科方法、學(xué)習(xí)方法），其行為動(dòng)詞為：解釋、推理、運(yùn)用、操作、拓展，簡稱為“做中學(xué)”. “做中學(xué)”的核心是學(xué)生自主學(xué)習(xí)獲得知識(shí).

第三類為價(jià)值性知識(shí)（學(xué)習(xí)意義、學(xué)科意義），其行為動(dòng)詞為：體驗(yàn)、反思、取舍、定向、創(chuàng)造，簡稱為“悟中學(xué)”. “悟中學(xué)”解決的問題是學(xué)生是否愿意學(xué)、樂學(xué).

現(xiàn)在許多學(xué)科方法、學(xué)習(xí)方法都是通過教師講授、學(xué)生聽的方式獲得，缺乏學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程，表面上學(xué)生掌握了許多方法，實(shí)際上獲得的是事實(shí)性知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生記憶總量增加，學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)加重，學(xué)習(xí)效果低下.

同樣，許多價(jià)值性知識(shí)也是通過教師講授、學(xué)生聽的方式獲得，學(xué)生得到的是一些價(jià)值觀念的結(jié)論，缺乏學(xué)生體驗(yàn)、悟的過程，學(xué)生往往缺乏真正的學(xué)習(xí)動(dòng)力.

反思高三復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀，經(jīng)過一年的復(fù)習(xí)，該整理的問題、該歸納的知識(shí)點(diǎn)、該強(qiáng)化的解題方法都已一一梳理過了，但復(fù)習(xí)后學(xué)生的思維似乎僵化了，解題方法似乎也單一了. 其中的原因是我們太關(guān)注“記中學(xué)”，缺乏“做中學(xué)”及“悟中學(xué)”.

高三復(fù)習(xí)過程中如何根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)，選擇合適的探究內(nèi)容，進(jìn)行“做中學(xué)”呢？依據(jù)上述觀點(diǎn)，可以嘗試從以下兩個(gè)方面入手：

（1）讓學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之前，有的數(shù)學(xué)知識(shí)已被學(xué)生遺忘，有的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)生模糊不清，有的數(shù)學(xué)知識(shí)雖被記住，但它們在學(xué)生頭腦中是孤立的、零碎的、雜亂無章的，而知識(shí)間是有層次聯(lián)系的，心理學(xué)研究表明，良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于記憶理解、檢索加工、提取應(yīng)用.因此高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一個(gè)重要任務(wù)就是讓學(xué)生將新學(xué)知識(shí)重新理解、記憶，“聯(lián)珠編網(wǎng)”，構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò). 但是在高三復(fù)習(xí)中，對基礎(chǔ)知識(shí)的回顧與復(fù)習(xí)，有的教師是孤立地進(jìn)行梳理，缺乏對知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的提煉. 學(xué)生往往局限于對知識(shí)點(diǎn)的記憶，效率很低.

為了提高復(fù)習(xí)成效，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)的歸納，通過引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)的產(chǎn)生過程，掌握知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

案例1 三次函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)，既是熱點(diǎn)又是難點(diǎn)，但教材和各種資料中往往只從求導(dǎo)、求極值、求單調(diào)區(qū)間等角度進(jìn)行一些零碎的、淺表的探索，并沒有像二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)那樣進(jìn)行系統(tǒng)的分析. 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中教師有必要引導(dǎo)學(xué)生，類比研究二次函數(shù)的方法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具來系統(tǒng)地探究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并把學(xué)生的探究結(jié)果進(jìn)行歸納. 完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過學(xué)生探究知識(shí)結(jié)構(gòu)，一方面可加深學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的記憶，理解知識(shí)間的聯(lián)系，另一方面可以讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納整理的能力.

（2）讓學(xué)生研究典型問題

2. 探究情境的創(chuàng)設(shè)

探究性學(xué)習(xí)是一種有目的、有計(jì)劃、有組織的學(xué)習(xí)活動(dòng)，必須整合教師、學(xué)生、教材等之間的關(guān)系. 探究情境的創(chuàng)設(shè)依據(jù)是：基于目標(biāo)，基于數(shù)學(xué)問題的特征，基于學(xué)生的學(xué)情.

基于目標(biāo)：目標(biāo)是探究活動(dòng)每一個(gè)階段所要實(shí)現(xiàn)的結(jié)果，是衡量探究質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn). 我們不僅要明確具體的目標(biāo)要求（課程標(biāo)準(zhǔn)及高考的要求），而且還要關(guān)注在探究過程中的目標(biāo)的達(dá)成.

基于數(shù)學(xué)問題的特征：應(yīng)明確問題是否具備可探究性，即數(shù)學(xué)問題必須對學(xué)生構(gòu)成問題，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生疑問，引發(fā)學(xué)生思考. 數(shù)學(xué)問題還需具備探究的可能性，即學(xué)生是否可以通過探究來掌握這些知識(shí)與方法.

基于學(xué)生的學(xué)情：即分析學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)，對照目標(biāo)還需要具備哪些條件，通過已有的基礎(chǔ)和目標(biāo)之間的差異比較，分析探究中可能出現(xiàn)的障礙.

然后確定探究任務(wù). 在案例1三次函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建中，如何確定合適的探究任務(wù)呢？

三次函數(shù)在歷年的高考中，既是熱點(diǎn)又是難點(diǎn)，考查的內(nèi)容包括：能利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求單調(diào)區(qū)間，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求極值，會(huì)求閉區(qū)間上的最值問題，會(huì)運(yùn)用圖象解決實(shí)際問題.由于這些問題對學(xué)生思維能力要求很高，學(xué)生往往會(huì)望而生畏，缺少有效的解決辦法. 而高中教材又沒有專門安排三次函數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生頭腦中缺乏完整的三次函數(shù)的知識(shí)，也不知怎么去研究它的性質(zhì)及圖象.基于上述原因，確定探究任務(wù)為：了解三次函數(shù)的概念、定義域、值域；能利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)等知識(shí)討論三次函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、極值，能利用圖象來討論三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，會(huì)判斷切線的條數(shù).

（二）探究過程的指導(dǎo)

探究性學(xué)習(xí)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)并培養(yǎng)探究能力的有效途徑，它不是先將數(shù)學(xué)結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生通過各式各樣的探究活動(dòng)諸如觀察、實(shí)驗(yàn)、調(diào)查、收集資料、猜想、論證等，自己得出數(shù)學(xué)結(jié)論. 將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的發(fā)現(xiàn)、探索、研究等認(rèn)識(shí)活動(dòng)凸現(xiàn)出來，使他們參與并體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過程，建構(gòu)起對數(shù)學(xué)的新的認(rèn)識(shí)，并培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究的能力. 通過數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，學(xué)生可以從多角度、深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，利于建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，從而使他們在面對實(shí)際問題時(shí)，能更容易地激活數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.

從數(shù)學(xué)思維與方法論的角度分析，探究性學(xué)習(xí)本質(zhì)上是解決數(shù)學(xué)問題，其探究分為以下幾個(gè)過程. 首先提出問題；然后是猜想和假設(shè)，引導(dǎo)討論、分析及論證，交流與合作；最后得出結(jié)論. 這樣的呈現(xiàn)方式構(gòu)成了“提出問題——建立模型——解釋、運(yùn)用與拓展”的基本教學(xué)形. 具體在進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生做好以下幾個(gè)方面的工作：第一，創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生“看個(gè)究竟”的沖動(dòng)；第二，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)和已有的相關(guān)知識(shí)提出猜想；第三，要指導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行探究，并對探究的方向和可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析討論；第四，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反駁與論證，嘗試對探究結(jié)果進(jìn)行解釋；第五，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與交流，改進(jìn)探究方案，形成成果.

[?] 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的課例

課例：《雙變量問題求解》.

（一）探究任務(wù)的確立

盡管以上三個(gè)問題對絕大多數(shù)學(xué)生而言沒有知識(shí)上的障礙，沒有運(yùn)算上的困難，也沒有過高的技巧，命題教師及高三任課教師也認(rèn)為不是難題，但是高考得分率非常低. 為了解原因，筆者把這三個(gè)題目融合在一次高三作業(yè)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的答題情況與高考得分情況基本吻合，經(jīng)過訪談，學(xué)生的答題困惑可以概括為：一是題（1）找不到關(guān)于a1，d的關(guān)系式，題（3）找不到關(guān)于OD，OC的關(guān)系式. 二是得到了關(guān)于兩個(gè)變量的關(guān)系式，由于不明確這個(gè)關(guān)系式的意義，因此不知道怎么求取值范圍. 三是這一類題型教師沒講過，學(xué)生感到陌生就不知如何下手.

學(xué)生的問題根源在教師，面對這樣的問題教師應(yīng)反思自己的教學(xué)行為，至少要思考這樣幾個(gè)問題：我這樣講合理嗎？有沒有更合理的講法嗎？怎樣設(shè)計(jì)更合理的學(xué)習(xí)過程呢？

怎樣來確定探究任務(wù)呢？分析上述三個(gè)高考題可以發(fā)現(xiàn)，高考考查雙變量問題，首先要會(huì)建立雙變量的關(guān)系，然后再求關(guān)于這兩個(gè)變量關(guān)系式的取值范圍，由于這些雙變量的關(guān)系式不同于教材中函數(shù)式及方程，學(xué)生往往感到非常陌生. 高三學(xué)生已經(jīng)會(huì)解決以下兩個(gè)問題：已知函數(shù)，會(huì)求函數(shù)的定義域、值域；已知一些常見曲線方程，會(huì)求變量的取值范圍. 基于上述原因，確定探究任務(wù)為：設(shè)變量，建立雙變量的關(guān)系式；利用雙變量關(guān)系式，探求關(guān)于這兩個(gè)變量關(guān)系式的取值范圍；能解決相應(yīng)的變式問題.

（二）探究過程的展開

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中開展探究性學(xué)習(xí)的效果

（一）學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率大有提高

探究性學(xué)習(xí)通過教師在課堂上巧妙的組織，讓學(xué)生積極參與各種各樣的探究活動(dòng)，主動(dòng)參與“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)過程. 學(xué)生獲得的知識(shí)不易遺忘，因而極大地提高了學(xué)習(xí)效率.

（二）學(xué)生的問題意識(shí)明顯增強(qiáng)，分析問題、解決問題的能力大有改善

探究性學(xué)習(xí)通過培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及分析問題、解決問題的能力. 學(xué)生提出問題的意識(shí)明顯增強(qiáng)，所提的問題大部分具有一定的挑戰(zhàn)性，平時(shí)鉆研數(shù)學(xué)的氛圍非常濃郁.

反思與建議

（一）教師應(yīng)是創(chuàng)設(shè)者

教師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者和探究情境的創(chuàng)設(shè)者，通過運(yùn)用一定的教學(xué)方法與教學(xué)組織形式，把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的發(fā)現(xiàn)、探究等認(rèn)識(shí)活動(dòng)呈現(xiàn)出來，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的學(xué)習(xí)過程，并在此過程中理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生初步的研究意識(shí).

當(dāng)然，并不是所有學(xué)習(xí)內(nèi)容都適宜于探究，有的甚至不需要探究. 例如，數(shù)學(xué)中某些原始性的概念定義，沒有多少“開放性”，不必探究. 這樣的內(nèi)容，重要的是讓學(xué)生了解來龍去脈，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教師講授或讓學(xué)生看書的方式即可.

（二）教師應(yīng)是指導(dǎo)者

教師要成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的組織者、指導(dǎo)者、合作者，教師在學(xué)生探究活動(dòng)中不應(yīng)是旁觀者的角色，而應(yīng)主動(dòng)地“介入”：（1）選擇適當(dāng)?shù)慕槿霑r(shí)機(jī)，介入過早，就可能打破學(xué)生已形成的探究氛圍；介入過晚，就可能使得探究活動(dòng)因無序而無法進(jìn)行. （2）選擇恰當(dāng)?shù)哪_手架，教師的重要任務(wù)就是搭建合適的“腳手架”，使學(xué)生能“跳一跳，夠得到”. （3）選擇恰當(dāng)?shù)慕槿敕绞剑處熂仁峭獠勘O(jiān)控者，又是參與者和支持者，從而相應(yīng)的指導(dǎo)方式也應(yīng)多元化. 教師應(yīng)該成為學(xué)生平等的合作者，教師要有勇氣和學(xué)生一起進(jìn)行探究. 教師應(yīng)自覺防止過度指導(dǎo)學(xué)生的行為.

（三）教師應(yīng)是研究者

要提高探究性學(xué)習(xí)的效果，教師必須加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的思想、方法及其精神的理解，對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、特點(diǎn)的理解. 隨著課題工作的開展，教師要不斷學(xué)習(xí)和鉆研探究性學(xué)習(xí)等相關(guān)的理論，及時(shí)總結(jié)課題研究中的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，撰寫論文、案例、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，特別是要積累一些適合學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的典型案例，為浙江省新一輪課改中選修課開發(fā)提供一個(gè)非常好的課程資源.