杜正穗

【摘要】函數(shù)是攻克數(shù)學(xué)知識體系的利器并一貫是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，但非常遺憾它也是學(xué)生感到最難學(xué)的內(nèi)容，而且一直沒有得到很好的解決。本文力求用有限的篇幅，通過例題，梳理解題思路，對函數(shù)知識進(jìn)行綜合性的、創(chuàng)造性的應(yīng)用，以有效地激發(fā)學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 方法 思路

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0125-02

從20世紀(jì)初函數(shù)開始進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出了一個重要的思想——以函數(shù)概念和思想統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容，這足見“函數(shù)”的重要地位。其觀點和方法貫穿高中代數(shù)的全過程，同時應(yīng)用于幾何問題的解決，由于其邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、靈活性，學(xué)習(xí)中會給學(xué)生帶來各種各樣的障礙性問題，所以教學(xué)方面就必須做到科學(xué)化、具體化、形象化。

一、科學(xué)化

以函數(shù)為綱“綱舉目張”—— 抓住了函數(shù)這個“綱”就能帶動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“目”，以函數(shù)為中心進(jìn)行分類學(xué)習(xí)，既可將其聯(lián)系到一起又能對各章的特點、控制點運用自如：

若涉及三角形ABC中，用正弦定理或余弦定理配合轉(zhuǎn)化成全部邊長或全部三角分析即可。例4：已知△ABC中，角A、B、C分別對應(yīng)邊長a、b、c，且mc2=a2+b2，cotC=（cot A+cot B）×1006，求實數(shù)m的值，這道題學(xué)生會被未知數(shù)和復(fù)雜的結(jié)構(gòu)嚇住，對第二等式余切轉(zhuǎn)化成余弦/正弦，利用正弦、余弦定理把所有角轉(zhuǎn)化成所有邊長整理得a2+b2=2013c2。由相對集中原則把第一等式代入得mc2=2013c2，就獲得m=2013。如此通過少量的題目，掌握知識精髓是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的法寶。

3.數(shù)列（有規(guī)律函數(shù)）an=f（n），（n∈N+），以等差、等比數(shù)列這兩種基本數(shù)列為載體，攻擊通項、求和等內(nèi)容。數(shù)列內(nèi)容是方法運用型最典型的代表（公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、歸納法、并項法、遞推法、對稱法、類比法……），面對問題不局限于一種思路，而是善于靈活變通獨自開啟新思路，既要有縝密的數(shù)學(xué)思維，又要有主動探究、敢于猜想的創(chuàng)新精神，與實際生活聯(lián)系編制適量新穎題和能力題，提高學(xué)生動腦、動手能力和創(chuàng)新思維能力。

4.解析幾何（非典型函數(shù)）f（x，y）=0，利用曲線（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線）定義進(jìn)行線段與線段之間轉(zhuǎn)化或把握點與點之間轉(zhuǎn)移獲得有效關(guān)系式，運用避實就虛策略可以避免繁瑣的運算，突破難點。具體而言，避實就虛包括兩個環(huán)節(jié)：（1）選擇：選擇合適的公式、合適的參變量、合適的坐標(biāo)系等；（2）回避：根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，避免化簡方程，求交點、解方程等復(fù)雜運算。如：點差法、設(shè)而不求都是具體回避措施。例5：設(shè)拋物線x2=3y上兩點A、B 的橫坐標(biāo)剛好是方程x2+px+q=0（p和q為實數(shù)）的兩個實數(shù)根，求直線AB的方程。解題中虛設(shè)二點A（x1，y1）、B（x2，y2）后，由x21=3y1且x21+px1+q=0相減得px1+3y1+q=0，同理px2+3y2+q=0，說明直線px+3y+q=0經(jīng)過不共線的A、B兩點就破題。

二、具體化

函數(shù)主線鋪好后，必須控制好每個獨立知識裝備，通過反復(fù)磨練從而實現(xiàn)知識系統(tǒng)化，進(jìn)而聯(lián)系到實用性和實效性。以函數(shù)最值類似問題為例，主要進(jìn)攻方式有（1）配方法（2）放縮法（3）性質(zhì)法（4）幾何法（5）換元法（6）判別式法。函數(shù)最值問題也是高中階段難點之一，通過控制自變量范圍，獲取其單調(diào)性破解，也是結(jié)構(gòu)不等式被攻克的有力武器。

1.主角：（1）配方法：針對一元二次結(jié)構(gòu)進(jìn)行攻擊；（2）放縮法：針對單調(diào)不一致，范圍與結(jié)構(gòu)可協(xié)調(diào)進(jìn)行攻擊；（3）性質(zhì)法：利用函數(shù)的靈魂單調(diào)性確定后進(jìn)行攻擊，其攻法幾乎做到無堅不摧，只是有時比較繁瑣，適度選用。以上三大方法是代數(shù)函數(shù)的頂尖武器，各有所長，也有共性。

三、形象化

圖形是無聲的語言，其直觀性可使學(xué)生一目了然，重要性無疑不言而喻，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)與形的中樞紐帶就是中場靈魂——平面向量。

“動弦別曲，葉落知秋”，“舉一明三，目機(jī)銖兩”——聯(lián)系到解題，主要是指從題設(shè)中捕捉有用的信息而從局部的突破到整體的豐收，函數(shù)問題往往從不同角度創(chuàng)設(shè)或轉(zhuǎn)換題目的設(shè)問方式，都能有效地考察學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能。