何 勇，曹廣福

（1．廣州市執(zhí)信中學(xué)，廣東 廣州 510095；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

1 引 言

對(duì)絕大多數(shù)高中生來說，通過高考上好大學(xué)，找份好工作，是他們首要的選擇．由于大學(xué)學(xué)位供求差距太大，高考恐難以有太大的改變．也就是說應(yīng)試仍是中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重要目的．以上的教育困惑將一定時(shí)期內(nèi)存在，教師也在應(yīng)試教育與素質(zhì)教育之間糾結(jié)、掙扎，這就給教師帶來一個(gè)艱難的問題：數(shù)學(xué)課堂能不能兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與應(yīng)試能力？

所謂數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程，懂得用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)的頭腦分析問題，能運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)應(yīng)試能力是兩個(gè)完全不同的概念，所謂應(yīng)試能力，顧名思義是應(yīng)付考試的能力，以應(yīng)付考試為目的的教育就是應(yīng)試教育．學(xué)生有一定的應(yīng)試能力未必具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，人們之所以對(duì)教育現(xiàn)狀有諸多不滿，也正是因?yàn)樗刭|(zhì)與應(yīng)試之間存在著嚴(yán)重矛盾．

考試是檢驗(yàn)學(xué)生掌握知識(shí)的程度與運(yùn)用知識(shí)能力的不可或缺的基本形式，可見考試本身沒有錯(cuò)，但以考試為最終目的教育顯然背離了教育的宗旨．?dāng)?shù)學(xué)教育的根本目的應(yīng)該是發(fā)揮學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而不是單純的傳授知識(shí)．根據(jù)學(xué)生的不同特點(diǎn)，讓每一個(gè)學(xué)生都有提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的機(jī)會(huì)．

中國學(xué)生在國際性數(shù)學(xué)競(jìng)賽及水平測(cè)試中成績(jī)斐然，雖然培養(yǎng)了很多數(shù)學(xué)尖子生，但迄今為止，卻沒有人獲得過菲爾茲獎(jiǎng)等國際性數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)，這是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者深思的問題．目前無論是中小學(xué)數(shù)學(xué)教師還是大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，都在積極探索中國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革．他們分別從東西方數(shù)學(xué)教育比較、基礎(chǔ)教學(xué)的繼承與發(fā)展以及課堂教學(xué)中的問題意識(shí)等多方面探索數(shù)學(xué)教育改革之路（例如參見文[1~5]），這些研究對(duì)于促進(jìn)中國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育無疑是有重要參考意義的．傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有什么弊端？教師應(yīng)該教什么樣的數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)課堂是傳授知識(shí)還是傳授思想？這些問題的答案似乎并不復(fù)雜，但真正做起來并不容易．

廣州市執(zhí)信中學(xué)與廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革方面正進(jìn)行深入的合作研究，針對(duì)數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方案，目的在于探索兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)與應(yīng)試的教學(xué)模式，使得學(xué)生既具備基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、能學(xué)以致用，又能適應(yīng)各種選拔式考試．在此基礎(chǔ)上，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，針對(duì)課堂的具體內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)方案．

2 課堂教學(xué)的基本模塊

素質(zhì)教育遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止于開設(shè)幾門文化素質(zhì)課，學(xué)幾種技能，開展幾項(xiàng)活動(dòng)，它更體現(xiàn)在每一節(jié)課堂教學(xué)中．眾所周知，從古希臘數(shù)學(xué)直到牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，一千多年的數(shù)學(xué)史表明[1~4]，重要數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生通常與現(xiàn)實(shí)及自然科學(xué)有關(guān)．遺憾的是，很多老師在實(shí)際教學(xué)過程中往往忽略了概念的教學(xué)或者說不清楚概念的來龍去脈與深刻背景，致使學(xué)生對(duì)概念理解不深刻，有些甚至不想去理解．定理的證明也是停留在技術(shù)層面上，缺少對(duì)定理的科學(xué)價(jià)值與實(shí)際意義的理解，只把目標(biāo)盯在如何解題上．久而久之，在學(xué)生心目中，所謂數(shù)學(xué)就是學(xué)生階段需要學(xué)習(xí)并考好的課程之一，至于它與人們的日常生活、自然科學(xué)之間有什么關(guān)系幾乎一無所知．?dāng)?shù)學(xué)是將現(xiàn)實(shí)世界或自然科學(xué)中的各種現(xiàn)象與關(guān)系用符號(hào)或數(shù)字以最簡(jiǎn)潔的方式表達(dá)出來，通過邏輯演繹與計(jì)算等數(shù)學(xué)手段探求未知的結(jié)論．換句話說，數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映，它反映了各種現(xiàn)象的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程就是個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，老師的根本任務(wù)是通過合情推理還原這個(gè)過程，挖掘隱藏在書本知識(shí)背后的思想與方法．?dāng)?shù)學(xué)課堂通常分為幾大模塊，其中概念課、原理課（也叫規(guī)則課）、解題課是教學(xué)的主體．然而，實(shí)際的教學(xué)過程中，由于應(yīng)試的壓力，老師往往將重點(diǎn)放在解題課上，不僅沒有講清楚概念的來龍去脈與定理的科學(xué)意義，甚至概念一帶而過，學(xué)生對(duì)概念的理解似是而非，解題時(shí)只能生搬硬套，這不是真正的數(shù)學(xué)教育．

2.1 概 念 課

任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生通常都伴隨著重要的歷史背景，老師應(yīng)該熟悉相關(guān)的歷史，了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的根源，即所謂的本原性問題，通過本原性問題驅(qū)動(dòng)概念課教學(xué)，克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》也許可以幫助老師熟悉相關(guān)歷史（參見文[6~9]）．事實(shí)上，任何一個(gè)重要概念都應(yīng)該說清楚幾件事：（1）概念是怎么產(chǎn)生的？為了解決什么問題？（2）如何恰當(dāng)?shù)囟x一個(gè)概念？（3）概念的內(nèi)涵是什么？

以復(fù)數(shù)教學(xué)為例，研究者曾經(jīng)做過一些了解，詢問來自不同學(xué)校的學(xué)生：“你們的中學(xué)老師在介紹復(fù)數(shù)概念時(shí)是怎么講的？是不是從有理數(shù)的擴(kuò)充開始？先介紹諸如x2-2=0在有理數(shù)范圍內(nèi)無解，所以需要將有理數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，再講到諸如 x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，所以實(shí)數(shù)也要擴(kuò)充？”學(xué)生紛紛點(diǎn)頭：“老師就是這么教的．”研究者又問：“方程 022=-x 是有實(shí)際背景的，例如單位長(zhǎng)度正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度問題，可老師有沒有告訴你們方程 012=+x的背景是什么？它來自哪里？”學(xué)生紛紛搖頭．可見教師的復(fù)數(shù)概念教學(xué)并未說清楚概念之所以產(chǎn)生的背景．所設(shè)計(jì)的不過是一些偽問題或偽情境．老師從這個(gè)解釋不清的方程出發(fā)介紹復(fù)數(shù)，于是學(xué)生以為引入復(fù)數(shù)就是為了解這些不知道有什么用的方程，與做數(shù)學(xué)游戲并無二致．

數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)漫長(zhǎng)又復(fù)雜的過程，一個(gè)數(shù)學(xué)概念從產(chǎn)生到最終為大家普遍接受往往需要很長(zhǎng)的時(shí)間，復(fù)數(shù)概念從16世紀(jì)人們?cè)谝辉畏匠糖蟾鶈栴}中發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)開平方問題，直到18世紀(jì)中葉歐拉利用復(fù)數(shù)概念將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，即著名的歐拉公式，其間經(jīng)過了300年左右的時(shí)間．老師雖然很難在有限的課堂上完全按照歷史發(fā)展的線索將一個(gè)概念的產(chǎn)生完完整整敘述清楚，但應(yīng)該尊重歷史，而不是脫離歷史人為杜撰一些不符合事實(shí)的例子，否則學(xué)生所了解的將是虛假的歷史．在尊重歷史基礎(chǔ)上，按照適合課堂的方式重新組織相關(guān)史料．這就對(duì)老師提出了較高的要求，事實(shí)上，一個(gè)重要概念的產(chǎn)生不僅意味著一個(gè)理論的滋生，而且這個(gè)概念對(duì)于后續(xù)概念與理論的產(chǎn)生可能具有深遠(yuǎn)的影響．正是因?yàn)槿藗儗?fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，使得代數(shù)運(yùn)算可以進(jìn)入二元數(shù)組，從而平面內(nèi)的力學(xué)問題可以利用復(fù)數(shù)來處理．這一發(fā)現(xiàn)給數(shù)學(xué)帶來的影響是深刻的，正是受到復(fù)數(shù)的啟發(fā)，人們?cè)噲D尋找三維空間中的對(duì)應(yīng)方法，19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家哈密爾頓創(chuàng)立了四元數(shù)，為三維空間中的靜力學(xué)研究奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．如果學(xué)生甚至老師對(duì)這些史實(shí)不了解甚至一無所知，而是根據(jù)自己的想象臆造出一些例子，所謂素養(yǎng)的提高將無從談起．

再以函數(shù)概念的建立為例．函數(shù)是微積分中出現(xiàn)的第一個(gè)重要概念，它的本質(zhì)是什么？與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系是什么？老師即使涉及，也大多解釋不清．函數(shù)概念的建立是人們連接現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)王國的橋梁．完全可以從具體現(xiàn)象出發(fā)逐步引入函數(shù)概念，文[10]指出：“世間萬物皆是不斷變化的，人的生老病死，大海的潮漲潮落，經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)的瞬息萬變，無不體現(xiàn)了一個(gè)永恒的真理，不變是相對(duì)的，變是絕對(duì)的．如何描述各種現(xiàn)象的變化規(guī)律？如何預(yù)測(cè)其變化趨勢(shì)？反映這些客觀規(guī)律的重要模型就是函數(shù)，它告訴我們不同的量在某個(gè)過程中的內(nèi)在關(guān)系，以及它們的變化規(guī)律，通過對(duì)這些函數(shù)模型的分析可以預(yù)測(cè)各種相關(guān)量的變化趨勢(shì)．”

很多概念的產(chǎn)生通常是新理論的萌芽，這些概念恰恰是啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的最好載體，為什么要提出一個(gè)概念？如何適當(dāng)?shù)囟x概念？這些概念給我們帶來了什么？這些問題也許比概念本身更重要．目前存在的一種現(xiàn)象是很多老師并不重視概念課，為了有更多的時(shí)間解題，課堂上概念一帶而過，不愿意花時(shí)間挖掘隱藏在概念背后的深刻數(shù)學(xué)思想，學(xué)生無法弄清楚為什么需要這個(gè)概念，甚至搞不清概念的內(nèi)涵，這是素質(zhì)教育與應(yīng)試教育之間一個(gè)突出的矛盾．

2.2 原 理 課

任何數(shù)學(xué)理論都是通過概念與定理呈現(xiàn)的，無論是概念的產(chǎn)生還是定理的發(fā)現(xiàn)都緣于一個(gè)核心——問題，換句話說，數(shù)學(xué)理論的建立與發(fā)展是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題及解決問題的過程，概念課的講授需要圍繞著問題展開，定理的講授也需要圍繞著問題展開．一個(gè)定理是如何被發(fā)現(xiàn)的？它反映了什么規(guī)律性的東西？它能帶給我們什么？如果老師不能通過對(duì)問題的不斷分析從中發(fā)現(xiàn)定理的證明思想．那么學(xué)生只能是學(xué)了一大堆理論，卻不知道這些理論有什么用，學(xué)了一堆知識(shí)，卻沒有催化自身能力的提升．老師應(yīng)該清楚書本與課堂之間的關(guān)系，老師課堂上的根本任務(wù)應(yīng)該是透過書本知識(shí)挖掘背后的思想并展現(xiàn)給學(xué)生，這樣死的知識(shí)才能變成活的靈魂．

與概念課不同的是，數(shù)學(xué)原理或定理中很多是數(shù)學(xué)自身邏輯演繹的結(jié)果，促使這些定理產(chǎn)生的問題大多屬于派生性的．?dāng)?shù)學(xué)原理課不在于有多難，抽象的東西能用通俗易懂的方式闡述清楚其本質(zhì)就是高水平的教學(xué)．

以微積分教學(xué)為例，中學(xué)生能否具備辯證思維能力可能有待進(jìn)一步研究，但中學(xué)階段對(duì)微積分的要求不宜太高．微積分作為辯證思維的典范，幾乎是每一個(gè)大學(xué)生都要學(xué)習(xí)的，中學(xué)階段沒必要也做不到讓學(xué)生真正理解微積分蘊(yùn)含的深刻思想．但中學(xué)微積分教學(xué)也不應(yīng)該僅僅局限于簡(jiǎn)單的極限、導(dǎo)數(shù)及積分計(jì)算，而應(yīng)該初步領(lǐng)略微積分的本質(zhì)，否則不如不學(xué)．微積分的本質(zhì)是什么？簡(jiǎn)而言之，貫穿微積分始終的靈魂就是局部地以直代曲，以簡(jiǎn)單代替復(fù)雜，這是典型的辯證法思想，與經(jīng)典的初等數(shù)學(xué)基于形式邏輯演繹的思想完全不同．如果學(xué)生修完微積分后只知道極限、導(dǎo)數(shù)與積分的簡(jiǎn)單計(jì)算，對(duì)這門學(xué)科深刻的思想內(nèi)涵一無所知，這樣的微積分教學(xué)很難稱為成功．

要真正講好微積分，就應(yīng)該了解微積分產(chǎn)生的背景，歷史上，推動(dòng)微積分發(fā)展的動(dòng)力正是自然科學(xué)，主要是速度、路程、面積以及光學(xué)問題．無論是導(dǎo)數(shù)還是積分都體現(xiàn)了一個(gè)共同的思想，局部地看，曲線段可以近似看成直線段，曲邊形可以近似看成直邊形，這是處理問題的第一步．第二步是不斷細(xì)化，最終產(chǎn)生質(zhì)的飛躍—極限．對(duì)于中學(xué)生而言，能理解這一基本的思想方法并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算就夠了．

認(rèn)識(shí)能力的提高是個(gè)漸進(jìn)的過程，不同年齡階段認(rèn)知能力是不同的，美國新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)之所以失敗，其原因之一正是忽略了中小學(xué)生認(rèn)識(shí)能力上的局限．但避重就輕，弱化數(shù)學(xué)思想，片面強(qiáng)調(diào)解題技巧顯然也不是成功的數(shù)學(xué)教育．

與概念不同的是，定理的發(fā)現(xiàn)未必都緣于本原性問題，它可能是邏輯演繹的結(jié)果，而且不是每個(gè)定理都可以找到它產(chǎn)生的史實(shí)，老師需要根據(jù)合情推理創(chuàng)造定理發(fā)現(xiàn)的情境．學(xué)生學(xué)習(xí)了定理后應(yīng)該清楚定理是為了解決什么問題？它反映了什么思想？利用它還可以解決什么問題？

原理課不僅僅是定理的論證過程，更重要的是需要闡述清楚定理的科學(xué)意義，所以原理課也應(yīng)該在問題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行．這就需要老師熟悉數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律．

2.3 解 題 課

哈爾莫斯說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是解題．”要學(xué)好數(shù)學(xué)，一定量的解題訓(xùn)練是必須的，問題是，解題的目的是什么？這將決定教師怎么上解題課．解題的目的有兩個(gè)：（1）強(qiáng)化對(duì)概念與原理的理解；（2）提升分析和解決數(shù)學(xué)問題以及實(shí)際問題的能力．前者通常在講授概念與原理階段完成，后者則是側(cè)重強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用．但在實(shí)際教學(xué)中，站在應(yīng)試角度，以上兩點(diǎn)都只是過渡，最終目標(biāo)是考試成績(jī)，雖然考試成績(jī)與這兩個(gè)目標(biāo)有密切關(guān)聯(lián)，但不可否認(rèn)，按現(xiàn)在的考試方式，學(xué)生通過高強(qiáng)度的機(jī)械訓(xùn)練，即使這兩個(gè)目標(biāo)達(dá)成度不高，學(xué)生仍有可能取得較好的考試成績(jī)．

解題課不在于重復(fù)講解與練習(xí)很多題，而在于引導(dǎo)學(xué)生如何從已知中發(fā)現(xiàn)未知，一道典型題可以演化出多種變化，條件的變化，結(jié)論的變化，等等．研究者認(rèn)為，題目的類型可以分為3類：（1）為了解決某類問題，需要具備什么條件（即目標(biāo)明確，條件未知）？（2）在現(xiàn)有的條件下可以解決什么問題（即條件已知，目標(biāo)不明確）？（3）利用已有的條件如何解決某個(gè)問題（即條件已知，目標(biāo)明確）？傳統(tǒng)的解題課大多是第三類問題，可喜的是，目前國內(nèi)的教材在這方面已經(jīng)有所改變，增加了一些開放式題型，這對(duì)于拓展學(xué)生思維不無幫助．

3 結(jié) 束 語

中國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革是項(xiàng)長(zhǎng)期的工作，課程標(biāo)準(zhǔn)、教材固然是改革的重要部分，但教師實(shí)際的教育過程則是改革能否落到實(shí)處和教育成敗與否的根本．每年全國各地都會(huì)舉行各種教師培訓(xùn)項(xiàng)目，這些培訓(xùn)對(duì)于提升教師的素養(yǎng)與教學(xué)水平起到了重要作用．但實(shí)際教學(xué)過程涉及每個(gè)教師個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)、眼界與素養(yǎng)，正所謂一百個(gè)教師有一百種不同的教學(xué)方法，如何針對(duì)課堂教學(xué)的具體內(nèi)容給出一個(gè)系統(tǒng)的教學(xué)指導(dǎo)性參考是一項(xiàng)工程巨大而且意義重大的事情，它將決定我們最終能否跳出應(yīng)試教育的怪圈，從應(yīng)試教育的強(qiáng)大壓力中解脫出來．

從理論上講，素質(zhì)教育與應(yīng)試之間沒有本質(zhì)的矛盾，如果學(xué)生真正理解了數(shù)學(xué)理論，掌握了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)思維，解題能力自然可以得到提高，正所謂厚積薄發(fā)．在現(xiàn)階段，如果老師們?cè)谡n堂教學(xué)中切實(shí)貫徹新課標(biāo)的要求，將重點(diǎn)放在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，同時(shí)兼顧到考試能力的提高，對(duì)于提升數(shù)學(xué)教育質(zhì)量，培養(yǎng)高素質(zhì)的數(shù)學(xué)人才無疑是有幫助的．執(zhí)信中學(xué)這些年在這方面做了有益的嘗試，具體做法是在低年級(jí)（一二年級(jí)）側(cè)重基本能力的培養(yǎng)，不片面追求分?jǐn)?shù)，高年級(jí)（三年級(jí)）則兼顧到學(xué)生考試能力的提高，在進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)增強(qiáng)應(yīng)試能力．

毋庸置疑，僅僅依靠課標(biāo)與教材的改革是很難從根本上改變數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的，如果老師們能夠在新課標(biāo)指導(dǎo)下，根據(jù)教材內(nèi)容針對(duì)“數(shù)學(xué)課堂如何圍繞問題展開”進(jìn)行深入的思考與探索，細(xì)心設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的問題，則數(shù)學(xué)教學(xué)將會(huì)更見成效．可喜的是，許多教師與專家都意識(shí)到了“問題”在課堂教學(xué)中的重要性，例如，曾小平，呂傳漢，汪秉黎[11]、溫建紅[12]等關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生提出的問題作了深入的研究與分析．張夏雨和喻平[13]、杜文平[14]、張永雪[15]、廖運(yùn)章[16]等則對(duì)學(xué)生問題解決能力的差異做了評(píng)估或研究，可見“問題”是數(shù)學(xué)教育中不可或缺的靈魂．可以預(yù)見，如果課堂教學(xué)圍繞著問題展開，在尊重歷史的基礎(chǔ)上通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與對(duì)問題的深入分析從而大膽提出猜想，最終提煉出概念或建立定理，必將對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高帶來幫助．將數(shù)學(xué)課堂分成概念課、原理課及解題課3個(gè)模塊并針對(duì) 3類課堂設(shè)計(jì)合適的問題是兼顧素質(zhì)教育與應(yīng)試教育比較切實(shí)可行的方法．

[1] 周瑩，王華．中美中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教師課堂提問的比較研究——以兩國同課異構(gòu)的課堂錄像為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：25-29．

[2] 寧連華，涂榮豹．中國數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的繼承與發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（6）：6-9．

[3] 溫建紅．?dāng)?shù)學(xué)課堂有效提問的內(nèi)涵及特征[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（6）：11-15．

[4] 吳增生．3B教育理念下的數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略初探[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（1）：17-22．

[5] 楊躍鳴．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“問題意識(shí)”的教育價(jià)值及若干策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）：77-80．

[6] M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第一冊(cè)）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985．

[7] M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985．

[8] M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第三冊(cè)）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985．

[9] M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第四冊(cè)）[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985．

[10] 曹廣福．例論非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生同樣需要數(shù)學(xué)思想[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）：1-3．

[11] 曾小平，呂傳漢，汪秉黎．初中生“提出數(shù)學(xué)問題”的現(xiàn)狀與對(duì)策[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（3）：51-53．

[12] 溫建紅．論數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生提出問題的意義及培養(yǎng)策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（1）：20-23．

[13] 張夏雨，喻平．不同學(xué)業(yè)水平學(xué)生數(shù)學(xué)問題圖式的差異性研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（1）：45-48．

[14] 杜文平．北京市中小學(xué)生數(shù)學(xué)解決問題能力學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)報(bào)告[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（2）：30-33．

[15] 張永雪．新課改下小學(xué)生數(shù)學(xué)真實(shí)性問題解決能力的差異研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（2）：45-48．

[16] 廖運(yùn)章．開放性數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的差異性研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：34-38．