代漢超，石雪飛，阮欣

(同濟大學 橋梁工程系, 上海，200092)

橋梁結構可以看成是一個剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣組成的力學系統(tǒng)。其中橋梁剛度參數(shù)是橋梁承載能力、病害成因、抗震防災能力分析評估的重要參數(shù)，事實上許多損傷識別問題最后都歸結為剛度修正[1-3]，解決大跨徑預應力混凝土梁橋的主跨長期下?lián)线^量和梁體開裂等關鍵問題[4]也涉及到對橋梁抗彎剛度的修正。因此，橋梁剛度修正是有限元模型修正[1,5]的一個重要內(nèi)容。而基于響應面法(RSM)的有限元模型修正是近年來一個研究熱點，它是以顯式的響應面模型逼近設計參數(shù)與目標函數(shù)間復雜的隱式函數(shù)關系，得到簡化的結構模型(Meta-model)[6-8]，從而代替原有限元模型，在其基礎上進行復雜計算，實現(xiàn)優(yōu)化修正和預測響應等。盡管基于響應面方法的結構有限元模型修正[9-12]取得了一些研究成果，但如何提高響應面模型的精度仍有待研究。為此，本文作者介紹一種基于靜力響應面的橋梁抗彎剛度修正技術，并從工程應用的角度對響應面法進行改進，對橋梁抗彎剛度修正中確定試驗設計空間大小的一般原則進行探討。

1 基于響應面法的有限元模型修正

基于響應面的有限元模型修正的主要步驟包括：樣本選取、響應面的擬合、回歸方程及系數(shù)的顯著性檢驗和構建優(yōu)化函數(shù)進行有限元模型修正。

(1) 基于試驗設計的樣本選取。樣本的選取關系到響應面的精度和試驗成本，試驗設計的本質(zhì)是在設計空間挑選出合適的代表點。正交試驗設計和中心復合設計[13]是基本的試驗設計方法，本文進行2 水平正交試驗設計。正交試驗對于全面試驗來說是一種部分試驗，但對于其中任何2 個因素卻是具有等量重復的全面試驗[14]。

(2) 響應面的擬合。對大多數(shù)工程問題來說，一階或二階多項式模型可以滿足工程要求[15]，一階模型可表示為

寫成矩陣形式為Y=XB+e。

式中：β0和βi為待估計的回歸系數(shù)；xi為待修正參數(shù)；Y 為所有響應構成的向量；e 為相應的誤差向量；X 為修正參數(shù)矩陣；B 為所有回歸系數(shù)組成的矩陣，常由最小二乘法求解：B=(X′X)-1X′Y 。

(3) 顯著性檢驗。一般來說，對于多個響應面模型和較復雜模型，常應用R2檢驗[13]和相對均方根誤差檢驗[16]。F 檢驗法(又稱方差分析法)[17]可以定量判斷響應面模型的顯著性。

式中：RSS為模型的總離差平方和；ESS為殘差平方和；m 為因子數(shù)目；n 為樣本數(shù)目。給定顯著水平α，F(xiàn) 檢驗法則為：若F≥ Fα(m-1, n-m)，則認為模型響應與因子間回歸關系顯著，否則認為回歸關系不顯著，可以逐次剔除最不顯著的因子，重新進行試驗設計。因子xi的顯著性可以用統(tǒng)計量Si表示：

其中：cii為矩陣C=(X′X)-1主對角線的第i 個元素，Si越大說明xi越顯著。

(4) 構建優(yōu)化函數(shù)。fRSM代表響應面模型響應，與之對應的實測響應為fexp。有限元模型修正可歸結為以下優(yōu)化問題：

式中：lb 和ub 為設計空間范圍。本文使用Matlab 優(yōu)化工具箱中的多目標優(yōu)化函數(shù)fmincon。

2 改進的響應面方法

如何提高參數(shù)的修正精度是有限元模型修正技術研究的最終目標，基于響應面方法的結構模型參數(shù)修正中試驗設計、響應面函數(shù)形式以及響應面函數(shù)擬合方法直接決定響應面函數(shù)模型的精度，是基于響應面方法結構模型參數(shù)修正的研究重點。

從幾何觀點來看，響應面法實際上是用一系列超曲面來代替實際的復雜函數(shù)關系。當某優(yōu)化點周圍一定數(shù)量的樣本點的實際函數(shù)已知時，可通過試驗設計獲得樣本點，利用方程回歸方法建立一個曲面函數(shù)，在充分靠近這個優(yōu)化點的區(qū)域內(nèi)，可以用這個曲面函數(shù)來代替實際函數(shù)并進行復雜計算[18]。

在剛度修正問題中，優(yōu)化點就是真實剛度，樣本點就是有限元模型中真實剛度周圍一系列有代表性的值，樣本點所在區(qū)域就是進行試驗設計的設計空間。響應面模型能精確地代替有限元模型的重要條件是設計空間充分接近包含優(yōu)化點的優(yōu)化區(qū)域。

在此，利用單因素試驗設計對響應面法中試驗設計的設計空間進行優(yōu)化。

2.1 基于單因素試驗的設計空間優(yōu)化法

其優(yōu)化解便是初始值的改變量，將改變后的初始值作為設計空間的中心點。這些中心點比初始值更接近優(yōu)化點，因此，設計空間也更接近優(yōu)化區(qū)域。

2.2 基于改進響應面的抗彎剛度識別

設計空間大小的取值遵循的準則為：使基于單因素試驗的設計空間快速逼近優(yōu)化區(qū)域，從而提高響應面模型修正的精度。在橋梁抗彎剛度識別中，單因素改變量可以取初始設計值的±50%，試驗設計的邊界為中心值±20%。

綜上所述，利用靜力測試基于改進響應面的抗彎剛度修正流程如圖1 所示。

圖1 基于改進響應面的抗彎剛度修正流程Fig.1 Flowchart of finite element model updating procedure based on improved RSM

3 數(shù)值算例分析

分別應用傳統(tǒng)響應面法和本文提出的改進響應面法對1 座(65+100+65) m 三跨連續(xù)梁橋的有限元模型抗彎剛度進行修正。將2 種方法的修正結果與假設的抗彎剛度對比，來驗證改進響應面法的可行性。

在背景橋上指定13 個撓度測試點，以相鄰2 個撓度測點之間的中點和支座位置為梁段節(jié)點將全橋分為13 個梁段。響應為各測點撓度yi，以13 個梁段的抗彎剛度值Mi(i=1, 2, …, 13)為識別參數(shù)。梁段劃分和撓度測試位置如圖2 所示。實際橋梁產(chǎn)生的損傷可能在全橋多個梁段同時發(fā)生，因此，假設上部結構邊跨梁段②和剛度均減小15%，梁段⑥，⑦和⑧的剛度均減小20%，其余梁段①，③，④，⑤，⑨，⑩，和剛度均減小10%。

3.1 優(yōu)化設計空間

表1 13 梁段抗彎剛度初始值對設計值的系數(shù)Table 1 Initial bending stiffness values of 13 segments

圖2 三跨連續(xù)梁橋(65+100+65) m 梁段劃分與加載測試位置Fig.2 Substructure division and measuring positions of 3-span continuous beam bridge (65+100+65) m

3.2 建立一階響應面模型

利用試驗設計軟件Minitab 進行正交試驗設計，經(jīng)計算20 次試驗能代表并反映全面試驗的效果，同時具有均衡分散、整齊可比的正交性。規(guī)定因子Mi設計邊界為±20%Mi(Mi的值如表1 所示)，由有限元軟件進行數(shù)值計算可得20 個樣本點。由最小二乘法計算出系數(shù)矩陣，構造不含交叉項的一次響應面模型：yi=fi(M1,M2, …, M13) (i=1, 2, …, 13)。試驗因子數(shù)目m=13，樣本點數(shù)目 n=20，取顯著水平 α=0.05，則臨界值F0.05(12,7)=3.57，各回歸方程的顯著性F 如圖3 所示。在各回歸方程中，由式(3)計算自變量(即因子Mi，i=1,2, …, 13)的顯著性，剔除最不顯著的自變量，用同樣方法進行12 因子正交試驗設計，重新回歸方程，并計算其顯著性F?？梢钥吹剑焊骰貧w方程的顯著性已經(jīng)均滿足要求，如圖4 所示。

圖3 參數(shù)篩選前方程F 值Fig.3 F values before parameter screening

圖4 參數(shù)篩選后方程F 值Fig.4 F values after parameter screening

3.3 多目標剛度識別

將各回歸方程fRSM和假定損傷情況下有限元模型計算值fexp代入式(4)，將改進響應面法識別結果和傳統(tǒng)響應面法識別結果見表2。

從表2 可見：改進響應面法的修正結果誤差均在1%以內(nèi)，比傳統(tǒng)響應面法有了很大改進。

表2 全橋梁段抗彎剛度識別結果Table 2 Bending stiffness identification of all segments

4 實橋算例分析

4.1 工程概況

該橋為三跨連續(xù)梁橋，由南北引橋和主橋構成，全長231.16 m，主橋(40+65+40) m 為變高度預應力連續(xù)箱梁。主橋采用橋梁博士建立平面桿系模型，共計148 個單元，149 個節(jié)點。在主橋上指定11 個撓度測試點，以相鄰撓度測試點之間的中點和支座位置為梁段節(jié)點將全橋分為13 個梁段。以各測點撓度yi為響應，修正13 個梁段的抗彎剛度Mj。撓度測試位置及梁段如圖5 所示。

2012-02 對該橋進行了成橋靜力荷載試驗。加載車輛軸距為 1.4 m+4.0 m，總軸質(zhì)量30 t，橫向共布置3 輛。加載時橫橋向3 輛車均勻分布，縱向以中間車輪加載到②號撓度測點為準，撓度實測值和初始有限元模型計算值比較如表3 所示。

圖5 撓度監(jiān)測截面示意圖(單位：cm)Fig.5 Schematic diagram of measuring positions

表3 撓度實測值和初始有限元模型計算值Table 3 Comparison of measured deflection values and calculated values of FEM

可見撓度實測值和初始有限元模型計算值相差較大，需進行抗彎剛度識別。

4.2 實橋抗彎剛度識別

4.2.1 設計空間優(yōu)化

由表3 可知：與初始有限元模型的撓度計算值相比，兩邊跨的測量值偏小，中跨測量值偏大。因此，在基于單因素試驗的設計空間優(yōu)化中，令邊跨梁段的抗彎剛度在設計值的基礎上增加50%，中跨梁段的抗彎剛度在設計值的基礎上減小50%。按照2.1 節(jié)所述方法可得13 個梁段的抗彎剛度初始值相對于設計值的系數(shù)，如表4 所示。

4.2.2 試驗設計及樣本矩陣

利用2 水平正交設計方法進行11 因子試驗設計，經(jīng)計算16 次試驗能代表并反映全面試驗的效果，同時具有均衡分散、整齊可比的正交性。各個因子的中心值選取如表4 所示，上下邊界設定為中心±20%，用有限元軟件計算出每次試驗中的撓度，得到樣本矩陣。

4.2.3 擬合響應面模型及方差分析

選擇一次響應面函數(shù)形式，由最小二乘法求出待定系數(shù)。試驗因子數(shù)目m=13，樣本點數(shù)目n=16，取顯著水平α=0.05，方差分析的臨界值 F0.05(12,3)=8.74。各回歸方程的顯著性F 均滿足顯著性要求。

4.2.4 構造優(yōu)化函數(shù)進行損傷識別

將回歸方程fRSM和靜載試驗的撓度實測值fexp代入式(4)，進行優(yōu)化計算，將修正優(yōu)化結果見表4。表4 中第4 列為基于本文方法的抗彎剛度修正結果，第3和第5 列分別指單因素優(yōu)化法優(yōu)化的抗彎剛度值相對于初始值的變化范圍以及在單因素優(yōu)化基礎上用響應面法修正的抗彎剛度相對于單因素優(yōu)化值的變化范圍。

表4 13 梁段抗彎剛度修正值Table 4 Updated bending stiffness values of 13 segments

由改進響應面法修正的抗彎剛度代入有限元模型，計算出的撓度如表5 所示。

計算結果表明：修正后的撓度較初始值有了很大的提高，能達到修正的效果，從參數(shù)的修正結果來看，抗彎剛度的變化和靜載試驗實測的撓度相吻合。由表5 可以看出：單因素改變量基本在初始設計值±50%范圍內(nèi)，試驗設計的邊界基本在單因素優(yōu)化值±20%范圍內(nèi)。

表5 撓度實測值和修正有限元模型計算值Table 5 Comparison of measured deflection values and calculated value of updated FEM

本例結果表明：基于改進響應面的橋梁抗彎剛度識別取得了成功，對于設計空間的取值準則符合工程實際。該方法可推廣至高階模型，高階響應面能模擬模型的曲面特性，得到更精確的修正結果，但在樣本點個數(shù)一定的情況下要求試驗設計空間更接近最優(yōu)區(qū)域，因此，該方法的優(yōu)越性將會在高階響應面模型的應用中進一步體現(xiàn)出來。

5 結論

(1) 基于現(xiàn)代試驗設計的響應面法是一個行之有效的快速有限元模型建模方法，在充分靠近優(yōu)化點的區(qū)域內(nèi)，可以有效地代替實際函數(shù)并進行復雜計算，在結構優(yōu)化設計、模型修正與損傷識別等工程領域有很好的應用價值。

(2) 設計空間充分接近優(yōu)化區(qū)域是提高響應面模型精度的一個非常重要的條件，本文提出了一種基于單因素試驗法的改進響應面方法，實現(xiàn)了對設計空間的優(yōu)化。數(shù)值算例的精確修正結果證明該方法具有很高的實際應用價值。利用改進響應面方法對三跨連續(xù)梁橋進行抗彎剛度修正，修正后的參數(shù)依舊保留了其真實的物理意義，抗彎剛度修正后計算撓度與實測撓度比較吻合，說明改進響應面法能使設計空間快速接近最優(yōu)區(qū)域。

(3) 確定設計空間大小是響應面方法的一個重要內(nèi)容。在橋梁抗彎剛度修正中，單因素改變量可以取初始設計值的±50%，試驗設計的邊界為優(yōu)化中心值±20%。三跨連續(xù)梁實橋算例證明該取值范圍是合適的。

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