蔡海兵 ，彭立敏，鄭騰龍

(1. 安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南，232001；2. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075)

20 世紀(jì)50 年代，Litwiniszyn[1]基于砂箱模型試驗(yàn)，為研究地下采礦過程中巖層與地表移動(dòng)等問題而提出了隨機(jī)介質(zhì)理論，該理論將巖層視為一種“隨機(jī)介質(zhì)”，將地下開采所引起的巖層與地表變形看成是一隨機(jī)過程，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的方法可實(shí)現(xiàn)對巖層與地表變形的預(yù)估。隨機(jī)介質(zhì)理論經(jīng)過Liu 等[2-3]的發(fā)展和完善，其應(yīng)用領(lǐng)域從最初的地下采礦地表變形分析，發(fā)展到露天采礦、近地表開挖及地層疏水所引起的地表變形分析等。陽軍生等[4]和楊小禮等[5]均針對城市隧道施工所引起的地表移動(dòng)和變形問題，采用隨機(jī)介質(zhì)理論進(jìn)行分析討論，進(jìn)一步拓展了隨機(jī)介質(zhì)理論的應(yīng)用領(lǐng)域。施成華等[6]考慮隧道開挖地層移動(dòng)與變形的時(shí)間－空間發(fā)展過程，基于隨機(jī)介質(zhì)理論，系統(tǒng)地對城市隧道礦山法及盾構(gòu)法等施工引起的地層移動(dòng)與變形相關(guān)問題進(jìn)行了研究。目前該理論已成為我國城市地鐵隧道工程中地表變形預(yù)測的實(shí)用方法之一。如將地層凍結(jié)引起的地表凍脹變形看成是一隨機(jī)過程，該過程可以認(rèn)為是巖土體開挖引起地表變形的逆過程，則隧道凍結(jié)施工引起的地表凍脹變形問題亦可以采用隨機(jī)介質(zhì)理論進(jìn)行預(yù)測分析。陽軍生等[4]、李方政[7]、陶德敬等[8]和周太全等[9]都采用該理論對地鐵隧道凍結(jié)法施工引起的地表凍脹變形進(jìn)行了分析，并得出了一些有意義的結(jié)論，但共同的不足之處為在分析過程中均未考慮凍結(jié)過程，即凍結(jié)壁的形成過程。本文作者考慮凍結(jié)壁的形成過程，基于隨機(jī)介質(zhì)理論，以圓形隧道全斷面水平凍結(jié)工程為例，以建立隧道凍結(jié)期地表凍脹的預(yù)測方法。

1 地表凍脹的隨機(jī)介質(zhì)預(yù)測方法

1.1 凍結(jié)壁交圈前的預(yù)測方法

圖1 所示為凍結(jié)壁形成過程圖。開始凍結(jié)時(shí)，冷媒劑與凍結(jié)管周圍的地層產(chǎn)生劇烈的熱交換，在每個(gè)凍結(jié)管周圍很快形成近似圓柱形的凍結(jié)巖土柱，如圖1(a)所示；凍土柱進(jìn)一步擴(kuò)展，直至相鄰凍土柱相互交圈，在隧道周圍形成封閉的凍結(jié)壁，如圖1(b)所示；交圈后，原各凍結(jié)管的凍結(jié)鋒面連成向隧道內(nèi)擴(kuò)展的內(nèi)凍結(jié)鋒面和向隧道外擴(kuò)展的外凍結(jié)鋒面，且內(nèi)、外凍結(jié)鋒面很快趨于平滑，如圖1(c)所示。

圖2 所示為凍結(jié)壁交圈前坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換圖。假定隧道采用單圈全斷面水平凍結(jié)，n 根凍結(jié)管均勻布置在同一圈徑上，各凍結(jié)管所處的土層性質(zhì)相同，由凍結(jié)壁的形成過程可知，凍結(jié)壁交圈前，經(jīng)t 時(shí)刻后，在隧道周邊形成n 個(gè)外半徑為R(t)的凍土柱，各凍土柱形成過程中發(fā)生的體積膨脹均為半徑從R(t)均勻膨脹至RΔ(t)，膨脹的各圓環(huán)柱截面積也均為Δ(t)，如圖2所示。由隨機(jī)介質(zhì)理論可知[4]：對于平面問題，在εoη(xoz)直角坐標(biāo)系下，單個(gè)凍土柱在t 時(shí)刻發(fā)生膨脹變形而引起的地表各點(diǎn)凍脹位移表達(dá)式為

圖1 凍結(jié)壁形成過程圖Fig.1 Formation processes of frozen wall

圖2 凍結(jié)壁交圈前坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換圖Fig.2 Coordinate system transformation diagram before circle-crossing period of frozen wall

式中：β 為巖土層的主要影響角。

記各凍結(jié)管的編號為1，2，…，n，第i 根凍結(jié)管中心在εoη(xoz)直角坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)為xi，縱坐標(biāo)為zi，將εoη(xoz)直角坐標(biāo)系變換到rioiθi極坐標(biāo)系，如圖2 所示，則轉(zhuǎn)換公式為

式中：h 為隧道中心距地表的距離；Rd為凍結(jié)管布置圈半徑。

由式(1)可得：在平面問題條件下，第i 根凍結(jié)管水平凍結(jié)引起地表各點(diǎn)凍脹位移表達(dá)式為

如忽略相鄰凍結(jié)管凍結(jié)引起地表凍脹位移的相互影響，則在凍結(jié)壁交圈前，地表凍脹由多個(gè)凍土柱的疊加膨脹變形引起。由此，根據(jù)疊加原理，則有凍結(jié)壁交圈前的地表凍脹位移表達(dá)式為

1.2 凍結(jié)壁交圈后的預(yù)測方法

圖3 所示為凍結(jié)壁交圈后坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換圖。隨著凍結(jié)時(shí)間的延長，隧道周邊各凍土柱進(jìn)一步擴(kuò)展，相鄰凍土柱相互交圈后即在隧道周邊形成圓環(huán)柱狀凍結(jié)壁，如圖3 所示，凍結(jié)壁外鋒面半徑為R(t)，凍結(jié)壁擴(kuò)展過程中的體積膨脹假定為從半徑R(t)均勻膨脹至RΔ(t)，凍脹區(qū)域面積為Δ(t)。凍結(jié)壁交圈后，地表凍脹則由整個(gè)凍結(jié)壁膨脹變形引起。

圖3 凍結(jié)壁交圈后坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換圖Fig.3 Coordinate system transformation after circle-crossing period of frozen wall

將εoη(xoz)直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成ro′θ 極坐標(biāo)系，則該兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換公式為

由式(1)可得在平面問題條件下，凍結(jié)壁交圈后的地表凍脹位移表達(dá)式為

當(dāng)隧道采用全斷面水平凍結(jié)法施工時(shí)，考慮凍結(jié)壁的形成過程，凍結(jié)壁交圈前采用式(5)預(yù)測地表各點(diǎn)的凍脹位移，凍結(jié)壁交圈后則采用式(8)預(yù)測地表各點(diǎn)的凍脹位移。

2 凍結(jié)外鋒面半徑的確定方法

在凍結(jié)壁交圈前，凍結(jié)外鋒面半徑R(t)為單個(gè)凍土柱的半徑，在凍結(jié)壁交圈后，則為凍結(jié)壁外鋒面半徑。凍結(jié)壁交圈前、后凍結(jié)外鋒面半徑的確定問題即為單管凍結(jié)和多管凍結(jié)條件下溫度場分布規(guī)律的求解問題。國內(nèi)外眾多科研學(xué)者對此問題進(jìn)行了相關(guān)研究，總的來說，現(xiàn)有凍結(jié)溫度場的計(jì)算理論主要包括平板凍結(jié)理論和單管凍結(jié)理論[10-11]，其中平板凍結(jié)理論為一維半無限域熱傳導(dǎo)問題，而單管凍結(jié)理論為二維熱傳導(dǎo)問題。凍結(jié)壁交圈后的瞬態(tài)溫度場可由平板凍結(jié)理論近似求解，凍結(jié)壁交圈前的瞬態(tài)溫度場則可由單管凍結(jié)理論近似求解。

2.1 平板凍結(jié)理論

圖4 平板凍結(jié)理論示意圖Fig.4 Schematic diagram of flat-panel freezing theory

圖4 所示為平板凍結(jié)理論示意圖。將薄板垂直置入土中，假定薄板僅在其側(cè)面與土體發(fā)生熱交換，其頂、底面均與土體不發(fā)生熱交換，薄板冷卻面溫度為θc且保持恒定，凍結(jié)區(qū)土體溫度為θf，未凍區(qū)土體溫度為θu，均為時(shí)間t 和坐標(biāo)x 的函數(shù)。凍結(jié)鋒面為一移動(dòng)的相變邊界，其與冷卻面的距離為X(t)，且在凍結(jié)鋒面處，土體凍結(jié)溫度θd=0 ℃。

對于該一維半無限域熱傳導(dǎo)問題，凍結(jié)區(qū)和未凍區(qū)微分方程可寫為

式中：αf和αu分別為凍結(jié)區(qū)、未凍區(qū)土體的熱擴(kuò)散系數(shù)，m2/d；kf和ku分別為凍土和未凍土的導(dǎo)熱系數(shù)，kJ/(m·d·℃)；cf和cu分別為凍土和未凍土的比熱容，kJ/(kg·℃)；ρf和ρu分別為凍土和未凍土的飽和密度，kg/m3。

微分方程的初始條件為

式中：θ0為土體初始溫度。

微分方程的邊界條件為：

除上述邊界條件外，在凍結(jié)鋒面，即相變邊界面X(t)處的熱平衡方程為

式中：L 為單位容積土體的相變潛熱，kJ/m3，由下式給出：

式中：Lw為單位質(zhì)量水的相變潛熱；ρd為土體的干密度，kg/m3；w0為土體的初始含水量；wu為凍土中未凍水含量。

結(jié)合上述初始條件和邊界條件，對微分方程進(jìn)行求解，則可得凍結(jié)鋒面X(t)與凍結(jié)時(shí)間的平方根成正比，即：

式中：A 為待定常數(shù)，需滿足下式

式中：Φ(y)為高斯誤差函數(shù)，且有：

實(shí)際的凍結(jié)工程一般都依靠多根凍結(jié)管來形成凍結(jié)壁，凍結(jié)壁交圈后的溫度場可由平板凍結(jié)理論近似求解。當(dāng)未凍土和凍土的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容、密度等熱物理參數(shù)由室內(nèi)試驗(yàn)獲取后，凍結(jié)鋒面位置可采用式(18)和(19)計(jì)算。若已知凍結(jié)管布置圈半徑Rd，則凍結(jié)外鋒面半徑R(t)、內(nèi)鋒面半徑R1(t)可按下式計(jì)算：

2.2 單管凍結(jié)理論

凍結(jié)壁交圈前的溫度場則由單管凍結(jié)理論進(jìn)行求解，如圖5 所示，根據(jù)凍結(jié)鋒面將溫度場分成凍結(jié)區(qū)和未凍結(jié)區(qū)，凍結(jié)區(qū)土體溫度為θf，未凍區(qū)土體溫度為θu，均為時(shí)間t 和徑向坐標(biāo)r 的函數(shù)，凍結(jié)鋒面半徑為R(t)，且凍結(jié)鋒面處土體凍結(jié)溫度θd=0 ℃。凍結(jié)管外半徑為Rp，凍結(jié)管熱流密度為Q(kJ/(m·d))。

圖5 單管凍結(jié)理論示意圖Fig.5 Schematic diagram of single pipe freezing theory

對于該二維熱傳導(dǎo)問題，凍結(jié)區(qū)和未凍區(qū)微分方程可寫為

微分方程的初始條件為

微分方程的邊界條件為

在相變邊界面R(t)處的熱平衡方程為

這種模式不僅能保障購房者的基本住房需求，更能有效化解資金流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，具體表現(xiàn)在兩個(gè)方面。一是維護(hù)公積金制度設(shè)立初衷，有效保障中低收入群體的購房貸款需求。這種模式對中低收入群體是一種保護(hù)，尤其對效益不好的單位的職工而言，如果不實(shí)行該模式，他們會因單位繳存基數(shù)下降而無法享受公積金購房政策。二是可以盤活資金使用效率，減少資金使用風(fēng)險(xiǎn)。在這種模式下，通過分析職工的購房面積和購房實(shí)際需求，來調(diào)整公積金額度，既能增加市場上個(gè)人貸款資金的供應(yīng)總量，也提高了公積金貸款對區(qū)域居民的覆蓋率。

結(jié)合上述初始條件和邊界條件，對微分方程進(jìn)行求解，則可得凍結(jié)鋒面半徑R(t)與凍結(jié)時(shí)間的平方根也成正比，即：

式中：B 為待定常數(shù)，需滿足下式

式中：E(y)為指數(shù)積分函數(shù)，且有

凍結(jié)壁交圈前的溫度場可由單管凍結(jié)理論近似求解，由單管凍結(jié)理論可知，當(dāng)未凍土和凍土的熱物理參數(shù)確定后，單管凍結(jié)條件下凍結(jié)外鋒面半徑可采用式(30)和(31)進(jìn)行計(jì)算，凍結(jié)內(nèi)鋒面半徑即為凍結(jié)管外半徑Rp。

相鄰凍土柱的凍結(jié)鋒面開始重疊，即意味著凍結(jié)壁剛好交圈，則凍結(jié)壁交圈時(shí)間可由下式計(jì)算：

式中：tj為凍結(jié)壁交圈時(shí)間；l 為相鄰凍結(jié)管間距。

3 凍脹區(qū)域外半徑的確定方法

工程中反映土體凍脹強(qiáng)弱的指標(biāo)一般采用凍脹率，它是指土體試樣在無側(cè)向變形無縱向荷載條件下，經(jīng)單向凍結(jié)，其縱向的高度增量與試樣原高度的比

式中：εf為土體凍脹率；Δhf為試樣縱向凍脹量；h 為試樣原高度。

據(jù)其原理，假定凍結(jié)壁向外均勻膨脹，在凍結(jié)壁交圈前，凍脹區(qū)域外半徑由下式計(jì)算：

在凍結(jié)壁交圈后，凍脹區(qū)域外半徑由下式計(jì)算：

4 工程案例計(jì)算及分析

廣州地鐵3 號線天河客運(yùn)站折返線隧道斷面為馬蹄形，長138.8 m，寬11.4 m，高9.146 m，埋深8～10 m，屬于淺埋大斷面隧道。由于該隧道斜下穿廣汕公路和沙河立交橋，不能采用明挖法施工，最終采用選擇全斷面水平凍結(jié)暗挖法施工。

隧道水平凍結(jié)長度為138.8 m，分南、北兩段施工，南、北段凍結(jié)長度均為71.9 m，末端搭接凍結(jié)長度為5 m。南、北端均在距隧道開挖邊界1 m 處布置一圈凍結(jié)孔，凍結(jié)孔孔數(shù)為46 個(gè)，凍結(jié)孔間距為700～950 mm，南、北端凍結(jié)孔錯(cuò)位布置。凍結(jié)壁有效厚度設(shè)計(jì)值為2.5 m，凍結(jié)壁設(shè)計(jì)平均溫度為-8 ℃，積極凍結(jié)期約為150 d[13]。隧道北端凍結(jié)孔布置設(shè)計(jì)如圖6所示。

圖6 隧道北端凍結(jié)孔布置圖Fig.6 Freezing hole design at northern end of tunnel

隧道斷面及凍結(jié)管布置圈均為五心圓拱線形，為計(jì)算簡便起見，采用等代圓方法將其簡化成圓形，經(jīng)簡化后的隧道外半徑為5.137 m，凍結(jié)管圓形布置圈半徑為6.137 m，相鄰管間距為0.838 m。

根據(jù)折返線隧道巖土層分布情況，結(jié)合隧道及凍結(jié)壁的所處位置，在現(xiàn)場針對具有代表性的土層鉆取土樣，然后進(jìn)行人工凍土物理力學(xué)性能試驗(yàn)，鑒于對地表凍脹位移起決定作用的凍結(jié)管主要位于可塑砂質(zhì)黏土層中[13-14]，因此，本次預(yù)測分析中所需輸入的熱物理力學(xué)參數(shù)按該土層進(jìn)行取值，如表1 所示。

表1 土體熱物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Thermophysical parameters of soil

由于該隧道相鄰凍結(jié)管平均間距僅為0.838 m，凍結(jié)壁交圈時(shí)間小于10 d，因此僅采用凍結(jié)壁交圈后的凍脹預(yù)測方法進(jìn)行分析。

在分析中，考慮到隧道斷面大，地表凍脹主要影響范圍取為45 m，隧道軸線埋深為14.728 m，則土層主要影響角度的正切值tan β 為0.327。

該淺埋大斷面地鐵隧道實(shí)際凍結(jié)施工中，共布置了28 個(gè)地表變形測點(diǎn)，其中15 和10-1 號測點(diǎn)均位于隧道中心軸線處[15]，16，17 號測點(diǎn)與15 號測點(diǎn)位于同一斷面上，與隧道中心水平距離分別約為8 和15 m。

采用自行編制的地表凍脹Maple 計(jì)算程序，地表計(jì)算區(qū)域選為0≤x≤40 m，得到隧道積極凍結(jié)150 d后，地表凍脹位移分布規(guī)律的理論分析與現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果對比如圖7 所示。

由圖7 可知：隧道積極凍結(jié)150 d 后，地表凍脹位移分布規(guī)律的理論分析結(jié)果較現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果(15 號、16 號和17 號測點(diǎn))稍大一些，但可大致反應(yīng)實(shí)際情況，如對比隧道中心軸線處地表凍脹位移(距隧道中心水平距離為0 m)，現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果(15 號測點(diǎn))為317 mm，理論分析結(jié)果為350 mm，二者相差33 mm，與凍脹位移相比，該差尚可忽略。地表凍脹位移隨機(jī)介質(zhì)理論分析中，對隧道斷面及巖土分層均在一定程度上進(jìn)行了簡化，特別是熱物理參數(shù)主要參考可塑砂質(zhì)黏土層進(jìn)行取值，相對于其他土層，該土層的凍脹率最大，這也是地表凍脹位移理論分析結(jié)果較現(xiàn)場實(shí)測略大的主要原因。而同樣位于隧道中心軸線處地表的10-1 號測點(diǎn)，其實(shí)測的凍脹位移達(dá)到近400 mm，這是因?yàn)樵摐y點(diǎn)剛好布置在折返線隧道中部處地表，且在隧道中部，南、北端凍結(jié)管有約5 m 長的搭接范圍，從而造成 10-1 號測點(diǎn)的凍脹位移在所有測點(diǎn)中最大[12,14]。

圖7 凍結(jié)150 d 后地表凍脹位移分布Fig.7 Surface frost heave displacements distribution after freezing 150 d

積極凍結(jié)期內(nèi)，隧道中心軸線處地表歷時(shí)凍脹位移的理論分析與現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果對比如圖8 所示。

圖8 表明，在地表凍脹位移隨凍結(jié)時(shí)間的變化方面，理論分析與現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果(15 號測點(diǎn)) 吻合，總體表現(xiàn)為，在凍結(jié)初期，凍脹位移增長速度較快，而到凍結(jié)后期，凍脹位移隨時(shí)間呈相對緩慢增長趨勢。10-1號測點(diǎn)因其所處的特殊位置，其凍脹速度最快。

地表凍脹位移的對比分析結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的隨機(jī)介質(zhì)預(yù)測方法的可靠性，且該方法用于工程實(shí)際均具有較高的精確性。

圖8 隧道中心軸線處地表歷時(shí)凍脹位移Fig.8 Surface frost heave displacements with time at central axis of tunnel

5 結(jié)論

1) 在隧道水平凍結(jié)期，凍結(jié)壁交圈前，地表凍脹位移由多個(gè)獨(dú)立凍土柱的疊加凍脹效應(yīng)引起，凍結(jié)壁交圈后，地表凍脹位移則由整個(gè)凍結(jié)壁的凍脹效應(yīng)引起。據(jù)此，考慮凍結(jié)壁的形成過程，基于隨機(jī)介質(zhì)理論，推導(dǎo)了地表凍脹位移的計(jì)算表達(dá)式，建立了地表凍脹的預(yù)測方法。

2) 對凍結(jié)外鋒面半徑和凍脹區(qū)域外半徑這2 個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的取值方法進(jìn)行了探討。提出凍結(jié)壁交圈前的瞬態(tài)溫度場則可由單管凍結(jié)理論近似求解，凍結(jié)壁交圈后的瞬態(tài)溫度場可由平板凍結(jié)理論近似求解，得出多管凍結(jié)交圈條件下凍結(jié)壁的擴(kuò)展厚度(單管凍結(jié)條件下的凍土柱半徑)與凍結(jié)時(shí)間的平方根成正比，并基于平板凍結(jié)理論和單管凍結(jié)理論，確定了凍結(jié)外鋒面半徑的計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了根據(jù)土體凍脹率、凍結(jié)內(nèi)、外鋒面半徑計(jì)算凍脹區(qū)域外半徑的解析方法。

3) 將所提出的地表凍脹隨機(jī)介質(zhì)預(yù)測方法應(yīng)用于實(shí)際工程案例中，通過與現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果的對比分析，驗(yàn)證了該預(yù)測方法的可靠性。

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