唐文杰，趙宇，張邦民

（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇南京210016）

隨著飛機(jī)裝配技術(shù)的發(fā)展，不斷提高裝配柔性化與自動(dòng)化水平成為大型飛機(jī)制造的必然趨勢(shì)，而發(fā)展裝配機(jī)器人必將推進(jìn)裝配柔性自動(dòng)化的進(jìn)程，促進(jìn)飛機(jī)裝配技術(shù)革命性的變化，為我國(guó)的國(guó)民經(jīng)濟(jì)帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益，為提升企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力發(fā)揮重大作用[1-3]。作為柔性裝配系統(tǒng)的一部分，如何獲得一種高精度、高剛度的定位系統(tǒng)對(duì)于我國(guó)飛機(jī)裝配技術(shù)的發(fā)展無(wú)疑是至關(guān)重要的。為進(jìn)行此方面的探索，一種具有3個(gè)平移自由度的高剛度三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)Tripod[4]被用來(lái)搭建成一套飛機(jī)部件定位仿真系統(tǒng)。

1 開(kāi)發(fā)環(huán)境Qt和OpenGL簡(jiǎn)介

整個(gè)仿真系統(tǒng)是在集成開(kāi)發(fā)環(huán)境Qt軟件下編寫(xiě)的。Qt是一個(gè)跨平臺(tái)的C++圖形用戶界面應(yīng)用程序框架。它提供的信號(hào)與槽機(jī)制能夠十分方便的搭建圖形用戶界面，它同Windows平臺(tái)上的MFC是同類型的東西。Qt自帶OpenGL庫(kù)，只需要重寫(xiě)內(nèi)置的關(guān)于OpenGL的虛函數(shù)就能夠方便的建立三維模型。OpenGL（全寫(xiě)Open Graphics Library）是一個(gè)跨編程語(yǔ)言、跨平臺(tái)的編程接口，它用于三維圖象（二維的亦可）的顯示，是專業(yè)的圖形程序接口，是一個(gè)功能強(qiáng)大，調(diào)用方便的底層圖形庫(kù)。

2 四元數(shù)球面線性插補(bǔ)算法

由于飛機(jī)部件（中央翼盒、左中外翼、右中外翼等）一般是大體積大質(zhì)量物體，在對(duì)其進(jìn)行位姿調(diào)整過(guò)程中應(yīng)十分注意運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。否則不僅嚴(yán)重影響調(diào)整的精度，甚至?xí)?dǎo)致飛機(jī)部件外形的變形。而在歐拉空間中，線性插補(bǔ)是非均勻的，并不能滿足平穩(wěn)性要求。為此，可以引入球面線性插補(bǔ)算法[5]，將此算法運(yùn)用于四元數(shù)，即所謂四元數(shù)球面線性插補(bǔ)算法。對(duì)飛機(jī)部件的轉(zhuǎn)動(dòng)采用四元數(shù)球面線性插補(bǔ)可以使其繞某一定軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，意味著在此階段可以實(shí)現(xiàn)飛機(jī)部件零角加速度的旋轉(zhuǎn)，位姿調(diào)整的平穩(wěn)性要求得到滿足。

2.1 四元數(shù)球面線性插補(bǔ)概述

先用首末矢量q0和q1（分別代表飛機(jī)部件的初始和目的姿態(tài)四元數(shù)）定義一個(gè)與q0垂直的單位矢量q′1，各矢量之間關(guān)系如圖1所示。

由圖1，導(dǎo)出插補(bǔ)量q（t）的表達(dá)式為

圖1 三矢量之間的關(guān)系Fig.1 Relationship among three vectors

q0與q1均相對(duì)于全局坐標(biāo)系?，F(xiàn)以q0表示的姿態(tài)為參考坐標(biāo)系，則q0，q1此參考坐標(biāo)系下的四元數(shù)表示為

式中cosφ=cos（θ/2），把式（3）代入至插補(bǔ)公式（2）中，可得：

由式（4）可知，四元數(shù)球面線性插補(bǔ)其實(shí)是繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)t從0到1均勻變化時(shí)，飛機(jī)部件從初始姿態(tài)q0繞固定軸n勻速旋轉(zhuǎn)θ后到達(dá)目的姿態(tài)q1。最后要將q（t）復(fù)原為全局坐標(biāo)系，只需進(jìn)行坐標(biāo)變換：q0?q（t）即可。

2.2 四元數(shù)球面線性插補(bǔ)在程序中的實(shí)現(xiàn)

在OpenGL中物體的旋轉(zhuǎn)是采用歐拉角來(lái)實(shí)現(xiàn)，所以應(yīng)先將飛機(jī)部件的歐拉角轉(zhuǎn)化為四元數(shù)形式，進(jìn)行四元數(shù)球面線性插補(bǔ)，得到四元數(shù)形式的插補(bǔ)量，然后再轉(zhuǎn)化為歐拉角形式，以供OpenGL顯示飛機(jī)部件的姿態(tài)。具體流程如圖2所示。

圖2 四元數(shù)球面線性插補(bǔ)流程Fig.2 Quaternions spherical linear interpolation flow chart

3 仿真系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)

Tripod機(jī)構(gòu)外形比較復(fù)雜，如圖3所示。機(jī)構(gòu)中每組桿由主動(dòng)桿和從動(dòng)桿構(gòu)成，從動(dòng)桿跟隨主動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)。為方便建模分析，也因其在運(yùn)動(dòng)學(xué)上與3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的相似性，可將其簡(jiǎn)化為3-UPU形式，如圖4。整個(gè)定位系統(tǒng)與飛機(jī)部件的連接方式采用多點(diǎn)陣真空吸盤(pán)式柔性工裝[6-7]。

圖3 Tripod模型Fig.3 Tripod model

圖4 運(yùn)動(dòng)學(xué)等效后的TripodFig.4 Tripod after kinematic equivalence

由于OpenGL自身的建模能力十分有限，用OpenGL自帶的函數(shù)完成建模非常不方便，甚至無(wú)法完成。為解決此問(wèn)題，先用三維軟件Pro/Engineer分別作出各個(gè)部件的三維零件圖，保存為OBJ文件格式。再編寫(xiě)一個(gè)數(shù)據(jù)接口類來(lái)讀入并顯示OBJ文件，在程序中用各部件之間的幾何約束關(guān)系來(lái)規(guī)定各部件的運(yùn)動(dòng)方式，實(shí)現(xiàn)各部件的有序運(yùn)動(dòng)。飛機(jī)部件的運(yùn)動(dòng)方式是先轉(zhuǎn)動(dòng)再平移。

3.1 軟件整體流程設(shè)計(jì)

軟件采用面向?qū)ο蠛湍K化的編程方式，便于修改和升級(jí)。具體流程如圖5所示。

3.2 軟件界面及仿真效果

軟件界面及仿真效果如圖6所示。飛機(jī)部件（為清楚顯示其下方的真空吸盤(pán)，飛機(jī)部件采用線框顯示）下方為3個(gè)Tripod（簡(jiǎn)化為3-UPU形式）支撐，各Tripod與飛機(jī)部件采用真空吸盤(pán)連接。

3.3 軌跡分析

在一定范圍內(nèi)任取起止歐拉角進(jìn)行四元數(shù)球面線性插補(bǔ)，將此過(guò)程中飛機(jī)部件上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)導(dǎo)入Matlab中，得到其軌跡如圖7所示。此軌跡是一條光滑的空間曲線。

為驗(yàn)證四元數(shù)插補(bǔ)點(diǎn)在同一平面上，假設(shè)插補(bǔ)點(diǎn)總數(shù)為N，按任意順序兩兩一組分成N/2組。每組兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)相減，得到N/2個(gè)向量。任取兩個(gè)向量求得法向量，然后求取此法向量與其它向量的夾角。按此思路編寫(xiě)Matlab程序并運(yùn)行得曲線如圖8?？梢?jiàn)各向量與法向量夾角集中在90度附近，最大誤差不超過(guò)0.4%?？紤]到浮點(diǎn)數(shù)據(jù)在Matlab運(yùn)算過(guò)程中的舍入誤差，實(shí)際誤差會(huì)更小，因此可以認(rèn)為所有插補(bǔ)點(diǎn)均在一個(gè)平面內(nèi)。

圖5 軟件流程圖Fig.5 Software flow chart

圖6 軟件界面及仿真效果圖Fig.6 Software interface&simulation effect

圖7 飛機(jī)部件上任意點(diǎn)軌跡Fig.7 Arbitrary point trajectory of aircraft component

在所有插補(bǔ)點(diǎn)均在同一平面的基礎(chǔ)上，為驗(yàn)證所有插補(bǔ)點(diǎn)均在同一圓周，可以先由6個(gè)點(diǎn)通過(guò)方程組（5）得到圓心。

式中，（ai，bi，ci）為任意的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)，i=1，2，3，4，5，6，為圓心坐標(biāo)。

然后求取各點(diǎn)到圓心的距離。按此思路編寫(xiě)Matlab程序并運(yùn)行得到曲線圖9?？梢?jiàn)插補(bǔ)點(diǎn)到圓心的距離大約集中在[759.951，759.957]之間，波動(dòng)幅度僅為0.006，同樣，考慮到誤差的影響此波動(dòng)幅度應(yīng)更小。由上所述，證明四元數(shù)插補(bǔ)達(dá)到了預(yù)期的效果。

圖8 插補(bǔ)點(diǎn)向量與法向量夾角Fig.8 Angle between interpolation points and normal vector

圖9 插補(bǔ)點(diǎn)與圓心距離Fig.9 Distance between interpolation points and circle center

4 結(jié)論

仿真系統(tǒng)利用Qt和OpenGL成功的建立了一個(gè)仿真平臺(tái)，利用三自由度的Tripod搭建了一個(gè)定位系統(tǒng)，采用四元數(shù)球面線性插補(bǔ)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)飛機(jī)部件姿態(tài)調(diào)整[8]時(shí)的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)。著重分析和驗(yàn)證了此插補(bǔ)算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程和插補(bǔ)效果。從最后的結(jié)果來(lái)看，達(dá)到了預(yù)期的仿真目的，為此方面的更深入研究和應(yīng)用提供了依據(jù)。

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