鐘斌, 趙曉青

(中國(guó)人民武裝警察部隊(duì)工程大學(xué) 裝備工程學(xué)院特種裝備研究所，陜西 西安 710086)

橋式起重機(jī)或門式起重機(jī)(以下簡(jiǎn)稱起重機(jī))的吊重與小車之間采用鋼絲繩柔性聯(lián)接，在小車運(yùn)行中控制吊重?fù)u擺一直是控制學(xué)科學(xué)者研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1-4]。對(duì)吊重?cái)[角控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)往往需要小車位置與速度、吊重?cái)[角與擺角角速度等狀態(tài)變量信息[5-9]，但由于吊重與小車之間柔性聯(lián)接結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，往往不便于在現(xiàn)場(chǎng)安裝傳感器以測(cè)量吊重?cái)[角與擺角角速度信息[10-11]。所以，文獻(xiàn)[1] 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能對(duì)任意函數(shù)逼近的原理，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)單輸入、單輸出的二階系統(tǒng)，在基本狀態(tài)觀測(cè)器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測(cè)器，將可測(cè)的起重機(jī)吊重?cái)[角變量作為輸入量，實(shí)現(xiàn)了對(duì)吊重?cái)[角速度的觀測(cè)，減少了對(duì)吊重?cái)[角速度的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量成本，但是，這種方法仍須現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量吊重?cái)[角，測(cè)量成本仍然較高，并且無(wú)法觀測(cè)出小車位移與小車速度，但往往小車位移和小車速度在吊重?cái)[角控制系統(tǒng)中也是必需的反饋?zhàn)兞縖11]。文獻(xiàn)[2] 設(shè)計(jì)了Luenberger觀測(cè)器，利用測(cè)量的小車位置信息對(duì)小車速度、吊重?cái)[角及其角速度進(jìn)行觀測(cè)(估計(jì))，在該文獻(xiàn)中，采用對(duì)觀測(cè)器極點(diǎn)配置的方法研究了觀測(cè)器對(duì)各變量觀測(cè)速度與觀測(cè)器極點(diǎn)在復(fù)平面中的位置之間的關(guān)系，理論研究和實(shí)際應(yīng)用均表明所設(shè)計(jì)的Luenberger觀測(cè)器對(duì)變化的吊重質(zhì)量和起升繩長(zhǎng)均具有一定的魯棒性，并降低了測(cè)量成本。但實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)存在諸如外界較強(qiáng)風(fēng)阻、實(shí)驗(yàn)臺(tái)較強(qiáng)振動(dòng)等外界影響時(shí)，對(duì)這些狀態(tài)變量信息的狀態(tài)觀測(cè)結(jié)果與由系統(tǒng)建模得到的狀態(tài)變量動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間就會(huì)存在較大誤差。實(shí)際上這些外界影響即是外界干擾，即系統(tǒng)建模中的未知不確定性項(xiàng)，如何設(shè)計(jì)對(duì)這些外界干擾也具有更強(qiáng)魯棒性的狀態(tài)觀測(cè)器更具有廣泛的工程實(shí)際意義。

為此，本文針對(duì)起重機(jī)吊重四階系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒滑模狀態(tài)觀測(cè)器，通過(guò)合理設(shè)計(jì)滑模面和滑?？刂撇呗裕褂^測(cè)器對(duì)外界干擾引起的非線性不確定部分具有魯棒性，從而漸近估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)變量，有效地改進(jìn)了文獻(xiàn)[1] 和[2] 所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器，實(shí)驗(yàn)表明本文所設(shè)計(jì)的魯棒滑模觀測(cè)器更具有工程實(shí)際意義。

1 起重機(jī)吊重不確定非線性系統(tǒng)及其可觀性

起重機(jī)吊重系統(tǒng)幾何描述如圖1所示，小車質(zhì)量為M，吊重質(zhì)量為m，吊重?cái)[角為θ，O點(diǎn)為小車參考位置原點(diǎn)，F(xiàn)為小車驅(qū)動(dòng)力(N)，l為起升繩長(zhǎng)(m)。

圖1 起重機(jī)吊重系統(tǒng)幾何模型

由文獻(xiàn)[1]的研究方法和步驟得到起重機(jī)吊重不確定非線性動(dòng)力系統(tǒng):

(1)

式中，D為輪軌摩擦阻尼系數(shù)。

f(t,X,u)=Bξ(t,X,u)

(2)

式中,ξ(t,X,u)是由于系統(tǒng)建模誤差、噪聲干擾等不確定狀態(tài)造成的不確定函數(shù)，且ξ的上界已知，即:

(3)

式中,r1為已知正實(shí)數(shù),α為已知函數(shù)。

(4)

(5)

由式(4)和式(5)可知Q1和Q2的秩均為4，所以(A,C)能觀，即可以利用惟一變量x1(t)(即觀測(cè)器的輸入變量為x1(t))或同時(shí)利用x1(t)和x2(t)(即觀測(cè)器的輸入變量為x1(t)和x2(t))觀測(cè)系統(tǒng)(1)的其余狀態(tài)變量，獲取所有狀態(tài)變量信息。

2 魯棒滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)

對(duì)系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)魯棒滑模狀態(tài)觀測(cè)器的目的是快速、準(zhǔn)確地估計(jì)(觀測(cè))出系統(tǒng)的狀態(tài)變量X(t)，且設(shè)計(jì)的觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)(1)中的非線性不確定性項(xiàng)f(t,X,u)具有魯棒性。設(shè)計(jì)如下形式的魯棒滑模觀測(cè)器:

(6)

定義狀態(tài)觀測(cè)偏差(簡(jiǎn)稱偏差)為：

(7)

則偏差系統(tǒng)微分方程為：

(8)

式中,A0=A-GC為觀測(cè)器的動(dòng)力學(xué)矩陣。

由式(8)可見(jiàn)，如果偏差系統(tǒng)的狀態(tài)變量e(t)漸近地或在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)，則實(shí)現(xiàn)了觀測(cè)器的設(shè)計(jì)目的。為此，設(shè)計(jì)線性滑模函數(shù):

s=Me(t)

(9)

式中,M∈R1×4，并令M=KC，且滑模參數(shù)矩陣K∈R1×2。于是:

(10)

由式(6)和式(10)可知，魯棒滑模觀測(cè)器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。所以，魯棒滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可歸結(jié)為觀測(cè)器增益矩陣G、滑模參數(shù)矩陣K和控制輸入v的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

圖2 魯棒滑模觀測(cè)器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

設(shè)計(jì)滑?？刂撇呗?

(11)

為了確定觀測(cè)器增益矩陣G，考慮觀測(cè)器的特征方程:

det[λI-A0]=0

(12)

式中,λ為觀測(cè)器的特征值，對(duì)應(yīng)觀測(cè)器的4個(gè)極點(diǎn)λ1～λ4；I為4×4單位矩陣。

設(shè)觀測(cè)器的極點(diǎn)分別配置在復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸上，即-λi處(λi為實(shí)數(shù)，且λi>0，i=1，2，3，4)；同時(shí)，為敘述方便，稱λi為極點(diǎn)。則觀測(cè)器的特征方程又可表示為:

(13)

由式(12)和式(13)中對(duì)應(yīng)λ項(xiàng)的系數(shù)相等可知方程(14)成立。

HkGk=Rk(λi) (k=1,2;i=1,2,3,4)

(14)

其中:

r1=λ1+λ2+λ3+λ4

r2=λ1λ2+λ1λ3+λ1λ4+λ2λ3+λ2λ4+λ3λ4

r3=λ1λ2λ3+λ1λ2λ4+λ1λ3λ4+λ2λ3λ4

r4=λ1λ2λ3λ4

從而解得:

(15)

(16)

由式(15)可以看出，觀測(cè)器增益參數(shù)g1～g4分別是極點(diǎn)λi的函數(shù)，由極點(diǎn)可以確定G1；由式(16)可以看出，通過(guò)合理選擇g12(g12≠1)、g22、g32、g42和極點(diǎn)可以確定G2，從而保證A0為Hurwitz矩陣。

3 偏差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

為了驗(yàn)證狀態(tài)觀測(cè)偏差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，證明定理1，選取Lyapunov函數(shù):

(17)

沿偏差系統(tǒng)(8)，V(s)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為:

eTMTM(A0e-Bξ+Bv)=

sTMBξ+sTMBv≤

(18)

(19)

由式(19)知，偏差系統(tǒng)(8)到達(dá)滑模面s=0, 以后將漸近收斂到平衡點(diǎn)e=0。

4 數(shù)值仿真

起重機(jī)吊重系統(tǒng)參數(shù)：m=5 000 kg，M=2 000 kg，l=5 m，D=0.2，g=9.81 m/s2。

魯棒滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)參數(shù)：η=0.4，β=4，ρ=0.05，λ1=λ2=λ3=λ4=6。

若利用x1(t)變量，則：

K=[0.05]

G=[16.00 93.25 -8.65 0.01]T

若利用x1(t)和x2(t)變量，則：

系統(tǒng)和觀測(cè)器的初值分別為：

小車驅(qū)動(dòng)力u(t)=2000sint，不確定性未知函數(shù)ξ(t,X,u)=0.06sin(2πt)。

圖3 狀態(tài)變量及其觀測(cè)信息

圖4 狀態(tài)變量觀測(cè)偏差

從圖3和圖4可以看出,當(dāng)選擇小車位置信息作為觀測(cè)器的輸入時(shí)，各狀態(tài)變量的觀測(cè)值在約1.5 s時(shí)與其動(dòng)態(tài)響應(yīng)幾乎完全重合，即各狀態(tài)變量的觀測(cè)偏差在約1.5 s時(shí)漸近地趨于零；當(dāng)選擇小車位置和速度信息作為觀測(cè)器的輸入時(shí)，各狀態(tài)變量的觀測(cè)值在約3.5 s時(shí)與其動(dòng)態(tài)響應(yīng)幾乎完全重合，即各狀態(tài)變量的觀測(cè)偏差在約3.5 s時(shí)漸近地趨于零。

實(shí)驗(yàn)還表明，所設(shè)計(jì)的魯棒滑模觀測(cè)器對(duì)存在不確定因素導(dǎo)致的非線性不確定性部分具有魯棒性(如圖5所示)，并且對(duì)不同形式的小車驅(qū)動(dòng)力具有良好的適應(yīng)性。

圖5 存在不確定因素時(shí)狀態(tài)變量的觀測(cè)誤差

5 結(jié) 論

起重機(jī)吊重系統(tǒng)魯棒滑模狀態(tài)觀測(cè)器通過(guò)所測(cè)量的小車位置信息或小車位置與速度信息實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量的觀測(cè)。

仿真實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)選擇小車位置信息作為觀測(cè)器的輸入時(shí)，各狀態(tài)變量的觀測(cè)偏差在約1.5 s時(shí)漸近地趨于零；當(dāng)選擇小車位置和速度信息作為觀測(cè)器的輸入時(shí)，各狀態(tài)變量的觀測(cè)偏差在約3.5 s時(shí)漸近地趨于零；觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中的非線性不確定項(xiàng)具有較強(qiáng)的魯棒性，同時(shí)對(duì)不同形式的小車驅(qū)動(dòng)力具有良好的適應(yīng)性。

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