朱愛東， 王洪福， 田蓮花， 張英俏

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 物理系， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

數(shù)學(xué)物理方法課程的內(nèi)容不僅涵蓋數(shù)學(xué)的理論和計(jì)算方法，同時(shí)也涉及物理學(xué)的相關(guān)知識(shí)，因此要教好這門課程，就要求教師要具有良好的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和深厚的物理功底.目前的數(shù)學(xué)物理方法教材[1-3]，按照知識(shí)結(jié)構(gòu)一般分為兩大部分：復(fù)變函數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方程.在復(fù)變函數(shù)論部分中，解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開、留數(shù)定理、傅里葉變換、以及拉普拉斯變換等內(nèi)容各成一章，關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，因此初學(xué)這門課程的本科生在學(xué)習(xí)過程中往往局限于當(dāng)前的學(xué)習(xí)內(nèi)容，缺少對(duì)這門課程的系統(tǒng)性和應(yīng)用性的深刻理解，難以將所學(xué)的各種方法和理論知識(shí)融合貫穿、活學(xué)活用.實(shí)際上，針對(duì)一個(gè)物理問題，建立數(shù)學(xué)模型之后，其解決的方法往往不只一種，并且在解題的過程中，可以將各種方法靈活地結(jié)合運(yùn)用，使問題得以簡化.因此，教師在教學(xué)過程中如何啟發(fā)和開闊學(xué)生思路，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通的能力，加深學(xué)生對(duì)這門課程系統(tǒng)性和應(yīng)用性的深刻認(rèn)識(shí)，是教學(xué)中面臨的重要課題.針對(duì)上述問題，本文就R(cosx,sinx)三角函數(shù)有理式的傅里葉級(jí)數(shù)展開這一問題，分別給出教師通常使用的洛朗級(jí)數(shù)[4-5]和文獻(xiàn)中尚未報(bào)道過的留數(shù)定理兩種解法，以此拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通、綜合運(yùn)用的能力.

1 三角函數(shù)有理式R(cos x,sin x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開

三角函數(shù)的特點(diǎn)是可以將x作為復(fù)數(shù)z的幅角，通過自變數(shù)代換z=ei x，當(dāng)實(shí)變數(shù)x從0變到2π時(shí)，復(fù)變數(shù)z=ei x從z=1出發(fā)沿著單位圓|z|=1逆時(shí)針走一圈又回到z=1.這個(gè)特點(diǎn)使得在求傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)時(shí)，可將實(shí)函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的回路積分，即可以利用留數(shù)定理求傅里葉級(jí)數(shù)的展開系數(shù).下面給出這種方法的詳細(xì)過程.

首先確定這類函數(shù)的周期是2π.根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)的公式，半周期l=π.傅里葉級(jí)數(shù)展開公式如下：

對(duì)于函數(shù)R(cosx,sinx)，可做如下處理：

(1)

同理，可以得出

(2)

(3)

經(jīng)過以上過程，即可將傅里葉級(jí)數(shù)展開問題轉(zhuǎn)化為求解析函數(shù)在單位圓內(nèi)的留數(shù)問題.

除了以上方法，某些特殊情況，還可以采用級(jí)數(shù)方法.當(dāng)原函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)后，利用洛朗級(jí)數(shù)展開方法直接將其寫成級(jí)數(shù)形式，再利用歐拉公式就可以得到傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開形式，而不必代入傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式，避免了積分運(yùn)算.這種方法也是大多數(shù)參考書上給出的方法，但其前提條件是寫成復(fù)數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)后，必須能夠利用歐拉公式重新回到三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，所以這種方法只適用于某些特殊情況.

2 解題實(shí)例

(4)

(5)

所以

(6)

這種方法需要學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)在環(huán)域上解析以及單位圓內(nèi)孤立奇點(diǎn)的定義有深刻的理解，解題關(guān)鍵在于將拆分出的兩個(gè)分式在單位圓內(nèi)挖去奇點(diǎn)形成的環(huán)域上展開為冪級(jí)數(shù)，即(1)、(2)兩式,其優(yōu)點(diǎn)在于不用進(jìn)行積分運(yùn)算.

解法2留數(shù)定理法.該函數(shù)是以2π為周期的偶函數(shù)，因此可以將其展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)，且l=π，即

(7)

根據(jù)(1)和(2)式有

(8)

其中Res[f(z),zk]表示函數(shù)f(z)在第k個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù),

(9)

(10)

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是利用了傅里葉級(jí)數(shù)展開的系數(shù)公式，方法較為直接，只是計(jì)算稍顯繁瑣.該方法的解題關(guān)鍵在于能夠?qū)?shí)變函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)換為復(fù)變函數(shù)的回路積分，并利用留數(shù)定理計(jì)算出積分，從而得到傅里葉展開系數(shù).

3 結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力是數(shù)學(xué)物理教學(xué)的重要內(nèi)容，因此，教師在講解實(shí)際問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生拓寬思路，不拘泥于參考書已有的方法，啟發(fā)學(xué)生嘗試新的不同的解題方法，使學(xué)生達(dá)到對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1] 梁昆淼,劉法,廖國慶.數(shù)學(xué)物理方法[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:1-375.

[2] 姚端正,梁家寶.數(shù)學(xué)物理方法[M].3版.北京：科學(xué)出版社,2010：1-340.

[3] 胡嗣柱,倪光炯.數(shù)學(xué)物理方法[M].2版.北京：高等教育出版社,2002：1-359.

[4] 斯頌樂,徐世良,高永椿,等.數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題解答[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社,1982：145-146.

[5] 苗明川,龔云,任正.數(shù)學(xué)物理方法全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解[M].北京：中國時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2011：75-76.