曾惠芳， 熊培銀

( 1.湖南科技大學(xué) 商學(xué)院； 2.湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院: 湖南 湘潭 411201 )

金融市場波動(dòng)性是近年來金融理論研究中較為活躍的一個(gè)課題，其中波動(dòng)率是衡量金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo).傳統(tǒng)的金融時(shí)間序列模型假設(shè)收益率序列服從正態(tài)分布，但是，近年來的大量實(shí)證研究表明，金融市場上絕大多數(shù)資產(chǎn)收益率序列的特征往往無法用一些標(biāo)準(zhǔn)的金融時(shí)間序列模型來刻畫，比如尖峰厚尾性、非對稱性等，尤其是當(dāng)條件方差不存在時(shí)，傳統(tǒng)的GARCH模型很難實(shí)現(xiàn)對金融市場波動(dòng)特征的刻畫.為了更全面和準(zhǔn)確地描述金融時(shí)間序列的波動(dòng)特征，研究者們提出了一些更加靈活和穩(wěn)健的分位回歸方法.如：Koenker等討論了異方差模型的分位估計(jì)[1]，且提出了分位自回歸條件異方差模型[2]，并推導(dǎo)了其估計(jì)量的漸近分布；Xiao等[3]提出了分位數(shù)GARCH模型，并給出了該模型的兩步估計(jì)方法以及估計(jì)量的漸近性質(zhì)；Chen等[4]提出了ARCH模型的一步估計(jì)，并提出了分位回歸模型的格蘭杰因果檢驗(yàn)；王新宇等[5]利用MCMC方法對間接TARCH-CAViaR模型進(jìn)行了貝葉斯分析，并分析了中國股市的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值.雖然對ARCH模型的分位回歸分析取得了一些成果，但它仍處于起步階段，有待于進(jìn)一步研究.本文討論了分位回歸ARCH模型的結(jié)構(gòu)特征及其相應(yīng)的估計(jì)方法，提出了AR-ARCH模型的兩步估計(jì)方法，并對其進(jìn)行了仿真驗(yàn)證分析.

1 模型結(jié)構(gòu)分析

假設(shè)隨機(jī)變量{yt}服從如下的AR-ARCH過程：

(1)

yt=σtet=(α0+α1|yt-1|+…+αq|yt-q|)et，

(2)

因此，分位回歸ARCH模型可用如下的隨機(jī)系數(shù)分位回歸AR來表示：

yt=σtet=(α0+α1|yt-1|+…+αq|yt-q|)et=α0(et)+α1(et)|yt-1|+…+αq(et)|yt-q|，

(3)

因?yàn)閨yt-j|以及系數(shù)都大于0， 所以它是關(guān)于et的單調(diào)遞增函數(shù).相應(yīng)地，yt的條件分位數(shù)函數(shù)為

(4)

在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，經(jīng)濟(jì)變量是互相聯(lián)系的，因此，在對資產(chǎn)收益率時(shí)間序列建模時(shí)，需要在分位回歸ARCH模型中引入其他經(jīng)濟(jì)解釋變量,即

yt=a0+a1yt-1+…+apyt-p+ap+1x1t+…+ap+vxv t+εt,

(5)

并假設(shè)殘差項(xiàng)為

εt=(α0+α1|εt-1|+…+αq|εt-q|+αq+1|x1t|+…+αq+v|xv t|)et，

(6)

(7)

2 模型的貝葉斯估計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)分位回歸ARCH模型的貝葉斯推斷，可以假設(shè)模型為

(8)

(9)

其中W=(wp+1,…，wn)′.假設(shè)參數(shù)α的先驗(yàn)分布為擴(kuò)散先驗(yàn)分布，即π(α)∝1， 根據(jù)貝葉斯公式，可以實(shí)現(xiàn)對參數(shù)α的貝葉斯分位回歸估計(jì).

3 仿真試驗(yàn)和分析

圖1分別給出了殘差項(xiàng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、自由度為3的t分布和標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的時(shí)間序列樣本軌跡圖.從圖1可以看出：擾動(dòng)項(xiàng)服從柯西分布的時(shí)間序列，其異常點(diǎn)最多；其次是擾動(dòng)項(xiàng)服從t分布的時(shí)間序列;正態(tài)分布的異常點(diǎn)相對較少.

圖1 時(shí)間序列樣本軌跡圖

選擇先驗(yàn)分布為均勻分布，可以由M-H算法模擬得到各個(gè)參數(shù)的邊緣后驗(yàn)分布.在模型運(yùn)行的過程中，一共迭代了11 000次.為確保參數(shù)估計(jì)的一致性，丟棄開始時(shí)的1 000次迭代，用1 001次到11 000次迭代得到的樣本來估計(jì)參數(shù).圖2給出了殘差項(xiàng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，模型參數(shù)在不同概率水平(τ=0.05,0.25,0.5,0.75,0.95)下的后驗(yàn)密度直方圖.由于篇幅所限，本文略去殘差項(xiàng)服從自由度為3的t分布和標(biāo)準(zhǔn)柯西分布情況下的模型參數(shù)估計(jì)的后驗(yàn)密度直方圖.從圖2可以看出，不同情況下參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)直方圖都呈倒鐘型，說明MCMC模擬過程是平穩(wěn)的，即該MCMC抽樣算法能有效地模擬分位回歸ARCH過程中各參數(shù)的邊緣后驗(yàn)分布.

表1給出了當(dāng)分位數(shù)τ=0.05,0.25,0.5,0.75,0.95時(shí)參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì).從表1可知，擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布或t分布時(shí)，因?yàn)槠浔旧硎菍ΨQ分布，所以參數(shù)的估計(jì)也是對稱的.當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布時(shí)，α0(0.05)=-9.415 0,α0(0.95)=9.896 0; 當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)服從t分布時(shí)，α0(0.05)=-14.881 0,α0(0.95)=14.020 2.由于t分布具有厚尾性，當(dāng)分位數(shù)相等時(shí)，t分布的尾部概率比正態(tài)分布更大.因?yàn)榭挛鞣植急萾分布具有更厚的尾部特征，所以其分位數(shù)在尾部的絕對值更大.模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果與真實(shí)值比較接近，這進(jìn)一步說明了該方法的有效性.

圖2 不同概率水平下參數(shù)的后驗(yàn)密度(殘差項(xiàng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)

表1 參數(shù)的貝葉斯分位回歸估計(jì)

參考文獻(xiàn)：

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[4] Chen C W S, Gerlach R, Wei D C M. Bayesian causal effects in quantiles: accounting for heteroscedasticity[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2009,53:1993-2007.

[5] 王新宇,宋學(xué)鋒.間接TARCH-CAViaR模型及其MCMC參數(shù)估計(jì)與應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2008(9):46-51.

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