郭良棟，龐 豹，何希勤，賀建軍＊2

（1.遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051；2.大連民族學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116600）

0 引 言

近年來，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、模式識(shí)別、聯(lián)想記憶等諸多領(lǐng)域［1－3］.在實(shí)際應(yīng)用中，一般要求設(shè)計(jì)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型必須是穩(wěn)定的.而時(shí)滯的存在往往導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定.因此，時(shí)滯人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析已經(jīng)引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的極大關(guān)注，并得到了大量優(yōu)秀的成果［4－17］.

為了降低穩(wěn)定性條件的保守性，文獻(xiàn)［4－6］利用積分不等式或積分等式方法，文獻(xiàn)［7］通過構(gòu)造新的Lyapunov－Krasovskii泛函，文獻(xiàn)［8－9］使用自由權(quán)矩陣的方法，文獻(xiàn)［10－11］運(yùn)用時(shí)滯分解方法并構(gòu)造新的Lyapunov－Krasovskii泛函，分別得到了一系列的穩(wěn)定性條件.但是，以上得到的結(jié)果仍有改進(jìn)的空間.如文獻(xiàn)［10－11］將時(shí)滯區(qū)間［0，d］分成若干相等的部分，對(duì)時(shí)滯信息的獲得有一定的保守性.

本文進(jìn)一步討論具有混合時(shí)滯的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性問題.通過將離散時(shí)滯區(qū)間［0，d］分成［0，d1］和［d1，d］兩段不等的區(qū)間（其中d1∈（0，d）），進(jìn)一步運(yùn)用積分不等式與改進(jìn)的凸優(yōu)化方法——倒數(shù)凸引理［12］來處理Lyapunov－Krasovskii泛函中的積分項(xiàng)，以期克服相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)滯分解方法的保守性.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有分布時(shí)滯的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中：z（t）＝（z1（t） …zn（t））T∈Rn，為神經(jīng)元 狀 態(tài) 向 量，g（z（t）） ＝（g1（z1（t）） …gn（zn（t）））T∈Rn，為神經(jīng)元激活函數(shù)；u＝（u1…un）T∈Rn，是常值輸入向量；C＝diag｛c1，…，cn｝＞0；A∈Rn×n，是連接權(quán)矩陣；B，D∈Rn×n是時(shí)滯連接權(quán)矩陣；d（t）、τ（t）為滿足0≤d（t）≤d，0≤τ（t）≤τ，（t）≤u的連續(xù)時(shí)變函數(shù)，其中d、τ、u都是常數(shù).初始向量Φ（t）是有界的且在［－h(huán)，0］上連續(xù)可微，其中h＝max｛d，τ｝.神經(jīng)元激活函數(shù)gi（·）（i＝1，2，…，n）滿足

根據(jù)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）存在平衡點(diǎn).假定z＊＝（z＊1…z＊n）是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）的一個(gè)平衡點(diǎn)，由文獻(xiàn)［13］知該平衡點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn).通過坐標(biāo)平移變換x（·）＝z（·）－z＊（·），系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)換為如下形式：

其 中x（t）＝（x1（t） …xn（t））T，f（x（t））＝（f1（x1（t）） …fn（xn（t）））T，fi（xi（t）） ＝gi（xi（t）＋z＊i）－gi（z＊i）（i＝1，2，…，n），且fi（0）＝0（i＝1，…，n）.由不等式（3），可得

當(dāng)v＝0時(shí)，有

定義1 若變量k＞0，β＞0且滿足

則系統(tǒng)（4）是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

引理1［14］對(duì)于任意正定矩陣Z∈Rn×n（Rn×n表示n×n的實(shí)矩陣），標(biāo)量h2＞h1＞0，有以下不等式成立：

引理2［12］設(shè)f1，f2，…，fN：RmaR 是定義在Rm（Rm表示m維Euclidean空間）的子集D上的正值，則關(guān)于fi的倒數(shù)凸組合，如果有

則滿足

引理3［15］以下不等式成立：

2 指數(shù)穩(wěn)定新判據(jù)

下面將給出一個(gè)基于時(shí)滯分段方法的具有更小保守性的指數(shù)穩(wěn)定性新判據(jù).為了描述方便，記

定理1 對(duì)于給定的常數(shù)d、d1、τ、u及指數(shù)衰減率k，對(duì)角矩陣ρp＝diag｛ρ－1，…，ρ－n｝，ρm＝diag｛ρ＋1，…，ρ＋n｝，系統(tǒng)（4）是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果 存 在 對(duì) 角 矩 陣K＝diag｛k1，…，kn｝，L＝diag｛l1，…，ln｝，Hi＝diag｛hi1，…，hin｝（i＝1，2，3），n維正定對(duì)稱矩陣P、Q、Q1、Q2、Q3、Q4、R1、R2、R3、Q11、Q22，n維的矩陣Q12、T1、T2，滿足下面的線性矩陣不等式

其中P≥（＜）0表示P為半正定（負(fù)定）矩陣，

證明 構(gòu)造如下Lyapunov泛函：

其中

計(jì)算Vi（x（t））（i＝1，…，5）的導(dǎo)數(shù)，有

另外，由式（5）、（6）知，對(duì)任意的正定對(duì)角矩陣Hi＝diag｛hi1，…，hin｝（i＝1，2，3），有

注意到（t）≤u，利用式（8）～（10）以及引理2處理上述導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中的積分項(xiàng)，將代入所求得的導(dǎo)數(shù)中，得

當(dāng)時(shí)滯d（t）∈［0，d1］時(shí)

當(dāng)時(shí)滯d（t）∈［d1，d］時(shí)

因此，當(dāng)線性矩陣不等式（11）、（12）成立時(shí)，（x（t））＜0，則系統(tǒng)（4）是全局漸近穩(wěn)定的.

由（x（t））＜0可得，V（x（t））≤V（x（0））.

又V（x（t））≥e2ktλmin（P）x（t）2，故x（t） ≤

由定義1可知，系統(tǒng)（4）是指數(shù)穩(wěn)定的，定理成立.證畢.

3 數(shù)值實(shí)例

下面給出兩個(gè)數(shù)值實(shí)例說明定理所給條件的優(yōu)越性.

例1 考慮系統(tǒng)（4），其中

表1給出了當(dāng)指數(shù)衰減率k＝0，u未知，d＝τ時(shí)，利用定理所得時(shí)滯上界與文獻(xiàn)［11，15－17］的比較，其中文獻(xiàn)［15－17］不劃分區(qū)間，文獻(xiàn)［11］均分區(qū)間，本文以d1＝5.21劃分區(qū)間.由表1可以看出，定理所得結(jié)果具有更小的保守性.為了驗(yàn)證所得結(jié)果，取f（x（t）） ＝1.5cos2t，圖1為例1中系統(tǒng)的仿真曲線圖.由圖1可以看出，當(dāng)時(shí)間逐漸增加時(shí)，狀態(tài)響應(yīng)曲線趨向于0.

表1 系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時(shí)滯上界dTab.1 Allowable delay upper bound d

圖1 例1中x1（t）、x2（t）、x3（t）的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State responses curves of x1（t），x2（t）and x3（t）in Example 1

例2 考慮系統(tǒng)（4），其中

當(dāng)參數(shù)τ、u、d為變量時(shí)，表2給出了由定理所得的最大指數(shù)衰減率與文獻(xiàn)［11，15，17］所得結(jié)果的比較.由表2可以看出，本文所得結(jié)果與上述文獻(xiàn)相比有了很大的提高，因此使得指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果具有更小的保守性.為了驗(yàn)證所得結(jié)果，取0.25sin2t，τ（t）＝0.2cos2t，圖2即為例2中系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線.由圖2可以看出，隨著時(shí)間的增加狀態(tài)響應(yīng)曲線也逐漸趨向于0.

表2 在不同的τ、u、d 下，系統(tǒng)穩(wěn)定的最大指數(shù)衰減率kTab.2 Allowable exponential convergence rate index k with differentτ，uand d

圖2 例2中x1（t）、x2（t）、x3（t）的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State responses curves of x1（t），x2（t）and x3（t）in Example 2

4 結(jié) 語

本文討論了具有分布時(shí)滯的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性問題.通過對(duì)時(shí)滯區(qū)間進(jìn)行不等分割并運(yùn)用倒數(shù)凸引理得到了基于線性矩陣不等式的全局指數(shù)穩(wěn)定性新判據(jù).數(shù)值實(shí)例說明了所得結(jié)果的有效性與更小的保守性.在后續(xù)的研究中，將討論將時(shí)滯區(qū)間分為不等的3個(gè)子區(qū)間時(shí)，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響.

［1］ Wong K B，Selvi Y.Neural network applications in finance：A review and analysis of literature（1990－1996）［J］.Information ＆ Management，1998，34（3）：129－139.

［2］ Joya G，Atencia M A，Sandoval F.Hopfield neural networks for optimization：study of the different dynamics［J］.Neurocomputing，2002，43（1－4）：219－237.

［3］ LIU Yu－rong，WANG Zi－dong，Serrano A，etal.Discrete－time recurrent neural networks with timevarying delays：exponential stability analysis ［J］.Physics Letters A，2007，362（5－6）：480－488.

［4］ ZHANG Huang－guang，WANG Zhan－shan，LIU De－rong.Global asymptotic stability of recurrent neural networks with multiple time－varying delays［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2008，19（5）：855－873.

［5］ WANG Zi－dong，LIU Yu－rong，F(xiàn)raser K，etal.Stochastic stability of uncertain Hopfield neural networks with discrete and distributed delays［J］.Physics Letters A，2006，354（4）：288－297.

［6］ GUO Liang－dong，GU Hong，WANG Zhe－long，etal.An improved delay－range－dependent robust stability criterion for uncertain stochastic Hopfield neural networks with mixed delays ［J］.ICIC Express Letters，Part B：Applications，2011，3（2）：735－741.

［7］ HUA Chang－chun，LONG Cheng－nian，GUAN Xin－ping.New results on stability analysis of neural networks with time－varying delays ［J］.Physics Letters A，2006，352（4－5）：335－340.

［8］ HE Yong，LIU Guo－ping，Rees D.New delaydependent stability criteria for neural networks with time－varying delay ［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2007，18（1）：310－314.

［9］ HE Yong，LIU Guo－ping，Rees D，etal.Stability analysis for neural networks with time－varying interval delay ［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2007，18（6）：1850－1854.

［10］ MOU Shao－shuai，GAO Hui－jun，QIANG Wen－yi，etal.New delay－dependent exponential stability for neural networks with time delay ［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，Part B，2008，38（2）：571－576.

［11］ TIAN Jun－kang，ZHONG Shou－ming，WANG Yong.Improved exponential stability criteria for neural networks with time－varying delays ［J］.Neurocomputing，2012，97（15）：164－173.

［12］ Park P，Ko J W，Jeong C.Reciprocally convex approach to stability of systems with time－varying delays［J］.Automatica，2011，47（1）：235－238.

［13］ XU Sheng－yuan，Lam J，Ho D W C，etal.Novel global asymptotic stability criteria for delayed cellular neural networks［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Express Briefs，2005，52（6）：349－353.

［14］ GU Ke－qin.An integral inequality in the stability problem of time delay systems［C］／／Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.Sydney：Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc.，2000：2805－2810.

［15］ ZHU Xun－lin，WANG You－yi.Delay－dependent exponential stability for neural networks with discrete and distributed time－varying delays ［J］.Physics Letters A，2009，373（44）：4066－4072.

［16］ SONG Qian－kun，WANG Zi－dong.Neural networks with discrete and distributed time－varying delays：a general stability analysis ［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2008，37（5）：1538－1547.

［17］ LI Tao，LUO Qi，SUN Chang－yin，etal.Exponential stability of recurrent neural networks with time－varying discrete and distributed delays［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10（4）：2581－2589.