江秀紅，段富海，金 霞，魏學(xué)東

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.沈陽航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；3.慣性技術(shù)航空科技重點(diǎn)實驗室，陜西 西安 710065）

0 引 言

故障樹分析（fault tree analysis，F(xiàn)TA）［1－2］、故障模式與影響分析（fault modes and effect analysis，F(xiàn)MEA）［3］、Markov鏈［4］等是復(fù)雜系 統(tǒng)可靠性評估中經(jīng)常使用的方法，但這些傳統(tǒng)方法在實際應(yīng)用中總會遇到不適用于動態(tài)系統(tǒng)、計算規(guī)模龐大、分析結(jié)果不夠精確等問題.GO 法（GO methodology）是美國軍方為分析武器系統(tǒng)安全性和可靠性而提出并逐漸發(fā)展起來的一種可靠性分析與評估方法，最初由美國KAMAN 科學(xué)公司提出［5－6］.近年來隨著其功能和算法的不斷發(fā)展完善，GO 法在應(yīng)用中表現(xiàn)出很多獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，已在航空、核電、設(shè)備性能分析、電網(wǎng)配電等高可靠領(lǐng)域得到成功應(yīng)用［7－10］.

GO法的分析方法主要有狀態(tài)組合算法和概率公式算法.狀態(tài)組合算法需考慮所有信號的狀態(tài)組合，定量計算比較煩瑣，尤其對含共有信號或多重邏輯門的系統(tǒng)，狀態(tài)組合數(shù)可能變得更加龐大而復(fù)雜.概率公式算法通過引入信號流狀態(tài)累積概率，導(dǎo)出GO 操作符的定量計算公式，簡化了可靠性的定量計算［6］，但對于多狀態(tài)多輸入的系統(tǒng)或操作符（如類型2、6、7等），計算過程仍過于煩瑣.為簡化計算，目前諸多基于GO 法的可靠性分析與評估都將系統(tǒng)設(shè)定為兩狀態(tài)［7－10］，這不僅限制了GO 法特長的發(fā)揮，也降低了系統(tǒng)分析結(jié)果的精度.

本文在狀態(tài)組合和概率公式兩種算法的基礎(chǔ)上，提出一種簡化的GO 定量計算方法.對部分常用操作符基于概率矩陣的計算公式進(jìn)行推導(dǎo)，并對文獻(xiàn)［11］中共有信號的處理算式進(jìn)行擴(kuò)展.通過列寫輸出與共有信號的多元一次方程組來求解輸出狀態(tài)概率的精確值，打破原算法對共有信號狀態(tài)個數(shù)的限制，以期為多輸入多狀態(tài)共有信號的處理提供一種簡易方法.

1 狀態(tài)概率矩陣的概念

設(shè)PS（i）為輸入信號的狀態(tài) 概率，i＝0，1，…，N，表示信號流的狀態(tài)值，0表示提前狀態(tài)，N表示故障狀態(tài)，1～（N－1）表示多種成功狀態(tài)（0～N也可代表有時序問題的多個時間點(diǎn)）.按狀態(tài)值i的大小將PS（i）排列成1×（N＋1）維矩陣：

稱PS為輸入狀態(tài)概率矩陣，又因只有N個PS（i）線性無關(guān)，定義1×N維矩陣P′S＝（PS（0）PS（1） …PS（N－1））為輸入的獨(dú)立狀態(tài)概率矩陣.同樣可給出輸出和操作符的狀態(tài)概率矩陣PR、PC及相應(yīng)P′R和P′C的定義.

假設(shè)操作符代表的單元和輸入輸出信號代表的子系統(tǒng)都是相互獨(dú)立的，則操作符和輸入信號的狀態(tài)組合聯(lián)合概率可用它們的概率相乘來得到，引入Φ和Φ′：

可見矩陣Φ中元素對應(yīng)輸入和操作符所有狀態(tài)組合的聯(lián)合概率，稱為狀態(tài)聯(lián)合概率矩陣.同樣，定義獨(dú)立狀態(tài)的聯(lián)合概率矩陣

基于這些定義，下面對常用操作符導(dǎo)出輸出狀態(tài)概率的計算公式.

2 概率矩陣定量分析算法

2.1 信號發(fā)生器

此操作符沒有輸入，可直接按輸出狀態(tài)值大小，將對應(yīng)的狀態(tài)概率合成輸出狀態(tài)概率矩陣：

若輸出不包含狀態(tài)值i，則相應(yīng)PR（i）＝0.

2.2 兩狀態(tài)單元

用來模擬只有成功和故障兩種狀態(tài)的單元，其獨(dú)立狀態(tài)概率矩陣可表示為P′C＝（PC（1））n×1，則輸入與操作符獨(dú)立狀態(tài)的聯(lián)合概率矩陣

由其運(yùn)算規(guī)則，輸出狀態(tài)概率矩陣可表示為

2.3 觸發(fā)發(fā)生器

模擬的單元有3 個狀態(tài)：提前、成功、故障，PC＝（PC（0）PC（1）PC（2）），若輸入狀態(tài)值為0～N，則

根據(jù)其狀態(tài)組合規(guī)則，Φ左上倒“L”區(qū)域的元素均為輸出提前的聯(lián)合概率，右下倒“L”區(qū)域的元素均為輸出故障的聯(lián)合概率，而中間列剩余元素從上到下依次為輸出狀態(tài)為1～（N－1）的概率，即

2.4 或 門

用來模擬多個信號的或邏輯關(guān)系，假設(shè)有兩個輸入PS1、PS2，則令

或門的運(yùn)算規(guī)則是輸出所有輸入信號中的最小狀態(tài)值，按這一原則，從Φ左上角開始，第一個倒“L”區(qū)域內(nèi)元素對應(yīng)的輸出狀態(tài)為0，第二個倒“L”區(qū)域?qū)?yīng)的輸出狀態(tài)為1，依次類推，最右下角的元素輸出狀態(tài)為N，所以

對于多輸入或門，可采用分級方式，按式（7）兩兩進(jìn)行計算，前一級的輸出再作為下一級或門的輸入，也即如有M個輸入的或門，則可有M－1次的矩陣相乘.

2.5 與門

與或門一樣，假設(shè)有兩輸入PS1、PS2，設(shè)兩輸入狀態(tài)值均為0～N，則

與門的運(yùn)算規(guī)則是輸出所有輸入信號中的最大狀態(tài)值，從Φ右下角開始，第一個倒“L”區(qū)域內(nèi)元素到左上角倒“L”區(qū)域內(nèi)元素，對應(yīng)的輸出狀態(tài)概率依次為N，…，1，0，所以輸出狀態(tài)概率矩陣為

對于多輸入，與門處理過程同或門.

2.6 有動作信號而關(guān)斷的元件

有主次兩個輸入信號S1、S2，通過分析其狀態(tài)運(yùn)算規(guī)則，可將本操作符的運(yùn)算等價分解為兩步.首先，次輸入信號S2與操作符之間的關(guān)系與觸發(fā)發(fā)生器相同，由式（6）得到二者的輸出Rt的狀態(tài)概率矩陣；其次，求S1與Rt的聯(lián)合概率矩陣，并求得最終輸出R的狀態(tài)概率矩陣.

2.7 有動作信號而導(dǎo)通的元件

次輸入信號與操作符之間的關(guān)系也與觸發(fā)發(fā)生器相同，所以可先由式（6）求得S2與操作符的輸出Rt的狀態(tài)概率矩陣.而S1與Rt的關(guān)系相當(dāng)于與運(yùn)算，利用式（8）即可求得輸出的最終PR.

限于篇幅，只給出上述操作符的運(yùn)算規(guī)則.其余操作符推導(dǎo)過程類似.

3 共有信號的精確處理方法

某些操作符有多個輸入信號，若這些輸入不是完全獨(dú)立的，則輸出概率需要進(jìn)行修正.對于簡單系統(tǒng)，在輸出信號的概率展開式中，直接將共有信號的高次項概率用一次項替代即可.但對于有多個共有信號和多重邏輯門的復(fù)雜系統(tǒng)，概率展開式的推導(dǎo)和計算過程將變得很復(fù)雜.文獻(xiàn)［11］在狀態(tài)累積概率的基礎(chǔ)上提出了一種解決思路，只要對共有信號的狀態(tài)組合進(jìn)行多次簡單GO 運(yùn)算，就可得到輸出概率的精確值，但此算法只針對具有兩狀態(tài)值的共有信號.本文在概率矩陣的基礎(chǔ)上，對文獻(xiàn)［11］的算法加以改進(jìn).

假設(shè)任意一個系統(tǒng)包含2個共有信號S1、S2，則從系統(tǒng)輸入開始，經(jīng)過共有信號修正（一次項代替高次項）后，輸出狀態(tài)概率矩陣一般可表示為

上式可看作多元一次方程組，其中A0、A1、A2、A12為與共有信號無關(guān)的未知系數(shù)矩陣，P′S1、P′S2、P′R為獨(dú)立狀態(tài)的概率矩陣，P′S12為S1與S2的獨(dú)立狀態(tài)的聯(lián)合概率矩陣Φ′組成的向量，即

因P′R未知，為了消元，需找出P′S1、P′S2、P′S12與P′R之間的對應(yīng)關(guān)系.又1k＝1，0k＝0（k＝0，1，…，∞），可取PS1（i）＝1和PS2（j）＝1的狀態(tài)組合（i，j＝0，1，…，N），并在不考慮共有信號修正的情況下，將每一種組合直接進(jìn)行GO 運(yùn)算，得到P′S1、P′S2、P′S12與P′R對應(yīng)的數(shù)據(jù)對，代入式（10），求得A0、A1、A2、A12.這時方程組中只有P′R未知，將初始正確的P′S1、P′S2、P′S12代入式（10），即可得到修正共有信號后的精確輸出P′R.

若存在M個共有信號Si，則輸出的獨(dú)立狀態(tài)概率矩陣可表示為

其中P′Sk1…kl為P′Sl與P′Sk1…kl－1的聯(lián)合概率矩陣行向量組成的行矩陣，形如式（11）.式（12）是式（10）的推廣，M個N狀態(tài)的共有信號有NM個狀態(tài)組合，在每一種狀態(tài)組合下進(jìn)行直接的GO 運(yùn)算，然后將特定狀態(tài)組合下的P′R代入式（12）求得系數(shù)A0，…，Ak1…kM，進(jìn)而得到輸出狀態(tài)概率的精確值.

由以上分析可見，若共有信號狀態(tài)個數(shù)增加，只需增加相應(yīng)的變量和方程，求解過程依然類似，所以此方法對共有信號的狀態(tài)個數(shù)是沒有限制的.

4 算例驗證

4.1 概率矩陣算法的一般步驟

圖1和表1分別是某設(shè)備驅(qū)動系統(tǒng)的GO 圖和狀態(tài)數(shù)據(jù).

圖1 某設(shè)備驅(qū)動系統(tǒng)GO 圖Fig.1 GO diagram of some device driver system

表1 某設(shè)備驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)概率Tab.1 State probability of some device driver system

這是一個四狀態(tài)系統(tǒng)，應(yīng)用概率矩陣進(jìn)行定量計算的步驟如下：

步驟1 確定各輸入及操作符的概率矩陣.

步驟2 沿信號流的方向利用概率矩陣公式求各操作符輸出概率矩陣.

單元3為有動作信號而導(dǎo)通的元件，由2.7，

由式（8）得PR3＝（0 0.855 0 0.145）.單元5類型同單元3，同樣PR5＝ （0 0.042 75 0.726 75 0.230 50）.單元6為兩狀態(tài)單元，Φ′6＝P′TR5P′C6由式（5）得PR6＝（0 0.034 2 0.581 4 0.384 4），這也即為最終輸出的各狀態(tài)概率值.

步驟3 共有信號的修正.

若系統(tǒng)不含共有信號，則步驟2的輸出即為最終輸出，否則需對共有信號進(jìn)行修正.

4.2 共有信號的修正

圖2為某供電系統(tǒng)的GO 圖，各單元均無提前狀態(tài)，狀態(tài)概率數(shù)據(jù)為

圖2 某供電系統(tǒng)GO 圖Fig.2 GO diagram of the power supply system

按4.1中步驟，不考慮共有信號求得最終輸出PR15＝（0.999 998 1 0.000 001 9）.但由圖2可見，信號流1和6同時輸入到多個操作符，屬于共有信號，導(dǎo)致信號流13、14非獨(dú)立，在計算或門15時就需進(jìn)行修正.

假設(shè)信號流1和6相互獨(dú)立，考慮到共有信號的影響，由式（10）最終輸出狀態(tài)概率可表示為

M＝2，N＝2，共有信號有22＝4個狀態(tài)組合，各狀態(tài)組合如表2所示.

表2 共有信號的狀態(tài)組合Tab.2 State combinations of shared signal

按4.1步驟1和2，重新計算系統(tǒng)的輸出成功概率，作為式（13）的常數(shù)項，進(jìn)而求得A0＝0，A1＝0.999 879 2，A2＝0.999 335 6，A12＝－0.999 216 4，代入式（13），得到輸出的成功概率精確值為P′R15＝0.999 879 2×0.995＋0.999 335 6×0.999－0.995×0.999≈0.999 990 0，此結(jié)果與文獻(xiàn)［11］分析的結(jié)果一致，證明此方法有效.

5 結(jié) 語

GO 法由于其自身的特點(diǎn)和優(yōu)勢，近年來逐步受到重視和發(fā)展.本文在狀態(tài)組合和概率公式兩種經(jīng)典算法的基礎(chǔ)上，提出了一種更為直觀簡便的GO 法定量分析方法——概率矩陣算法.引入了狀態(tài)概率矩陣和聯(lián)合狀態(tài)概率矩陣的概念，通過矩陣相乘和矩陣元素歸類實現(xiàn)可靠性的定量分析.此算法通過矩陣相乘列出所有狀態(tài)組合，不僅便于分析操作符狀態(tài)和信號流狀態(tài)之間的組合關(guān)系，而且對于多輸入多狀態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)，在精簡計算復(fù)雜度上具有更大的優(yōu)勢.

本文還對共有信號的精確處理提出了新的算式，使應(yīng)用范圍擴(kuò)展到多狀態(tài)共有信號，最后通過包含二重或門操作符的供電系統(tǒng)證明了此修正方法的有效性.

［1］ Majdara A，Wakabayashi T.Computerized fault tree construction for improved reliability analysis［J］.WIT Transactions on Information and Communication Technologies，2010，43（1）：149－160.

［2］ 賈立德，王金安，楊忠堂，等.基于故障樹分析的飛船檢漏間泄漏分析與建模［J］.宇航學(xué)報，2012，33（6）：844－848.JIA Li－de，WANG Jin－an，YANG Zhong－tang，etal.Analysis and modeling of leak factors of spaceship leak－testing room based on FTA method［J］.Journal of Astronautics，2012，33（6）：844－848.（in Chinese）

［3］ 周 真，馬德仲，于曉洋，等.用于產(chǎn)品可靠性分析的模糊FMECA 方法［J］.電機(jī)與控制學(xué)報，2010，14（10）：89－93.ZHOU Zhen，MA De－zhong，YU Xiao－yang，etal.Application of fuzzy FMECA in analysis of product reliability［J］.Electric Machines and Control，2010，14（10）：89－93.（in Chinese）

［4］ 朱正福，李長福，何恩山，等.基于馬爾可夫鏈的動態(tài)故障樹分析方法［J］.兵工學(xué)報，2008，29（9）：1104－1107.ZHU Zheng－fu，LI Chang－fu，HE En－shan，etal.The dynamic fault tree analysis method based on Markov chain ［J］.Acta Armamentarii，2008，29（9）：1104－1107.（in Chinese）

［5］ Chun B B.GO Methodology：Overview Manual［M］.Washington D C：Electric Power Research Institute，1983.

［6］ 沈祖培，黃祥瑞.GO 法原理及應(yīng)用——一種系統(tǒng)可靠性分析方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.SHEN Zu－pei，HUANG Xiang－rui.Principle and Application of GO Methodology：A System Reliability Analysis Methodology ［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2004.（in Chinese）

［7］ 金 霞，段富海.基于GO 法的電動靜液作動器可靠性分析［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報，2013，53（6）：846－850.JIN Xia，DUAN Fu－h(huán)ai.Reliability analysis of electro hydrostatic actuator based on GO methodology［J］.Journal of Dalian University of Technology，2013，53（6）：846－850.（in Chinese）

［8］ 郭昱霄.基于GO 法的復(fù)雜配電網(wǎng)可靠性評估及其軟件系統(tǒng)研究［D］.北京：北京交通大學(xué)，2011.GUO Yu－xiao.Reliability and software study of electric distribution system based on GO method［D］.Beijing：Beijing Jiaotong University，2011.（in Chinese）

［9］ 李 哲，魯宗相，劉井泉.基于GO 法的核電廠電氣主接線系統(tǒng)可靠性分析［J］.核動力工程，2010，31（3）：69－73.LI Zhe，LU Zong－xiang，LIU Jing－quan.Reliability analysis of nuclear power plant bus systems arrangement based on GO methodology［J］.Nuclear Power Engineering，2010，31（3）：69－73.（in Chinese）

［10］ DU Hui－bin，HU Jia－peng，DU Yu－long.etal.Stated analysis technique of GO methodology for reliability of fire protection systems［J］.Advanced Materials Research，2011，183－185：1383－1388.

［11］ 沈祖培，鄭 濤.復(fù)雜系統(tǒng)可靠性的GO 法精確算法［J］.清華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2002，42（5）：569－572.SHEN Zu－pei，ZHENG Tao.Exact algorithm for complex system reliability using the GO methodology［J］.Journal of Tsinghua University：Science and Technology，2002，42（5）：569－572.（in Chinese）