張明君，邵 誠，李世寬

（1.大連理工大學 控制科學與工程學院，遼寧 大連 116024；2.大連大顯集團，遼寧 大連 116620）

0 引 言

模糊自適應控制近20年得到了快速發(fā)展，在非線性系統(tǒng)控制領域得到了大量應用［1－13］.目前，模糊自適應控制主要分為基于模糊建模規(guī)則的間接自適應控制和基于模糊控制規(guī)則的直接自適應控制［2］.間接自適應控制中，模糊系統(tǒng)的語言描述能力被充分用來描述系統(tǒng)，從而使系統(tǒng)中的未知函數(shù)可以用模糊模型來建模，文獻［3－5］為典型的模糊間接自適應控制.但是對于較高變量維數(shù)的系統(tǒng)，或當模糊模型的規(guī)則數(shù)增加時，上述文獻中的控制器計算量將會增長迅速.而直接自適應控制通常采用模糊系統(tǒng)去逼近理想的等價控制器，一般要求系統(tǒng)增益函數(shù)已知，或者其界值可估計，但實際應用中界值不易確定，這樣可能使控制器的設計過于保守.文獻［6－8］中的直接模糊控制方法均需已知控制增益函數(shù)；文獻［9－11］中均假設控制增益為常數(shù)；文獻［12－13］中控制方法則是在估計未知控制增益函數(shù)界值的基礎上設計的，可能使控制器設計具有保守性.

本文在文獻［13］基礎上，針對含有不確定項的非線性系統(tǒng)，在控制增益函數(shù)及其界值均未知的條件下，僅要求控制增益函數(shù)為有界函數(shù)，設計新穎的等價控制器，應用廣義模糊雙曲正切模型在線逼近等價控制器，并用一個雙曲形式的魯棒補償控制項來消除系統(tǒng)中的不確定項和逼近誤差，以期實現(xiàn)魯棒直接自適應模糊控制.

1 預備知識

廣義模糊雙曲正切模型［14－16］是近年由Zhang等提出的模糊模型，已被證明是一種萬能逼近器.

定義1［15］已 知x＝（x1（t） …xn（t））T為MISO系統(tǒng)的狀態(tài)向量，通過平移常數(shù)dzj（z＝1，…，n，j＝1，…，wn）構成廣義狀態(tài)變量＝xz－dzj，定義模糊集合P和N的隸屬函數(shù)分別為

式中：ki為常數(shù).模糊模型的模糊規(guī)則（第l條）為

其中Fxzj為廣義狀態(tài)變量＝xz－dzj的模糊子集，cFzj是與之對應的常數(shù).系統(tǒng)的輸出變量y（t）由各模糊規(guī)則推得為

2 控制問題描述

考慮如下形式的SISO 非線性系統(tǒng)：

其中f（x）、g（x）是未知的非線性函數(shù)；系統(tǒng)的輸入、輸出變量為u（k）∈R，y（k）∈R，狀態(tài)向量為x＝（x…x（n－1））T＝（x1…xn）T∈Rn，系統(tǒng)的不確定項d∈R有界，包含外部干擾、未建模動態(tài)和測量誤差項，

假設1［17］非線性系統(tǒng)（4）中的非線性函數(shù)f（x）和控制增益函數(shù)g（x）未知但有界，即x∈Rn，存在未知邊界使得成立.

假設2［17］對于任意x∈D，有g（x）／xn＝0，使得

其中D∈Rn表示模糊逼近域，也即（x）只取決于狀態(tài)向量x.

控制系統(tǒng)（4）的設計目標是，設計一個控制算法，使系統(tǒng)輸出y（t）跟蹤有界參考信號ym（t）.定義e＝y(tǒng)m－y為系統(tǒng)的跟蹤誤差，假設ym具有n－1 階的各階導數(shù)，定義系統(tǒng)（4）等價表示為

3 魯棒直接自適應模糊控制算法

由文獻［1］知，當f（x）和g（x）均已知，d＝0時，對于系統(tǒng)（6）可設計等價控制器

其中K＝（kn…k1）T∈Rn使得h（s）＝sn＋k1sn－1＋…＋kn的所有的極點均落在左半開平面上，即A－BKT為嚴格Hurwitz的.

假設Q為滿足Q＝QT＞0的正定對稱矩陣，P是滿足下列方程的正定解：

本文對上述控制器修改如下：

因為f（x）和g（x）均未知，且d≠0，用廣義模糊雙曲正切模型在線逼近上述模糊控制器

注釋1 在線逼近等價控制器的模糊模型可以采用模糊基結構的多種模糊模型.本文選用廣義模糊雙曲正切模型逼近模糊控制器有如下原因：首先，GFHM 已被證明是萬能逼近器，可以用來構建模糊控制器；其次，其模糊語言簡單易獲得，而且模型的數(shù)學表達式簡單，算法易實現(xiàn)［15］.

定義自適應參數(shù)θ的約束集為Ωθ＝｛θ∈Rl：θ≤Mθ｝.定義最優(yōu)參數(shù)向量和參數(shù)誤差向量分別為

模糊控制器的最優(yōu)逼近誤差表示為wf＝g（x）［u＊（x）－uc（x／θ＊）］.設計系統(tǒng)（6）的總體控制器如下：

其中的魯棒補償控制項us在后面給出.注意，此控制器表達式中無控制增益函數(shù)g（x）或函數(shù)的界值，克服了設計的保守性.

由式（6）、（9）、（12），進一步推得系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)方程

定義誤差w＝（wf－d）／g（x），并假設存在正常數(shù)wM，滿足w≤wM.把uc（x／θ）＝θTψ（x）代入式（13）得

設計魯棒補償控制項us和參數(shù)自適應律分別為

其中λ∈（0，＋∞），r＝diag｛r1，r2，…，rl｝，ri∈（0，＋∞），l是θ的維數(shù)，λ、ri、ε是設計者設定的參數(shù).對比文獻［13］，本文的自適應律（16）中不再含有未知函數(shù)g（x）或函數(shù)的界值，克服了設計中的保守性.下面給出魯棒自適應控制律的有關定理.

定理1 假設形如式（6）的含有不確定項的非線性系統(tǒng)滿足假設1、2，同時滿足式（8），模糊控制器參數(shù)θ未知，則設計的模糊控制器式（12）、（15）及自適應律（16）能夠保證系統(tǒng)的所有信號及參數(shù)均具有一致有界性；且任意給定ρ＞總存在T（ρ）使得t≥T時，其中rmin＝min｛r1，…，rl｝.

證明 選擇Lyapunov函數(shù)如下：

已知對任意的ε＞0和η∈R，存在

其中κ為滿足κ＝exp（－（κ＋1））的常數(shù)，即κ＝0.278 5［5］.設η＝wMBTPE，把式（15）代入式（18），并應用式（19）得到

把式（16）代入式（20）得

因此，x、θ是一致漸近有界的［18］.進一步，對于任意給定的存在T（ρ）使得t≥T時，滿足證畢.

注釋2 GFHM 是一個全局非線性模型，它由雙曲正切函數(shù)的集合組成，模糊控制項uc是連續(xù)光滑的變量；另一方面，雙曲正切函數(shù)形式的魯棒補償控制項us也是連續(xù)光滑的.所以，整個控制輸入是連續(xù)光滑控制，無切換抖振現(xiàn)象.

注釋3 當ε取充分小，rmin、λmin（Q）取充分大時，可以使ρ充分小，即閉環(huán)跟蹤控制系統(tǒng)的跟蹤誤差充分小.

注釋4 為了確保參數(shù)θ∈Ωθ，需要采用投影算法修正參數(shù)的自適應律［1］.即如果參數(shù)在約束集內部或邊界，且正向約束集內部移動，則使用基本自適應律；如果參數(shù)在約束集邊界上，且正向約束集外部移動，則將參數(shù)向量的梯度映射到支撐超平面上.應用投影定理修正的自適應律為

其中投影算子

注釋5 在定理1 中，函數(shù)g（x）的上界只作分析用途，也即在設計控制器（12）時并不需要用到，從而降低了函數(shù)界值估計過大導致的控制器設計的保守性.

4 仿真實例

應用上述魯棒自適應控制算法來控制小車倒立擺跟蹤系統(tǒng).倒立擺的動態(tài)方程［5］：

式中：倒立擺的擺角為x1，角加速度為x2.初始條件x（0）＝ （0.2 0）T，跟蹤信號ym（t）＝（π／30）sint，其 他參數(shù)同文獻［5］.根據(jù)經(jīng)驗取wM＝3，應用本文提出的控制算法，取λ＝1，（1tanh（0.2x1） tanh（0.4x2））T，外部不確定的干擾d＝0.2sin（20πt）.

仿真結果如圖1所示.圖中系統(tǒng)跟蹤誤差很快收斂趨于零，并且控制輸入量光滑連續(xù)有界，可見，本文的魯棒自適應控制算法實現(xiàn)了系統(tǒng)跟蹤誤差收斂.

5 結 語

本文針對一類含有不確定項的非線性系統(tǒng)，在控制增益函數(shù)及其界均未知的條件下，僅要求控制增益函數(shù)為有界函數(shù)，提出了一種新的魯棒自適應模糊控制算法，從而降低了函數(shù)界值估計過大導致的控制器設計的保守性.本文的控制策略能保證控制系統(tǒng)跟蹤誤差收斂至充分小，獲得較好的跟蹤效果，且所有的變量均具有一致有界性.

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