額爾敦朝魯，董偉偉，張 聰

(河北科技師范學院物理系，河北秦皇島，066004)

隨著分子束外延、金屬有機化合物氣相沉積等技術的發(fā)展，人們已能制造出準零維納米結構的量子點。在這樣的納米結構中，由于量子點限定勢的存在限制了電子的運動，不僅呈現(xiàn)具有分立能級的量子態(tài)，而且電子與晶格間相互作用對電子的能級結構產生影響，研究這一影響所產生的效應，即極化子效應，具有十分重要的現(xiàn)實意義，現(xiàn)已有不少學者［1～5］研究了極化子對量子點的影響。然而，不難看出，近年來人們對量子點結構中極化子的研究大多都局限于單個電子與體縱光學(longitudinal optical，LO)聲子相互作用形成的單極化子情形，而量子點中雙極化子的問題卻未受到人們的廣泛關注。研究表明［6］，2個等同的帶電載流子，如電子或空穴，在固體中通過屏蔽的庫侖勢相互排斥，在大多數(shù)情況下不能形成束縛態(tài)，然而帶電載流子的性質可由它們與振動的晶格相互作用，即電聲相互作用而改變。在有些材料中，如離子晶體或極性半導體，這個電聲耦合作用足夠大能克服庫侖排斥而建立一個穩(wěn)定的電子對或空穴對，因為它包括2個帶電的極化子，所以稱為雙極化子，在固體中雙極化子能否形成決定于電子(空穴)的排斥及它們與畸變晶格的吸引二者之間的競爭。“雙極化子”一詞首先是由Pekar［7］引入的，繼后，許多學者［8～12］對它的物理性質進行了廣泛的研究。本研究綜述了近幾年來人們對拋物線性限制勢量子點中雙極化子［13，14，17］和磁雙極化子［19］性質方面的部分研究工作。

1 拋物量子點中強耦合雙極化子的有效勢

量子點中2個電子－LO聲子相互作用的系統(tǒng)由下面的Fr?lich哈密頓量描述

其中，V晶體的體積，α是無量綱的電子-聲子耦合

其中，ε∞(ε0)是高頻(靜態(tài))介電常數(shù)，稱為單極化子的半徑。為了計算方便，引進雙電子的質心坐標)/2和相對坐標，得到

首先，對雙極化子的質心坐標和動量引入Huybrechts線性組合算符［15］

其中，λ為變分參數(shù)，它表示雙極化子質心的振動頻率，j=x，y，z。再對哈密頓量H作Lee－Low－Pines(LLP)幺正變換［16］，

其中，fk和為變分參數(shù)，A是表征電子-聲子耦合強度的物理量，對于筆者所研究的電子與LO聲子強耦合體系，A=0［15，16］。推得變分函數(shù)

這里

是零溫(0 K)下體系的嘗試波函數(shù)，其中ψ(r)為雙極化子相對運動的波函數(shù)，|0〉a和|0〉b分別描寫雙極化子質心運動和LO聲子的真空態(tài)，滿足ak|0〉a=bj|0〉b=0。對 fk，和λ的變分極值給出雙極化基態(tài)能量的上限，

其中，F(xiàn)(fk，，λ)為變分函數(shù)，它對參數(shù) fk，和λ的變分極值Heff稱為電子-聲子系統(tǒng)的有效哈密頓量，經計算可得

式中

是描寫電子-聲子相互作用的特征函數(shù)，稱為誘生勢。雙極化子質心的振動頻率λ滿足:

在以上推導中忽略了多聲子之間相互作用引起的小項和波矢高階小項的貢獻。不難看出，雙極化子有效勢Veff由庫侖勢Vcoul，限定勢Vconf和誘生勢Ve－LO等三部分組成;數(shù)值計算結果表明，雙極化子的振動頻率λ、誘生勢的絕對值|Ve－LO|和有效勢的絕對值|Veff|均隨電子-聲子耦合強度α的增加而增大，隨電子間相對距離r的減小而增大;耦合強度α和電子間相對距離r是影響有效勢的主要因素，而量子點半徑R0和介電常數(shù)比η對有效勢Veff的影響較小。

2 量子點中強耦合雙極化子的聲子平均數(shù)與有效質量

首先，用下列Tokuda改進的線性組合算符［18］代替Huybrechts線性組合算符(5)式

這里

是有限溫度下體系的嘗試波函數(shù)，|nk〉為聲子態(tài)，|nj〉為極化子態(tài)?！蛋凑樟孔咏y(tǒng)計，將電子數(shù)n和聲子數(shù)以其平均數(shù)代替。

將式(15)，(17)～(19)代入(16)式，可得

則可確定變分參量λ，fk和，利用這些變分參量還可以得到電子－LO聲子體系的聲子平均數(shù):

其中

是雙極化子的LO聲子平均數(shù)。利用這些變分參量還可算得體系的總動量的平均值

其中

3 量子點中磁雙極化子的自旋極化態(tài)性質

考慮被約束在一個二維(x－y平面)拋物勢量子點中與LO相互作用的兩電子體系，設外磁場沿z軸方向，則體系的 Fr?lich 哈密頓量為［19］

式中，前2項表示兩電子的單粒子能量(其中第2項表示量子點的限定勢)，第3項表示兩電子間庫倫相互作用能，第4項表示電子自旋與外磁場相互作用能，第5項表示局域LO聲子場的能量，最后一項表示電子－LO聲子耦合項。Aj=B(－yj，xj，0)/2(j=1，2)是在電子處的矢勢，和(j=1，2)分別是電子在平面上的動量和矢量坐標，=(σx，σy，σz)是 Pauli算符，μB是玻爾磁子，ε是電子運動所處介質的相對介電常數(shù)，ω0為電子所受量子點約束勢強度，g*是朗德因子。

的極值問題，這里

是LLP幺正變換，其中，fk和為變分參數(shù)，對于筆者所研究的電子與LO聲子強耦合體系，A1=A2=0，假設對于體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)，高斯函數(shù)近似成立，則依據(jù)Pekar類型的變分法［20］，體系的嘗試波函數(shù)|ψ〉可以選為

其中，F(xiàn)(－n，|m|+1，λ2ρ2/2)是河流超幾何函數(shù)，N為歸一化系數(shù)，λ為變分參數(shù)。對于體系的基態(tài));第一激發(fā)態(tài):ψ1);|nk〉是聲子態(tài);|S，MS〉是兩電子體系的自旋波函數(shù)［21］，S=0，1為總自旋量子數(shù)，Ms=－S，－S+1，…，S為總自旋磁量子數(shù)。

由(32)式可以看出，磁雙極化子的基態(tài)能量E0和第一激發(fā)態(tài)能量E1由單粒子能量Ee、兩電子間庫倫相互作用能Ec、電子自旋與磁場相互作用能Es和電子-聲子相互作用能Ee－ph等4部分組成。數(shù)值結果表明，單粒子“軌道”運動與磁場相互作用導致了第一激發(fā)態(tài)能級E1分裂為和，而電子自旋-磁場相互作用的效應又使基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的各能級均產生了3條“精細結構”;磁雙極化子的基態(tài)聲子平均數(shù)和第一激發(fā)態(tài)聲子平均數(shù)N1隨量子點受限強度ω0，電子-聲子耦合強度α和磁場的回旋共振頻率ωc的增加而增大;而Ee－ph的取值總是小于0，其絕對值隨α，ω0和ωc增加而增大;電子-聲子相互作用的效應是束縛態(tài)磁雙極化子形成的有力因素;而限定勢和電子之間的庫侖排斥能的存在不利于束縛態(tài)磁雙極化子的形成;能量為的磁雙極化子要比能量為的磁雙極化子更容易且更穩(wěn)定的處于束縛態(tài)。

4 展 望

近年來，雙極化子的理論研究和實驗研究在有機聚合物領域進展較多，但在極性晶體或極性半導體中雙極化子的實驗研究甚少，一定程度上影響著雙極化子理論工作的進展;另外，雙極化子的Rashba效應的研究仍為空白;雙極化子的自旋單態(tài)和三重態(tài)效應有待深入研究。

［1］ Huangfu Y F，Yan ZW.Bound polaron in a spherical quantum dot under an electric field［J］.Physica E，2008，40(9):2 982－2 987.

［2］ Chen SH，Yao Q Z.The effectivemass of strong－couplingmagnetopolarons in a parabolic quantum dot［J］.Modern Physics Letters B，2011，25(32):2 419－2 425.

［3］ Li Z X，Xiao J L，Wang H Y.The effective mass of strong－coupled polaron in an asymmetric quantum dot induced with rashba effect［J］.Modern Physics Letters B，2010，24(23):2 423 －2 430.

［4］ Xiao W，Xiao JL.The effectivemass of strong－couplingmagnetopolaron in quantum dot［J］.Int JMod Phys B，2007，21(12):2 007－2 016.

［5］ Eerdunchaolu，Xin W，Zhao YW.Influence of lattice vibration on the ground－state ofmagnetopolaron in a parabolic quantum dot［J］.Modern Physics Letters B，2010，24(27):2 705－2 712.

［6］ Adamowski J.Formation of a Frohlich bipolarons［J］.Phys Rev B，1989，39:3 649－3 652.

［7］ Pekar S I.Research on electron theory of crystals［M］.Publisher:USABC，Washington D C，1963 .

［8］ Pokatilov E P，Crotitoru MD，F(xiàn)omin V M，et al.Bipolaron stability in an ellipsoidal potentialwell［J］.Phys Stat Sol(b)，2003，237:244－251.

［9］ Senger R T，Ercelebi A R T.On the stability of Fr?hlich bipolarons in spherical quantum dots［J］.JPhys:Condens Matt，2002，14:5 549－5 560.

［10］ Ruan Y H，Chen Q H，Jiao Z K.Variational Path－integral study on a bipolaron in a parabolic quantum wire orwell［J］.Internat JModern Phys B，2003，17:4 332－4 337.

［11］ Hohenadler M，Littlewood P B.Quantum Monte Carlo results for bipolaron stability in quantum dots［J］.Phys Rev B，2007，76:155 122－155 126.

［12］ Fai L C，F(xiàn)omethe A，F(xiàn)otue A J，et al.Bipolaron in a quasi－0D quantum dot［J］.Superlatt Microstuct，2008，43:44－52.

［13］ Eerdunchaolu，Wei Xin.Temperature dependence of the properties of strong－coupling bipolraon in a quantum dot［J］.Physica B，2011，406:358－362.

［14］ Xiao J L.Properties of a strong coupling bipolaron in an asymmetric quantum dot［J］.JLow Temp Phys，2014，174:284－291.

［15］ Huybrechts J.Note on the ground－state energy of the Feynman polaron［J］.JPhys C:Solid State Phys，1976，9(8):211－212.

［16］ Lee T D，Low FM，Pines D.Themotion of slow electrons in a crystal［J］.Phys Rev，1953，90(1):297－302.

［17］ Xin W，Gao ZM，Wuyunqimuge，et al.Influence of temperature and LO phonon effects on the effective mass of quasi0D bipolarons in the strong－coupling limit［J］.Superlattices and Microstructures，2012，52:872－879.

［18］ Tokuda N.A variational approach to the polaron problem［J］.JPhys C:Solid State Phys，1980，13:L851－L855.

［19］ Eerdunchaolu，Han C，Xin W，et al.Influence of magnetic field and lo phonon effects on the spin polarization state energy of strong－coupling bipolaron in a quantum dot［J］.JLow Temp Phys，2014，174:301－310.

［20］ Chatterjee A.Strong－coupling theory for the multidimensional free optical magneto polar on［J］.Phys Rev B，1990，41:1 668－1 670.

［21］ Schiff L.Quantum Mechanics(3nded)［M］.New York:McGraw－Hill，Inc，1968.