劉修善，蘇義腦

（1.中國石化石油工程技術(shù)研究院；2.中國石油集團鉆井工程技術(shù)研究院）

空間圓弧軌跡的井斜演化規(guī)律及控制模式

劉修善1，蘇義腦2

（1.中國石化石油工程技術(shù)研究院；2.中國石油集團鉆井工程技術(shù)研究院）

建立空間圓弧軌跡的井斜方程，得到空間圓弧軌跡所在斜平面姿態(tài)、空間圓弧軌跡井斜角極值等求解方法，揭示空間圓弧軌跡的井斜演化規(guī)律及控制模式?？煞謩e由正演模型和反演模型計算出空間圓弧軌跡上任一點的井斜角和方位角、斜平面姿態(tài)的傾斜角和傾斜方位角以及軌跡井斜角極值點參數(shù)，正演模型和反演模型的計算結(jié)果完全相同?？臻g圓弧軌跡或其趨勢線存在井斜角極值點，極小和極大井斜角點的井眼軌跡切線分別指向所在斜平面的下傾和上傾方向，兩個極值點的彎曲角和方位角均相差180°。斜平面姿態(tài)參數(shù)、井斜角極值點參數(shù)與井段始點的井斜角和工具面角有關(guān)，與井段長度無關(guān)。對于空間圓弧軌跡，斜面傾角模式存在二義性，應使用工具面角或定向方位角控制模式。圖3表4參20

鉆井理論；定向鉆井；井眼軌跡；井斜演化

0 引言

目前，空間圓弧模型被廣泛用于設計、監(jiān)測和控制井眼軌跡，并被納入石油天然氣行業(yè)標準[1-2]。早期的有關(guān)研究主要集中于實鉆軌跡的測斜數(shù)據(jù)計算，以計算井眼軌跡的坐標參數(shù)為研究重點[3-5]。隨著地質(zhì)條件日趨復雜和鉆井技術(shù)不斷進步，鉆探了各種類型的三維定向井，因此基于空間圓弧模型發(fā)展形成了一系列三維井眼軌跡設計方法[6-13]。同時，在空間圓弧軌跡的模型化研究方面也取得了顯著的進展[14-17]。

空間圓弧軌跡是位于空間斜平面內(nèi)的圓弧，其井眼曲率保持不變且井眼撓率為零，可被視為1條二維曲線，也是最簡單的井眼軌跡模型。然而，空間圓弧軌跡在垂直剖面圖和水平投影圖上都不是圓弧，且工具面角沿井深變化，給理論計算和施工工藝設計都帶來了一些困難。2006年，筆者發(fā)現(xiàn)用于扭方位設計的計算公式會出現(xiàn)異常結(jié)果[18]，隨后韓志勇通過研究井斜角的變化規(guī)律及特征解釋了這種現(xiàn)象[19]，還提出了用于控制空間圓弧軌跡的斜面傾角模式[20]。本文研究空間圓弧軌跡的井斜角極值、所在斜平面姿態(tài)以及兩者之間的對應關(guān)系等問題，旨在厘清空間圓弧軌跡的井斜演化規(guī)律及控制模式，為井眼軌跡設計、監(jiān)測與控制提供參考。

1 空間圓弧軌跡井斜方程

井眼軌跡模型以井段為研究對象，將其假設為具有明確物理意義和幾何意義的特定曲線，既適用于設計軌道也適用于實鉆軌跡。在研究井眼軌跡模型時，井段始點的軌跡參數(shù)通常為已知數(shù)據(jù)，如果給定井段的軌跡特征參數(shù)，則可以計算出井段終點的基本軌跡參數(shù)（井深、井斜角和方位角）；反之，若給定井段終點的基本軌跡參數(shù)，也可以計算出井段的軌跡特征參數(shù)。將這兩種情況的井眼軌跡模型分別稱之為正演模型和反演模型。顯然，正反演模型的已知條件不同，但兩者之間可以相互換算和驗證，并且都可以計算井段的坐標增量。

空間圓弧軌跡（見圖1）的特征參數(shù)是井段的井眼曲率κ（或曲率半徑R）和井段始點的工具面角ωA（本文稱初始工具面角），前者決定了井眼軌跡的形狀，后者決定了井眼軌跡的姿態(tài)[17]。

圖1 空間圓弧軌跡及所在斜平面

可見，正演模型和反演模型都將任一井深處的井斜角α和方位角φ表示成彎曲角ε的函數(shù)?？紤]到彎曲角與井段長度的關(guān)系，井斜角和方位角也是井段長度的函數(shù)。應用（1）式、（2）式可計算出任一井深處的井斜角和方位角，且既適用于內(nèi)插計算也適用于外插計算[17]。

2 空間斜平面姿態(tài)

空間圓弧軌跡是位于空間斜平面內(nèi)的圓弧，空間圓弧軌跡的姿態(tài)決定了其所在斜平面的姿態(tài)?？臻g斜平面的姿態(tài)可用傾斜角β和傾斜方位角ψ表征[20]，傾斜角是指空間斜平面與垂直方向的夾角，傾斜方位角是指空間斜平面的傾斜方向投影到水平面上后與正北方向的夾角（見圖1）。

根據(jù)空間圓弧軌跡與空間斜平面之間的約束關(guān)系，應用空間解析幾何和向量分析原理，可以分別得到基于正演模型和反演模型的斜平面姿態(tài)參數(shù)：

傾斜角β和傾斜方位角ψ都存在下傾方向和上傾方向的兩個值（見圖1）。計算出的兩個傾斜角中數(shù)值較小者為下傾方向的傾斜角，相應的傾斜方位角為下傾方向，數(shù)值較大者為上傾方向的傾斜角，相應的傾斜方位角為上傾方向。此外，傾斜角和傾斜方位角的值域分別為[0°，180°]和[0°，360°]，而反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)的主值區(qū)間都是[?90°，90°]，所以還應將計算結(jié)果換算到相應的值域范圍內(nèi)。

3 井斜角極值

上述研究結(jié)果表明：在空間圓弧軌跡的形狀和姿態(tài)都確定的條件下，井斜角隨井深的變化規(guī)律并非單調(diào)增加或減小，而是呈三角函數(shù)關(guān)系，說明井斜角可能存在極值，例如，穩(wěn)斜扭方位時只是扭方位井段的始點和終點井斜角相等，其間往往是增斜和降斜井段共存，且增斜與降斜的量值相等，所以二者相互抵消后便實現(xiàn)了穩(wěn)斜效果[18-19]。

應用極值理論，基于井斜角方程可得到井斜角極值。對于正演模型：

對于反演模型：

為判別井斜角極值是極小值還是極大值，對于正演模型，令：

對于反演模型，令：

q為正值時，αext為極小井斜角；q為負值時，αext為極大井斜角。

4 井斜演化規(guī)律

圓弧是圓的一部分，把1段空間圓弧軌跡向兩側(cè)延伸將得到1個圓形，這樣的圓形有4個特殊點（見圖2）[19]。a點和c點分別為圓形軌跡的最高點和最低點，在這兩點處圓形軌跡的切線都指向水平方向，因此井斜角均為90°。b點和d點都是增降斜的轉(zhuǎn)折點，但是其兩側(cè)的井斜變化趨勢相反。b點和d點是井斜角的極值點，其井斜角分別為極小值αmin和極大值αmax?？梢宰C明，所以圓形軌跡的極小井斜角和極大井斜角分別等于斜平面下傾和上傾方向的傾斜角。事實上，b點和d點處的圓形軌跡切線分別指向斜平面的下傾和上傾方向，在這兩點處圓形軌跡的方位角也分別等于斜平面下傾和上傾方向的傾斜方位角。

圖2 井斜角變化規(guī)律

上述4個特殊點將圓形軌跡分為4個區(qū)間[19]，若從a點開始沿順時針方向行進，則井斜角的變化規(guī)律為：①第Ⅰ區(qū)間（a→b）為降斜，井斜角從αa=90°降到αb=αmin；②第Ⅱ區(qū)間（b→c）為增斜，井斜角從αb=αmin增到αc=90°；③第Ⅲ區(qū)間（c→d）為增斜，井斜角從αc=90°增到αd=αmax；④第Ⅳ區(qū)間（d→a）為降斜，井斜角從αd=αmax降到αa=90°。當斜平面為垂直方向平面時，αmin=0°，αmax=180°；當斜平面為水平面時，αmin= αmax=90°，此時任一點的井斜角均為90°。

5 軌跡控制模式

空間圓弧軌跡是最簡單的數(shù)學曲線，其顯著特征是井眼曲率為常數(shù)。但空間圓弧軌跡的工具面角是沿井深變化的，盡管可以設計和計算出空間圓弧軌跡上每一點的工具面角[17]，但目前還沒有相應的工藝技術(shù)能使工具面角沿井深連續(xù)變化。為解決這個現(xiàn)場施工技術(shù)難題，韓志勇[20]提出了斜面傾角模式，即采用斜平面的傾斜角和傾斜方位角作為空間圓弧軌跡的控制參數(shù)。但是，這種方法存在二義性（見圖3），無法唯一確定空間圓弧軌跡的姿態(tài)。

圖3 斜面傾角模式的二義性

由（3）式可知：空間圓弧軌跡所在斜平面的姿態(tài)參數(shù)取決于井段始點的井斜角和工具面角。在始點井斜角相同的條件下，初始工具面角相差180°的兩個空間圓弧軌跡具有相同的斜平面姿態(tài)參數(shù)（見圖3）。在斜平面傾斜角和傾斜方位角確定的條件下，從某點C開始既可能鉆出軌跡Γ1也可能鉆出軌跡Γ2，而軌跡Γ1和軌跡Γ2卻是背道而馳的。因此，對于空間圓弧軌跡仍推薦使用工具面角或定向方位角控制模式[17]，并且在定向鉆進施工過程中要及時監(jiān)控工具面角或定向方位角。通常，如果利用MWD（隨鉆測量）等儀器每鉆進1個單根監(jiān)控1次或多次工具面角，基本能夠滿足井眼軌跡控制的工程需求。

6 實例分析

假設某空間圓弧井段的井眼曲率為12°/30 m，始點井斜角αA為30°、工具面角ωA為60°，則由正演模型計算可得：①斜平面姿態(tài)參數(shù)。下傾和上傾方向傾斜角分別為25.659°和154.341°，下傾和上傾方向傾斜方位角與井段始點方位角之差分別為?33.690°和146.310°。②井斜角極值點參數(shù)。井眼軌跡的極小/極大井斜角（25.659°/154.341°）位于井段長度?40.255 m/409.745 m、彎曲角?16.102°/163.898°處，極小/極大井斜角點的方位角與始點方位角之差為?33.690°/ 146.310°。

為了驗證正反演模型的計算結(jié)果，首先用正演模型計算出不同井段長度條件下的終點軌跡參數(shù)，再用反演模型求取斜平面姿態(tài)參數(shù)（見表1）和井斜角極值點參數(shù)（見表2）。在保持始點井斜角和井眼曲率不變的條件下，分別取始點工具面角為30°、60°、120°、240°、300°和320°，重復上述方法，計算結(jié)果見表3、表4。

表1 初始工具面角為60°時的斜平面姿態(tài)參數(shù)

表2 初始工具面角為60°時的井斜角極值點參數(shù)

表3 不同初始工具面角下斜平面姿態(tài)參數(shù)

表4 不同初始工具面角下井斜角極值點參數(shù)

由表1—表4可知：①利用正演模型和反演模型求得的斜平面姿態(tài)參數(shù)、井斜角極值點參數(shù)完全相同；②無論井段終點位于圖2中哪個區(qū)間，正反演模型都適用；③斜平面姿態(tài)和井斜角極值僅與井段始點的井斜角和工具面角有關(guān)，而與井段長度（即終點位置）無關(guān)；④極小和極大井斜角的值域分別為[0°，90°]和[90°，180°]，兩個井斜角極值點的彎曲角相差180°；⑤斜平面下傾和上傾方向的傾斜角互為補角，空間圓弧軌跡的極小和極大井斜角也互為補角；⑥斜平面下傾和上傾方向的傾斜方位角相差180°，空間圓弧軌跡兩個井斜角極值點處的方位角也相差180°；⑦相差180°的兩個初始工具面角所鉆出的兩個空間圓弧軌跡位于同一個斜平面內(nèi)，但這兩個空間圓弧軌跡卻是相背而行。

7 結(jié)論

可分別由正演模型和反演模型得到空間圓弧軌跡的井斜角方程和方位角方程，并計算出任一井深處的井斜角和方位角。空間圓弧軌跡所在斜平面姿態(tài)可用傾斜角和傾斜方位角來表征。通過空間圓弧軌跡的姿態(tài)能夠唯一確定其所在斜平面的姿態(tài)。

空間圓弧軌跡或其趨勢線存在井斜角極值點，極小和極大井斜角點的井眼軌跡切線分別指向所在斜平面的下傾和上傾方向。空間圓弧軌跡的極小和極大井斜角分別等于所在斜平面下傾和上傾方向的傾斜角，這兩點處的井眼軌跡方位角分別等于所在斜平面下傾和上傾方向的傾斜方位角。

利用正演模型和反演模型求得的斜平面姿態(tài)參數(shù)、井斜角極值點參數(shù)完全相同，且斜平面姿態(tài)參數(shù)和井斜角極值點參數(shù)僅與井段始點的井斜角和工具面角有關(guān)，與井段長度無關(guān)。兩個井斜角極值點的彎曲角和方位角均相差180°。

在始點井斜角相同的條件下，初始工具面角相差180°的兩個空間圓弧軌跡具有相同的斜平面姿態(tài)。斜面傾角模式存在二義性，不宜作為空間圓弧軌跡的控制模式。推薦使用工具面角或定向方位角控制模式。

符號注釋：

L——井深，m；ΔL——井段長度，m；α——井斜角，（°）；φ——方位角，（°）；κ——井眼曲率，（°）/m；R——曲率半徑，m；ε——彎曲角，（°）；β——斜平面的傾斜角，（°）；β1——斜平面下傾方向的傾斜角，（°）；β2——斜平面上傾方向的傾斜角，（°）；ψ——斜平面的傾斜方位角，（°）；ψ1——斜平面下傾方向的傾斜方位角，（°）；ψ2——斜平面上傾方向的傾斜方位角，（°）；αext——井斜角極值，（°）；Lext——井斜角極值點的井深，m；εext——井斜角極值點的彎曲角，（°）；φext——井斜角極值點的方位角，（°）；αmax，αmin——井斜角極大值和極小值，（°）。下標：A，B，a，b，c，d——井段上不同位置點。

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（編輯 胡葦瑋 繪圖 劉方方）

Evolution pattern and control mode of well deviation for circular-arc trajectories in space

Liu Xiushan1,Su Yi’nao2
(1.Sinopec Research Institute of Petroleum Engineering,Beijing 100101,China;2.CNPC Drilling Research Institute,Beijing 100083,China)

The well deviation equation of circular-arc trajectory in space was established,the solution methods to determine the posture of the inclined plane that the circular-arc trajectory lies on and the extreme value of inclination angle of the circular-arc trajectory were presented,and the evolution pattern and control mode of well deviation for circular-arc trajectories in space was revealed.Some parameters can be calculated by the forward model and inverse model respectively,including the inclination angle and azimuth angle at any point along a circular-arc trajectory,the inclined angle and inclined azimuth angle of the inclined plane that the circular-arc trajectory lies on and the various parameters at the point with extreme inclination angle,and the calculated results from the forward model are the same as those from the inverse model.There are two points with extreme inclination angles along a circular-arc trajectory or its trendline,and the tangent lines of wellbore trajectory at the points with minimum and maximum inclination angles point to downdip and updip directions of the inclined plane respectively,the bending angle and azimuth angle differences between the two points are both 180°.The posture of inclined plane and parameters at extreme inclination points relate to the inclination angle and tool face angle at the beginning point of well interval,but have nothing to do with the interval length.The inclined angle mode for controlling a circular-arc trajectory is ambiguous,so the tool-face angle or directional azimuth angle modes should be used.

drilling theory;directional drilling;wellbore trajectory;well deviation evolution

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）“深井復雜地層安全高效鉆井基礎(chǔ)研究”（2010CB226700）；國家科技重大專項“海相碳酸鹽巖油氣井井筒關(guān)鍵技術(shù)”（2011ZX05005-006）

TE21

：A

1000-0747(2014)03-0354-05

10.11698/PED.2014.03.12

劉修善（1962-），男，黑龍江牡丹江人，博士，中國石化石油工程技術(shù)研究院教授級高級工程師，主要從事導向鉆井工藝、井下信息測量與控制等方面的研究工作。地址：北京市朝陽區(qū)北辰東路8號北辰時代大廈9層，中國石化石油工程技術(shù)研究院，郵政編碼：100101。E-mail：liuxs.sripe@sinopec.com

2014-02-20

2014-04-10