陸 超

（重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074）

Lu Chao

（School of Civil Engineering,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074）

坐標(biāo)方位角在工程測(cè)量應(yīng)用中具有重要地位。在市政工程、公路工程現(xiàn)場(chǎng)施工放樣中，通常采用極坐標(biāo)法將設(shè)計(jì)點(diǎn)位放樣到實(shí)地，必須通過(guò)坐標(biāo)反算得到測(cè)站點(diǎn)到放樣點(diǎn)的距離和坐標(biāo)方位角。

傳統(tǒng)的坐標(biāo)方位角計(jì)算方法是在象限判斷的基礎(chǔ)上利用象限角與方位角的定量關(guān)系推算坐標(biāo)方位角，象限角與方位角概念混淆時(shí)計(jì)算容易出錯(cuò)［1-5］。對(duì)目前所有測(cè)量書(shū)籍和相關(guān)資料分析，不難看出，基本上從三角函數(shù)關(guān)系（標(biāo)量）的角度分析坐標(biāo)方位角的計(jì)算方法。這些推導(dǎo)過(guò)程和計(jì)算公式（含統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型）不便于理解與掌握。

本文將向量?jī)?nèi)積、外積引入到直線坐標(biāo)方位角的計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程中，為坐標(biāo)方位角的推算提供一種新思路，同樣是對(duì)反余弦函數(shù)計(jì)算坐標(biāo)方位角做出的新解釋。

1 傳統(tǒng)的坐標(biāo)方位角計(jì)算法

方位角是指從起始方向北端算起，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至某方向線間的水平角度［6］。根據(jù)起始方向的選取不同，方位角具體分為真方位角、磁方位角和坐標(biāo)方位角。其中，坐標(biāo)方位角的起始方向?yàn)樽鴺?biāo)縱線。坐標(biāo)方位角的取值范圍是0°～360°。

在傳統(tǒng)的坐標(biāo)方位角計(jì)算中，引入了象限角概念。象限角是指由標(biāo)準(zhǔn)方向的北端（或南端）順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)至某一直線的水平銳角。象限角的取值范圍是0°～90°。

已知測(cè)站點(diǎn)和放樣點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（XA，YA）、B（XB，YB），則兩點(diǎn)坐標(biāo)增量△XAB=XB-XA，△YAB=YB-YA，AB兩點(diǎn)距離，象限角RAB為：

坐標(biāo)方位角與象限角是兩種不同的概念，傳統(tǒng)的坐標(biāo)方位角計(jì)算方法是基于象限角來(lái)進(jìn)行的。根據(jù)△XAB和△YAB的正負(fù)性，通過(guò)添加常數(shù)項(xiàng)將象限角轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)方位角αAB。這種計(jì)算方法不僅比較繁瑣，而且△XAB為0時(shí)需要特殊處理。

2 坐標(biāo)方位角計(jì)算新思路

2.1 坐標(biāo)方位角與向量夾角關(guān)系

距離沒(méi)有方向性，需要借助X、Y增量的正負(fù)性來(lái)判斷坐標(biāo)方位角所在象限。然而向量既代表大小，又代表方向，可以直接斷定坐標(biāo)方位角所在象限。選取坐標(biāo)縱軸（正北方向）的單位向量=（1，0），向量與向量夾角為θ。向量夾角θ∈［0°，180°］，而坐標(biāo)方位角α∈［0°，360°），兩者之間存在著某種固定轉(zhuǎn)換關(guān)系。各象限中坐標(biāo)方位角α與向量夾角θ的關(guān)系如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)方位角與向量夾角關(guān)系

由圖1易得，當(dāng)α在第一、二象限時(shí)，α=θ；當(dāng)α在第三、四象限時(shí)，α=360°-θ。其中，θ可由向量?jī)?nèi)積定義求得，向量夾角θ為：

坐標(biāo)方位角所在象限判定的定量表達(dá)成為問(wèn)題的關(guān)鍵。從向量角度出發(fā)，引入了向量外積［7］。

2.2 向量外積引入

綜上所述，直線的坐標(biāo)方位角α為：

當(dāng)△YAB=0即位于X軸時(shí)，式（4）同樣成立?？梢詫⑹剑?）合并為統(tǒng)一的表達(dá)式：

3 結(jié)語(yǔ)

從矢量角度出發(fā)，借助向量?jī)?nèi)積、外積推導(dǎo)直線坐標(biāo)方位角的計(jì)算公式，該方法具有形象直觀，容易理解和掌握的優(yōu)點(diǎn)，為進(jìn)一步理解直線坐標(biāo)方位角的計(jì)算提供一種新思路。內(nèi)外積分析法同樣可用于解決道路路線的轉(zhuǎn)角問(wèn)題。

［1］譚家兵，劉星.利用坐標(biāo)反算直線坐標(biāo)方位角的最佳數(shù)學(xué)模型［J］.江蘇測(cè)繪，2001，24（3）:24-25，27.

［2］高俊強(qiáng)，鄭國(guó)才.測(cè)量學(xué)教學(xué)中坐標(biāo)方位角的計(jì)算［J］.現(xiàn)代測(cè)繪，2005，28（5）:47-48.

［3］陳德標(biāo).坐標(biāo)方位角計(jì)算實(shí)用通式［J］.測(cè)繪通報(bào)，2006（2）:30-31，69.

［4］王健，李小光，宋利杰.直線坐標(biāo)方位角的簡(jiǎn)明算法［J］.礦山測(cè)量，2010（2）:62-63，65.

［5］涂群生.距離和坐標(biāo)方位角計(jì)算的簡(jiǎn)易方法［J］.測(cè)繪通報(bào)，2006（7）:43-44.

［6］鄭平元，楊武年，楊容浩.輔助角法在坐標(biāo)方位角反算中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪與空間地理信息，2012，35（7）:44-45.

［7］李香清.基于對(duì)話框編寫(xiě)實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)方位角正算與反算的程序［J］.城市勘測(cè)，2013（5）:137-139.