羅世堯

摘 要： 復(fù)變函數(shù)是數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)本、專科的一門重要基礎(chǔ)課程。復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)定理多，概念抽象，學習難點多，由于受傳統(tǒng)教學模式的制約，歷來都存在難教難學的問題。作者結(jié)合自己多年的教學經(jīng)歷，就在教學中如何改革教學模式，進一步提高教學效率，讓學生全面系統(tǒng)地理解和掌握復(fù)變函數(shù)的理論和方法，并提出教學策略。

關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 重點 難點 教學策略

引言

復(fù)變函數(shù)課程是高等師范大學和綜合性大學數(shù)學類專業(yè)本、?？频囊婚T重要基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論主要研究對象是解析函數(shù)，是數(shù)學分析的后續(xù)課程，是實變函數(shù)微積分理論的推廣和發(fā)展；復(fù)變函數(shù)論又稱復(fù)分析，它不僅在內(nèi)容上與實變函數(shù)微積分有許多類似之處，而且在研究問題方面與邏輯結(jié)構(gòu)方面非常類似。復(fù)變函數(shù)論不僅是我們所學數(shù)學分析的理論推廣，而且作為一種強有力的工具，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于自然科學的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學及自動控制學等，目前被廣泛應(yīng)用于信號處理、電子工程等領(lǐng)域。

作為高師數(shù)學專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程的主講老師，我在多年的教學實踐中不斷進行深入的思考、探索，積累了一些經(jīng)驗，在教學模式的改革方面進行了一些嘗試，下面談?wù)勛约旱慕虒W體會。

1.加強復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識教學

教材第一章主要講有關(guān)復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的基本概念，雖然學生在高中學過復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識，但由于該內(nèi)容不是高考內(nèi)容，中學數(shù)學教師對這部分內(nèi)容一般都是略講，大多數(shù)學生都沒有學好；而這部分內(nèi)容作為復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識，不僅是復(fù)變函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的學習關(guān)鍵，而且對學生以后從事中學數(shù)學教學很重要。以前在復(fù)變函數(shù)的教學計劃中，我們把第一章的課時安排為4～6課時，教學實踐證明這個課時安排不合理，由于課時少，復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識沒學好，嚴重影響后面內(nèi)容的學習，所以在近幾年的教學中，我們一般都安排8～10課時，其目的是夯實基礎(chǔ)，深刻理解復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的有關(guān)概念，相關(guān)方法，重點理解幅角的無窮多值性、區(qū)域的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何表示，掌握復(fù)數(shù)的運算方法及復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)的研究方法，為進一步學習解析函數(shù)打下良好的基礎(chǔ)。

2.加強知識類比與同化

數(shù)學分析與復(fù)變函數(shù)相關(guān)知識結(jié)構(gòu)對比：

從上面我們可以看出數(shù)學分析和復(fù)變函數(shù)的一些知識點的關(guān)系，復(fù)變函數(shù)是數(shù)學分析的后續(xù)課程，復(fù)變函數(shù)課程中有很多概念、性質(zhì)、定理都是從數(shù)學分析平移過來的，因此，在復(fù)變函數(shù)教學時要加強與數(shù)學分析的聯(lián)系，即利用學生已有的分析基礎(chǔ)，發(fā)揮知識的遷移作用，促使知識的同化。在復(fù)變函數(shù)的教學中，通過與數(shù)學分析中的相關(guān)知識作對比，可以把數(shù)學分析中的一些知識延拓到復(fù)變函數(shù)中。比如數(shù)學分析中極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分和級數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)和定理都可以延拓到復(fù)變函數(shù)中，這樣可以極大地提高教學效率，促進學生對復(fù)變函數(shù)理論與方法的理解和掌握。

例如在講授復(fù)變函數(shù)極限概念的過程中可以與二元是函數(shù)的極限概念對比，利用實極限幫助學生對復(fù)極限的理解。復(fù)變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）的實部u（x，y）和虛部v（x，y）都是二元實函數(shù)，可以把復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學分析中的二元函數(shù)的極限問題，利用不等式|u（x，y）|≤|f（z）|，|v（x，y）|≤|f（z）|，|f（z）|≤|u（x，y）|+|v（x，y）|，可以得到結(jié)論：f（z）在一點z=x+iy有極限的充要條件是u（x，y），v（x，y）這兩個二元實函數(shù)在在該點的極限都存在。

3.抓住重點，注意知識的系統(tǒng)化

雖然復(fù)變函數(shù)是數(shù)學分析的后續(xù)課程，但復(fù)變函數(shù)不僅僅是數(shù)學分析的延拓，還有許多和數(shù)學分析不同的概念與方法，比如：多值函數(shù)、洛朗級數(shù)與孤立奇點、留數(shù)理論等。在復(fù)變函數(shù)中學習的知識和數(shù)學分析中學習的知識側(cè)重點也不一樣，比如微分與導(dǎo)數(shù)，數(shù)學分析主要講微分的概念、意義和計算，而在復(fù)變函數(shù)中，對于微分與導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)及計算是一帶而過，復(fù)變函數(shù)課程重點研究解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)概念多，性質(zhì)定理多，在教學過程中，既要抓好雙基的教學，又要突出重點，更要通過總結(jié)、復(fù)習等教學環(huán)節(jié)，順著知識的邏輯結(jié)構(gòu)，理清知識脈絡(luò)，這樣才能讓學生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)理論和方法。

例如：在教學柯西積分定理這一節(jié)時，柯西積分定理及推廣一共有四個定理，教學總結(jié)時一定要理順這四個定理的邏輯關(guān)系，即后面的定理包含前面的定理，并指出四個定理的本質(zhì)是：f（z）在由周線（或復(fù)周線）C圍成的區(qū)域內(nèi)解析，并且連續(xù)到邊界，那么？蘩■f（z）dz=0。在復(fù)習周線積分？蘩■f（z）dz的計算時，可按下列順序逐步判斷并計算，若f（z）在C內(nèi)不解析，則一般用參數(shù)法計算；若f（z）在C內(nèi)解析且連續(xù)到邊界，由柯西積分定理有？蘩■f（z）dz=0；若f（z）在C內(nèi)有一個奇點，利用柯西積分公式計算；若f（z）在C內(nèi)有多個奇點，則利用柯西留數(shù)定理計算。

4.改革教學模式，充分利用現(xiàn)代教學手段，突破教學難點

復(fù)變函數(shù)這門課程，歷來都存在難教難學的問題，其主要原因：一是這門課程內(nèi)容中存在一些較難的知識點。比如：初等多值函數(shù)、柯西積分定理、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點等，這些概念、性質(zhì)、定理抽象、思想方法復(fù)雜，學生難理解難掌握。二是傳統(tǒng)的教學模式以教師講授為主，由于板書及語言表述的局限性，不能展現(xiàn)知識的變化過程，嚴重影響學生對知識的理解和掌握，滿堂灌的講授更是無法調(diào)動學生的學習積極性。在教學中要改變傳統(tǒng)的教學模式，利用現(xiàn)代媒體技術(shù)積極探索新的教學模式。對于復(fù)變函數(shù)中的一些難點，我們一方面要充分利用現(xiàn)代教學手段，利用多媒體動態(tài)展示數(shù)學知識的發(fā)展過程及變化規(guī)律，另一方面要調(diào)動學生的學習積極性，讓學生主動參與探究知識的活動，感悟知識的變化過程，掌握應(yīng)用知識解決問題的方法，同時體會到領(lǐng)悟知識的愉悅，這樣就能達到突破教學難點的目的。

結(jié)語

在復(fù)變函數(shù)課程的教學設(shè)計中，我們要改革傳統(tǒng)的教學模式，積極探索有效的教學模式；用先進的教學理念指導(dǎo)教學設(shè)計，精心設(shè)計教學過程；在教學過程中既要讓學生積極參與知識的探究過程，體驗到學習的快樂，又要充分利用現(xiàn)代教學手段，突出教學重點，突破教學難點，這樣就能實現(xiàn)三位一體的教學目標，使學生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)的理論和方法。

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