李江丹，張素英

（1.太原師范學院 物理系，太原 030012；2.山西大學 理論物理研究所，太原 030006）

一、局部坐標法

我們考慮拉格朗日系統(tǒng)。令r∈Rn為系統(tǒng)的位置坐標，r˙為其速度。設系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)已經(jīng)給定：L（r,r˙）=T-V，其中 T 是系統(tǒng)的動能，V 是系統(tǒng)的勢能。我們可以通過勒讓德變換得到系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)，然后用哈密頓函數(shù)得到哈密頓正則方程。對一般的哈密頓系統(tǒng)人們已經(jīng)發(fā)展了很多高效的數(shù)值計算方法，無疑辛算法［1-2］是其中的佼佼者。辛算法在長時的跟蹤計算上有傳統(tǒng)解微分方程的龍格-庫塔方法無法比擬的優(yōu)勢。但是如果系統(tǒng)處在某種約束之下，人們除了辛方法外，還得加上約束條件。針對這種情況人們已經(jīng)發(fā)展了很多約束辛算法來解決這個問題。如果給定系統(tǒng)的約束為完整約束，那么我們可以引入合適的局部坐標來研究限制流形上的運動方程，這種方法被稱為微分-幾何方法［3-5］。它可以把微分-代數(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€流形上的微分方程。我們可以在這個流形上引入合適的局部坐標來求解運動方程。限制性代數(shù)方程可以定義一個光滑流形M。如果存在一個開區(qū)域可以覆蓋所有的可能運動區(qū)域，那么這個開區(qū)域可以用局部坐標參數(shù)，進而我可以得到該流形上的拉格朗日函數(shù)，用勒讓德變換可以得到系統(tǒng)在該流形上的的哈密頓函數(shù)：

約束解除后，我們就把原來限制性哈密頓系統(tǒng)的方程轉(zhuǎn)化為非限制哈密頓系統(tǒng)的方程，仍然可以使用通常的辛算法進行數(shù)值求解。顯然，哈密頓函數(shù)的形式取決于局部坐標的選取，我們將證明不同局部坐標系下的辛形式都是等價的。理論上不同局部坐標的等價性并不能帶來具體計算當中的精度相當，事實上在具體的數(shù)值計算當中卻表現(xiàn)為：在某些局部坐標下計算結(jié)果比較好，在另一些局部坐標下計算結(jié)果較差。

二、哈密頓系統(tǒng)辛格式的不變性

在使用辛算法求哈密頓方程的數(shù)值解時,我們希望系統(tǒng)的能量也是近似守恒,但是我們通過具體例子可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的能量的相對誤差不僅取決于算法的精度,還取決于我們選取的局部坐標。

三、局部坐標的選取

原哈密頓系統(tǒng)可以通過引入適當?shù)木植孔鴺藖磉M行數(shù)值求解,并且具有限制不變性。從理論上講,任何一種局部坐標都可以進行數(shù)值計算,因為所有的局部坐標都是等價的。但是我們并不能從實踐的角度給以說明。我們通過具體的數(shù)值計算的例子發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能量是否近似守恒很大程度上取決于選取的局部坐標。

我們用這兩種局部坐標（x，y）和（θ，φ）來進行數(shù)值求解?？梢允褂?階和4階辛方法［1-3］，選取步長為h=0.01。如圖1和圖2所示,在時間間隔［0，1000］內(nèi)研究能量的相對誤差，局部坐標（θ，φ）的能量相對誤差近似守恒，而局部坐標（x，y）的能量相對誤差就比較大。

四、結(jié)論

本文我們使用局部坐標法解決了限制性哈密頓系統(tǒng)的數(shù)值求解運動方程問題，通過具體的例子討論了局部坐標法的具體細節(jié)。在給出的案例中,用局部坐標（x，y）的能量相對誤差量級為100,如果用另一個局部坐標（θ，φ）能量的相對誤差量級為10-9。我們可以看到用局部坐標法求解限制性哈密頓系統(tǒng)時,選取合適的局部坐標是很重要的。在局部坐標下,系統(tǒng)能量是近似守恒的,但是在某些坐標下能量的相對誤差可能比較大。從本文案例的坐標選取來看,哈密頓函數(shù)表達式簡練的坐標在計算時的誤差要小。因為表達式簡練反應到計算程序里就是計算量較少，這樣就有效的的減少了誤差的累積，也就是提高了精度。但在上述案例中精度在量級上的差別是無法解釋的。對限制性哈密頓系統(tǒng)哪種局部坐標是最佳選擇尚沒完全解決。

［1］Zhang S.Y.，Deng Z.C.Geometric Tntegration Theory of Nonlinear Dynamical System and Its Application［M］.Xi’an：Northwestern PolytechnicalUniversity Press，2005.

［2］FengK.and QinM.Z.SymplecticGeometric Algorithms forHamiltonian Systems［M］.Hangzhou：ZhejiangScience and Technology Press,2003.

［3］Hairer E.and Wanner G.Solving Ordinary Differential Equations II［J］.Springer-Verlag,1991.

［4］Westenholz C.von.Differential Form in Mathematical Physics［J］.North Holland,1981.

［5］余揚政，馮承天.物理學中的幾何方法［M］.北京：高等教育出版社，1998.