孫琴琴，崔 娜

（晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 晉城 048026）

一、前言

極條件方程是獨(dú)立測(cè)角網(wǎng)用條件平差法平差時(shí)需要列出的條件方程類(lèi)型之一，列立極條件方程是獨(dú)立測(cè)角網(wǎng)條件平差法平差的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是難點(diǎn)之一。該條件方程對(duì)比其它類(lèi)型的條件方程，如圖形條件（內(nèi)角和條件）方程和圓周條件（水平條件）方程，冗長(zhǎng)、繁雜，不容易一眼看出。因此，如何在復(fù)雜的表象下尋求規(guī)律和利用規(guī)律成為高效準(zhǔn)確列立極條件方程的關(guān)鍵。

二、獨(dú)立測(cè)角網(wǎng)極條件列立規(guī)律

圖1為一測(cè)角中點(diǎn)三角形，A、B為已知點(diǎn)，C、D為待求點(diǎn)，網(wǎng)中觀測(cè)了9個(gè)角度。該圖形必要觀測(cè)數(shù)為4，多余觀測(cè)數(shù)為5，應(yīng)列5個(gè)條件方程，這5個(gè)條件方程分別由3個(gè)圖形條件（內(nèi)角和條件）方程、1個(gè)圓周條件（水平條件）方程和1個(gè)極條件方程組成。3個(gè)圖形條件（內(nèi)角和條件）方程和1個(gè)圓周條件（水平條件）方程很容易列出,這里不再贅述。極條件是一種邊長(zhǎng)條件，以中心D點(diǎn)為頂點(diǎn)，有三條邊:DA、DB和DC。從其中任意一條邊開(kāi)始依次推算其它各邊的長(zhǎng)度,最后又回到起始邊,得出推算起始邊長(zhǎng)度,而推算起始邊長(zhǎng)度理應(yīng)等于起始邊長(zhǎng)度，即這兩個(gè)長(zhǎng)度構(gòu)成幾何邊長(zhǎng)約束條件。如圖1所示，以DA邊為起算邊,應(yīng)用正弦定理，依次推算DB、DC，最后轉(zhuǎn)了一圈,推算出DA，推算起始邊長(zhǎng)度理應(yīng)等于起始邊長(zhǎng)度，整理后得：

將上述非線性形式的極條件平差值方程化為線性形式，通常有兩種方法［1，2］：用臺(tái)勞公式展開(kāi)取至一次項(xiàng)或先取對(duì)數(shù)，再按臺(tái)勞公式展開(kāi)成線性形式。兩種方法的線性化結(jié)果一致：

ρ為1弧度所對(duì)應(yīng)的秒數(shù)，即206265″。

圖1 中點(diǎn)三角形

通過(guò)對(duì)上述獨(dú)立測(cè)角網(wǎng)列立極條件的過(guò)程和極條件形式進(jìn)行分析、總結(jié)，我們可得出以下明顯規(guī)律：

（一）平差值極條件方程需要線性化

條件平差中，法方程系數(shù)需根據(jù)線性形式條件方程的系數(shù)和權(quán)組成，所以非線性形式的極條件方程需轉(zhuǎn)化成線性形式。

（二）以中點(diǎn)為極的邊，無(wú)論從哪條邊開(kāi)始推算，得出的極條件方程都一致

如圖1所示，無(wú)論以DA、DB或DC哪條邊為起算邊，依次推算轉(zhuǎn)一圈，得出的極條件方程一致。

（三）極條件方程式中，改正數(shù)的系數(shù)為相應(yīng)觀測(cè)值的余切

如圖1所示，極條件方程的系數(shù)分別為相應(yīng)觀測(cè)值的余切cot L1、cot L2等。

（四）平差值極條件方程中，出現(xiàn)在分子位置的觀測(cè)值，在極條件方程式中符號(hào)為“＋”，出現(xiàn)在分母位置的觀測(cè)值，在極條件方程式中符號(hào)為“－”

如圖1所示，平差值極條件方程中，出現(xiàn)在分子位置的觀測(cè)值，如 L1、L4、L7，在極條件方程式中符號(hào)為“＋”，出現(xiàn)在分母位置的觀測(cè)值，如，L2、L5、L8在極條件方程式中符號(hào)為“－”。

（五）在極條件閉合差w極的表達(dá)式中，平差值條件方差中對(duì)應(yīng)的分子分母要交換位置

如圖1所示，平差值極條件方程中，出現(xiàn)在分子位置的觀測(cè)值，如 L1、L4、L7，在極條件閉合差中在分母位置；出現(xiàn)在分母位置的觀測(cè)值，如，L2、L5、L8在極條件閉合差表達(dá)式中處在分母位置。

以上規(guī)律可整理為口訣：“極條件要線性化，審核需要轉(zhuǎn)個(gè)圈，系數(shù)為其余切值，只出現(xiàn)相關(guān)角度值，符號(hào)正負(fù)相交替，相似位置符號(hào)同。常數(shù)項(xiàng)，閉合差，分子分母換位置?！?/p>

三、算例

例1：如圖1所示，9個(gè)同精度獨(dú)立觀測(cè)值分別為［3］：

（根據(jù)規(guī)律，可直接列出線性形式的極條件方程，用推算轉(zhuǎn)圈的過(guò)程規(guī)律審核即可。）

該極條件方程中，改正數(shù)vi（i=1，2…，9）前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測(cè)值的余切值，符號(hào)“＋”、“－”交替，且只出現(xiàn)和正弦定理推算相關(guān)的角度值，如L1、L2、L4、L5、L7、L8這 6 個(gè)角度。以 D 為頂點(diǎn)，相似位置符號(hào)相同，如 L1、L4、L7位置（推算方向前進(jìn)邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“＋”，L2、L5、L8位置（推算方向后視邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“－”。閉合差表達(dá)式中，相對(duì)平差值方程表達(dá)式，分子分母換位置，符合規(guī)律口訣所述。

根據(jù)已知觀測(cè)值，得：

例2：寫(xiě)出如圖2所示中點(diǎn)五邊形P-ABCDE極條件方程式。

圖2 中點(diǎn)五邊形

解：如圖所示中點(diǎn)五邊形P-ABCDE，以P為極，PB為起算邊，分別按△PAB、△PEA、△PDE、△PCD、△PBC順序轉(zhuǎn)個(gè)圈，推算出PB邊，推算出的PB邊應(yīng)等于PB,經(jīng)整理，得平差值極條件方程式為：

該極條件方程中，改正數(shù)vi（i=1，2…，9）前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測(cè)值的余切值，符號(hào)“＋”、“－”交替，以P為頂點(diǎn)，相似位置符號(hào)相同，如 L1、L3、L5、L7、L9位置（推算方向前進(jìn)邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“＋”，L2、L4、L6、L8、L10位置（推算方向后視邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“－”。閉合差表達(dá)式中，相對(duì)平差值方程表達(dá)式，分子分母換位置，符合規(guī)律口訣所述。

例3：寫(xiě)出圖3所示大地四邊形的極條件方程式。

圖3 大地四邊形

解：以D點(diǎn)為極，BD為起算邊，分別按△DAB、△DCA、△DCB順序轉(zhuǎn)個(gè)圈，推算出的BD邊應(yīng)等于BD,平差值極條件方程式為：

以上步驟可只用來(lái)審核，直接列出的線性形式極條件方程如下：

該極條件方程中，改正數(shù)v（ii=1，2…，8）前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測(cè)值的余切值，符號(hào)“＋”“、－”交替，以虛交點(diǎn)0為頂點(diǎn)，相似位置符號(hào)相同，如L1、L7、L5、L3位置（推算方向前進(jìn)邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“＋”，L8、L6、L4、L2位置（推算方向后視邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“－”。閉合差表達(dá)式中，相對(duì)平差值方程表達(dá)式，分子分母換位置，符合規(guī)律口訣所述。

圖4 三角網(wǎng)

解：基線條件，即邊長(zhǎng)附和條件。如圖所示，從AB一條已知邊 出發(fā)，根據(jù)正弦定理，沿如圖所示箭頭方向推算至另一條已知邊EF，用AB表示的推算EF邊理應(yīng)等于已知邊長(zhǎng)，整理得基線平差值方程：

式中，AB、EF為已知邊長(zhǎng)。上述推導(dǎo)過(guò)程和基線平差值方程可僅用來(lái)審核，事實(shí)上，可直接根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出基線條件方程：

該極條件方程中，改正數(shù)v（ii=1，2…，12）前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測(cè)值的余切值，符號(hào)“＋”、“－”交替，且只出現(xiàn)和正弦定理推算相關(guān)的角度值，如L1、L2、L4、L5、L7、L8、L10、L11這 8 個(gè)角度。以 AB 為起算邊推算，相似位置符號(hào)相同，如 L1、L5、L7、L11位置（推算方向前進(jìn)邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“＋”，L2、L4、L8、L10位置（推算方向后視邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“－”。閉合差表達(dá)式中，相對(duì)平差值方程表達(dá)式，分子分母換位置，符合規(guī)律口訣所述。

在平差中，經(jīng)常需要求出未知邊平差值的相對(duì)中誤差以評(píng)定精度，而要想求定未知邊平差值的相對(duì)中誤差必須寫(xiě)出其權(quán)函數(shù)式，利用線性化的權(quán)函數(shù)式中的系數(shù)求相對(duì)中誤差。如題目要求寫(xiě)出CE邊平差值 的權(quán)函數(shù)式，如圖，從一條已知邊AB（也可從EF）出發(fā)，根據(jù)正弦定理，從左到右推算至CE：

該權(quán)函數(shù)式中，改正數(shù)dLi（i=1，2…，12）前的系數(shù)為其相應(yīng)觀測(cè)值的余切值，符號(hào)“＋”、“－”交替，且只出現(xiàn)和正弦定理推算相關(guān)的角度值，如L1、L2、L4、L5、L7、L8、L10、L12這 8 個(gè)角度。以 為起算邊推算，相似位置符號(hào)相同，如 L1、L5、L7、L12位置（推算方向前進(jìn)邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“＋”，L2、L4、L8、L10位置（推算方向后視邊對(duì)應(yīng)角度）對(duì)應(yīng)符號(hào)均為“－”，符合規(guī)律口訣所述。

四、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)實(shí)例論證可知，以上極條件列立規(guī)律簡(jiǎn)單明了、抓住本質(zhì)、容易掌握、易于應(yīng)用，適用于中點(diǎn)三角形、中點(diǎn)多邊形、大地四邊形、基線等所有獨(dú)立測(cè)角網(wǎng)極條件方程列立情形，此外，它還適用于邊長(zhǎng)函數(shù)式的列立及線性化為權(quán)函數(shù)式從而進(jìn)行精度評(píng)定等方面的應(yīng)用，為高效解決這類(lèi)難題提供了方法。

［1］肖飛.《測(cè)量平差》教材“極條件線性化”規(guī)律的研究與應(yīng)用［J］.礦山測(cè)量，2012（6）:102～104.

［2］武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2009.

［3］劉仁釗.測(cè)量平差［M］.鄭州:黃河水利出版社,2007.