李 巖，趙文卓

(1.吉林化工學院理學院，吉林 吉林132022;2.吉林化工學院工會，吉林吉林132022)

及時配送的概念在近幾年中越來越流行［1-2］.但是，及時配送的執(zhí)行要依賴于交易力和供求關(guān)系.例如汽車或電腦裝配廠，大多數(shù)的提供者不得不把原料運送至第三方的倉庫，然后再從第三方的倉庫以及時配送的方式運送至生產(chǎn)商進行裝配.另一方面，由于購買者缺乏議價能力而使及時配送不能夠進行.例如購買者要從汽車廠購買引擎，購買者想要尋找一個及時配送的提供商，這意味著按需送貨.然而，生產(chǎn)商規(guī)定了一個最小的配送數(shù)量，記為R.另一方面，當?shù)氐牧闶凵坛兄Z以按需配送的形式提供購買者引擎，但是需要較高的價格.目前的問題購買者是繼續(xù)從生產(chǎn)商那里購買引擎還是轉(zhuǎn)向當?shù)氐牧闶凵?

Wagner和Whitin［3-7］利用動態(tài)規(guī)劃算法對整批運送問題做了大量的工作.本文尋找了一個解析的方法［9］幫助購買者以最小的成本選擇提供者.如果購買者從零售商手中購買產(chǎn)品，由于是及時配送，所以成本很容易計算［11-13］.如果購買者從生產(chǎn)商手中購買產(chǎn)品，成本就為存儲費用和運輸費用之和，我們設(shè)計了動態(tài)批量模型來計算逐步增加到最小數(shù)量約束的貨物費用.針對問題的幾種最優(yōu)性，我們設(shè)計了多項式最優(yōu)算法.

1 符號和公式

定義T為一個計劃周期的長度.定義t為一個計劃周期長度，t=1，…，T，定義符號如下:

dt:周期t的需求

xt:周期t的補充數(shù)量

R:每一次定單的最小補給數(shù)量

It:周期t結(jié)束后已有的存儲量，It≥0.

ht:周期t放置一個單元的費用

P(xt):周期t補給xt個單元的費用

其中n為確定的整數(shù)，S為每次運輸?shù)墓潭ㄙM用，W是一次貨物的容量，A是運輸貨物的費用.Min∑(P(xt)+htIt)

2 最優(yōu)性質(zhì)

定義:如果It=0，則稱周期t為新生點，如果xt＞0，則稱t為補給周期.補給周期稱為整車貨(FTL)周期，如果xt=nW，t稱為最小需求周期，如果xt=R，t稱為不規(guī)則補給周期，如果xt＞R且t不是FTL周期.

性質(zhì)1 存在一個最優(yōu)解，如果l-1和m是兩個連續(xù)的再生點，并且在l和m之間至多存在一個不規(guī)則的補給周期.

性質(zhì)2 存在一個最優(yōu)解，如果l-1和m是兩個連續(xù)的再生點，并且在l和m之間存在一個不規(guī)則的補給周期t，則在t之前必存在一個最小補給周期，并且這個補給周期是整車貨的周期.

性質(zhì)3 存在一個最優(yōu)解，如果l-1和m是兩個連續(xù)的再生點，并且在l-1和m之間沒有不規(guī)則的補給周期，則對任意兩個連續(xù)的補給周期s，t，其中l(wèi)-1＜s＜t≤m，若s是FTL，則t必為FTL周期.

3 多項式算法

令C(i，j)為從周期i到周期j中間沒有新生點的費用，F(xiàn)(j)為從周期1到周期j的總的費用.得到以下動態(tài)規(guī)劃算法:

F(0)=0 對于 j=1，…，T，

F(j)=min{F(i-1)+C(i，j):1 ≤i≤j}

問題歸結(jié)為尋找最小的 C(i，j)，1 ≤i≤j≤T .由于當 d(i，j)＜ R，C(i，j)= ∞，則只需考慮 d(i，j)≥ R的情況.根據(jù)性質(zhì)1-3，只需考慮MR和FTL周期的情況.另外，我們可以得到以下性質(zhì).

性質(zhì)4對于(i，j)問題的最優(yōu)解問題，對于任意一個補給周期u，必滿足Iu-1＜du.

性質(zhì)5對于FTL周期的(i，j)問題的最優(yōu)算法，必滿足Iv-1＜min{dv，mW}，其中m=「R/W.

在周期MR和FTL這間可能有一個不規(guī)則的周期，對于i=1，2，…，T;j=T，T-1，…，1，定義

I(i，u-1)= 「d(i，u-1)/RR-d(i，u-1)其中 1 ≤i≤u ，

I′(v-1，j)=d(v，j)-d(v，j)/W?W 其中 1 ≤v≤j.

根據(jù)性質(zhì) 4，5，我們可以在 o(T2)時間內(nèi)計算 I(i，j)，I′(i，j)，其中1 ≤i≤j≤T .

尋找R(i，T)的算法:

Step0:設(shè) R(i，T)={i}，v=i+1 .

Step1:若 I(i，u-1)=0 或 I(i，u-1)+R ＞ d(u，T)，則停止.否則，轉(zhuǎn)到 Step2.

Step2:若 I(i，u-1)＜ du，則令R(i，T)=R(i，T)∪{u}，并轉(zhuǎn)到Step3.否則，令u=u+1 并轉(zhuǎn)到Step1.

Step3:若 I(i，u-1)+R ≤du，則停止.否則，令 u=u+1 并轉(zhuǎn)到 Step1.

定義S(i，u)是從周期i到周期u-1，存貨從0到I(i，u-1)時應(yīng)用MR供給的最小的費用，有S(i，i)=0，同理定義T(v，j)′是從周期v到周期j，存貨從I′(v-1，j)到0時應(yīng)用FTL供給的最小的費用.對于固定的 i和 j，定義 q(i，u)→(v，j)′是從周期 u 到周期 v-1，存貨從 I(i，u-1)到 I′(v-1，j)時的最小的費用.則有

T(v，j)′的計算復雜性為O(T3).

因此，C(i，j)的計算復雜性為O(T4+T3+T2)=O(T4).

4 問題舉例

5 結(jié) 論

成本、速度和一致性是影響運輸合理化的至關(guān)重要的因素.具體的運輸作業(yè)涉及到運輸方式的選擇和運輸路線的選擇及計劃運輸設(shè)備的使用時間(本文主要指倉庫).本文以這三個因素為標準，設(shè)計動態(tài)規(guī)劃算法幫助購買者合理選擇提供者和運輸方式使總成本達到最小.例如上面問題舉例中所指，如果購買者一次購買產(chǎn)品的數(shù)量是15，批量運輸?shù)目傎M用130，則購買者可以根據(jù)零售商提供的報價合理選擇提供商而使自己的利益最大化.

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