何 洋，修樹東，姚文斌

（浙江農(nóng)林大學暨陽學院，浙江紹興 311800）

理論力學是工科專業(yè)的一門技術基礎課，在工科專業(yè)中有舉足輕重的作用［1］，包含靜力學、運動學和動力學3個部分。其中，靜力學主要研究物體在外力作用下的平衡規(guī)律。在靜力學中，受力分析又是最基本、最重要的內(nèi)容之一，能否對受力物體進行正確的受力分析并畫出受力圖是學習靜力學的關鍵［2］。

筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的受力分析方法學生掌握起來比較困難，要同時記住約束的類型和約束力的形式和方向。本文提出一種基于自由度理論的分析方法，以便降低學生學習的難度。

一、傳統(tǒng)受力分析方法

對于受力分析，現(xiàn)有理論力學教材普遍采用的方法是:先定義約束，然后根據(jù)約束確定約束力的個數(shù)及約束力的方向，最終畫出受力圖，從而確定物體的受力狀態(tài)，為后續(xù)力系的分析過程打下基礎。

約束就是對非自由體的運動施加的限制其運動的條件。自由體在空間是不受約束的，因此可以移動到空間任一點，在這一點上又有很多種姿態(tài)。

根據(jù)物體受力的狀態(tài)和受力分析的基本要求，將約束分為如下幾種類型:

1.柔繩約束。柔繩約束只能約束一個方向的自由度，并且只能受拉，所以它們的約束力是作用在接觸點，方向沿繩索背離物體。這類約束包括繩索、帶傳動、鏈傳動等。

2.光滑接觸面約束。光滑接觸面約束提供的約束力為支持力，約束力作用在接觸點處，方向沿公法線，指向受力物體。這類約束主要指無摩擦滑塊的約束。

3.輥軸約束。輥軸約束與光滑接觸面約束類似，約束力作用在接觸點處，方向沿輥軸下表面的平面的公法線。這類約束跟光滑表面約束類似，都是垂直于表面的公法線，但輥軸約束可以背離受力物體。

4.鉸鏈約束。鉸鏈約束分為固定鉸鏈約束和中間鉸鏈約束兩種類型。固定鉸鏈約束是由銷軸約束銷孔，為一個約束力，但方向很難確定。為便于確定孔銷傳力的方向，一般采用兩對正交的力來代替，常用一個水平力Fx和一個垂直力Fy來代替。中間鉸鏈約束與固定鉸鏈約束類似，也是用一對正交的力Fx和Fy來表示，主要區(qū)別是固定鉸鏈約束是由支座提供的約束，而中間鉸鏈約束是由連接的另外一個構(gòu)件提供的約束。將鉸鏈約束推廣到空間力系，為球鉸鏈約束，其約束力為互相正交的3 個力 Fx、Fy和 Fz。

5.固定端約束。固定端約束分為平面固定端約束和空間固定端約束。平面固定端約束的約束力同樣為一對正交的力Fx和Fy，除此之外，還有一個力偶矩MO?？臻g固定端約束是對平面固定端約束的推廣，約束力為3個力Fx、Fy和Fz和3個力偶Mx、My和Mz3個力矩。

二、傳統(tǒng)方法存在的問題

除上述5種約束之外，還有一些變通的約束。學生要想掌握、運用這些約束和約束力進行受力分析并不容易。學生首先要能夠在老師的介紹下記住這些約束，并且要搞清楚這些約束之間有何區(qū)別和聯(lián)系，否則很容易弄錯。因此，學生在學到這部分的時候普遍感到困難，作業(yè)錯誤率也較高，嚴重影響受力分析的正確性，進而影響到力系的相關計算。

這些問題說明，原有教學方法雖然能夠讓學生學會約束和約束力，并進行受力分析，但學生接受時間長。說明這種方法已經(jīng)不能適應當前教學的需求，特別是導致學生學習基礎薄弱和學習態(tài)度不積極情況的發(fā)生。為此，筆者提出一種基于“自由度”理論的受力分析方法，將所有約束合為一體，直接根據(jù)物體的實際狀態(tài)來分析，掌握一種即能舉一反三，全面掌握受力分析。

圖1 自由度分析圖

三、基于“自由度”理論的受力分析方法

“自由度”在各行業(yè)均有定義，機械科學里講的“自由度”是這樣定義的:唯一確定質(zhì)點系空間位置的獨立參變量個數(shù)，力學中完全決定力學體系在空間的位置所需的獨立坐標的數(shù)，叫做力系的“自由度”［3］。這里的“完全”是指組成體系的所有各個質(zhì)點的位置。具體分析如下:

1.自由質(zhì)點的自由度。自由質(zhì)點為一個沒有大小的點，只有位置，沒有姿態(tài)，因此自由度為3。如圖1（a）所示。

2.平面上自由剛體的自由度。平面內(nèi)自由剛體的位置由x、y兩個坐標來表示，除位置外，還有剛體在這個位置上的姿態(tài)，姿態(tài)可以用繞坐標原點O的旋轉(zhuǎn)角來表示，因此有3個自由度，如圖1（b）所示。

3.空間自由剛體的自由度?？臻g自由剛體有6個自由度:3個平移自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。如圖1（c）所示。

利用“自由度”理論來分析約束力的方法為:根據(jù)物體或物體系中剛體的之間或者剛體和基座之間的連接狀態(tài)來分析物體自由度的減少，哪一個平移自由度被限制了，相應這一個方向就有力存在，并且跟被限制運動的方向相反;哪一個方向的轉(zhuǎn)動自由度被限制了，相應的這一方向就有力偶存在。判斷起來既直觀又方便，完全不用記憶原來的各種約束。下面通過一個案例進行分析。

四、案例分析

在圖2所示的平面系統(tǒng)中，AF為繩索，B為固定鉸鏈，C為質(zhì)量塊，質(zhì)量塊與桿件之間的摩擦力忽略不計，D為輥軸，E為固定端，利用傳統(tǒng)方法和基于自由度理論的受力分析過程如圖2。

圖2 平面力系

1.傳統(tǒng)方法分析過程。以桿AE為研究對象進行受力分析，該桿件分別在A、B、C、D、E 5個地方存在著約束力，首先要搞清楚這幾個點處的約束類型:A點為柔繩約束，受力沿著繩子方向，背離物體;B點為固定鉸鏈約束，用一對正交的力FBX和FBY來表示;C點為光滑表面約束，受力方向沿著公法線方向，指向桿件，用FC來表示;D點為輥軸約束，受力方法沿著公法線方向;E點為固定端約束，用一對正交的力FEX和FEY和繞E點的力矩ME來表示。因此受力圖如圖3所示:

圖3 桿AE的受力分析

2.基于自由度理論的分析方法。以桿AE為研究對象進行受力分析，分別分析這5個點處的自由度被限制的情況:A點的繩子只限制了桿件背離F點的運動，并且是單向的，故力沿著AF方向;B點限制了桿件水平方向和豎直方向的平移，但還可以繞B點旋轉(zhuǎn)，故受的力為FBX和FBY;C點只限制豎直向上的運動，故受力為豎直向下，用FC來表示;D點很明顯限制了豎直方向的運動，跟FC類似;E點桿件被固定在基座上，不僅不能沿著X和Y方向平移，也不能繞E點轉(zhuǎn)動，因此，用FEX和FEY和ME來表示，分析結(jié)果如圖3所示。

比較兩種方法可以看出，得出的受力分析結(jié)果完全一致，但用第二種方法僅僅根據(jù)對實際現(xiàn)象的理解，通過自由度被限制的數(shù)量和形式，來確定力和種類和方向，方便使用，并且對各種約束都適用。

筆者將這種方法應用于2013年《理論力學》的教學實踐過程中，學生在受力分析和力系的求解計算過程中應用了該方法，跟2012年傳統(tǒng)方法相比，學習效果有明顯提升。傳統(tǒng)方法和現(xiàn)有方法教學效果如表1所示。從表中可見，期末考試得分率有明顯提升。

表1 傳統(tǒng)方法和現(xiàn)有方法考試得分率比較 %

五、結(jié)語

在靜力學受力分析部分的教學過程中，通過對約束力的分析的教學過程進行分析，發(fā)現(xiàn)使用傳統(tǒng)教學方法學生學習起來比較困難，學習效果比較差，而基于“自由度”理論的受力分析方法簡單可靠，在教學實踐中效果良好，學生普遍對于受力分析掌握比較好，為后面的力系分析打下了堅實的基礎。

［1］劉燕，李紅梅，張華，等.淺談靜力學教學中的幾點體會［J］.科技信息.2011（25）:617 －618.

［2］楊永明.力學課程教學改革探索［J］.河北農(nóng)業(yè)大學（農(nóng)林教育版），2012（4）:87 －89.

［3］靳毅，康艷霞.力學體系的自由度［J］.開封教育學院學報.1996（1）:44－48.

（編輯:王雅嬌）