肖復興
摘要: 在高中數學學習中,對于一些代數式、函數、等式和不等式的問題中往往不止含有一個變量,如果按照常規(guī)方法,一般難以解決.很多學生對這種問題的處理感到陌生,難以有對策或解題過程比較復雜,學生懶于去操作.因此在數學教學中,教師若能適時地引導學生抓住問題的實質,靈活選取主元,把其中一個設為主元,其余各量視為“常量”,常能另辟蹊徑,事半功倍.
關鍵詞: 主元 ; 常量 ;動與靜
本文通過舉例就如何巧設主元,另辟蹊徑,談談自己的一些粗淺的看法:
一、用于解決一些與高次方程根有關的問題
例1.已知關于x的方x3-ax2-2ax+a2=0程有且只有一個實根,求a實數的取值范圍
分析:若以x為主元,則次數較高不易入手,現試以a為主元.
解:原方程可變形為a2-(x2+2x)a+x3-1=0
即[a-(x-1)][a-(x+x+1)]=0 ∴a=x-1或a=x2+x+1
∵方程有且只有一個實根∴a=x2+x+1即x2+x+1-a=0必須無實根
∴△=1-4(1-a)<0即a<〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗,即實數a的取值范圍a<〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗
變式:解關于x的方程2x4-7x3-3ax2+4ax+a2+3x2=0(a≥-〖SX(〗1〖〗8〖SX)〗)
分析:x的最高次數為4,直接入手不易求解,但常量a的最高次數是2,所以可以考慮以a為主元.
解:以a為主元,整理得a2+(4x-3x2)a+(2x4-7x3-3x2)=0
解之得a=x2-3x或a=2x2-x再解關于的方程,
得 ,x1,2=〖SX(〗3±〖KF(〗4a+9〖KF)〗〖〗2〖SX)〗,x3,4=〖SX(〗1±〖KF(〗8a+1〖KF)〗〖〗a〖SX)〗
二、證明不等式、等式方面的應用
例2.已知|a|<1,|b|<1,|c|<1求證:ab+bc+ac>-1
分析:若以a為主元,b,c看成一個常量,則可看成一個一次式,構造函數解題.
證明:令g(a)=(b+c)a+bc+1可以視g(a)為一個以自變量的一次函數
因此,要證ab+bc+ac>-1,只需要證明函數g(a)=(b+c)a+bc+1>0對a∈(-1,1)恒成立即可.
∵g(-1)=(b+c)×(-1)+bc+1=bc+1-b-c(1-b)(1-c)>0
同理可證得g(1)>0,由一次函數的特殊性知:g(a)在(-1,1)上恒有g(a)>0
即|a|<1時,有g(a)=(b+c)a+bc+1>0,則ab+bc+ac>-1命題得證.
例3.已知4sina-2cosβ﹣tanθ=0,cos2β
求證:4sina+tanθ=0
分析:若考慮已知兩式中消去cosβ,再化簡較為繁瑣.
由4=22,故可以構造一個二次方程.
證明:令x=2則4=x2 ∴4sina-2cosβ﹣tanθ=0可以變?yōu)閤2sina-xcosβ﹣tanθ=0
(下面分類討論:)
若sina=0,則有cosβ=0,∴4sina+tanθ=0;
若sina≠0,則有△=cosβ+4sina·tanθ=0
則x1=x2=〖SX(〗cosβ〖〗2sina〖SX)〗=2,即cosβ=4sina,代入等式4sina-2sina-tanθ=0
即有4sina·tanθ=0 綜上,該命題4sina+tanθ=0成立.
三、求最值問題
例4.已知x,y∈R,求x2-xy+y2-2x+y的最小值
解:以x為主元
原式=[x2-(y+2x)+(〖SX(〗y(tǒng)+2〖〗2〖SX)〗)2]-(〖SX(〗y(tǒng)+2〖〗2〖SX)〗)2+y2+y
=[x-(〖SX(〗y(tǒng)+2〖〗2〖SX)〗)2]+〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗y(tǒng)2-1
∵x,y∈R∴[x-(〖SX(〗y(tǒng)+2〖〗2〖SX)〗)2]≥0且〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗y(tǒng)2-1≥﹣1
∴[x-(〖SX(〗y(tǒng)+2〖〗2〖SX)〗)2]+〖SX(〗3〖〗4〖SX)〗y(tǒng)2-1≥﹣1
即x2-xy+y2-2x+y的最小值為﹣1
四、求參數的取值范圍
例5.已知為正整數,當且僅當取什么值時,方程kx2-2(1-2k)x+4k-7=0的根中至少有一個為整數?
分析:按常規(guī)思路,先求出方程的根x=〖SX(〗1-2k±〖KF(〗1+3k〖KF)〗〖〗k〖SX)〗再對參數k分情況討論,找出滿足條件k的值.但由于搜索范圍很大,討論十分繁瑣.如果對換原方程中的x和k的地位,把k視為“主元”,用x來表示k,可簡化討論.
解:由原方程整理得(x+2)2k=2x+7,因為x=-2不適合原方程k=〖SX(〗2x+7〖〗(x+2)2〖SX)〗…………(1)
由于為正整數,有〖SX(〗2x+7〖〗(x+2)2〖SX)〗≥1即x2+2x-3≤0.解得-3≤x≤1
由此知x的整數值只可能是-3,-1,0,1.
故由(1)式只要討論四種情況:當x=-3時,k=1;當x=-1時,k=5;
當x=0時,k=〖SX(〗7〖〗4〖SX)〗;當x=1時,k=1.
因此,符合題意的k值是1或5
例6.設函數f(x)=x2+ax+〖SX(〗1〖〗x2〖SX)〗+〖SX(〗a〖〗x〖SX)〗+b(x≠0), 若方程f(x)=0(a,b為實數)有實根,
試求a2+b2的最小值.
分析: 觀察可知, f(x)=x2+ax+〖SX(〗1〖〗x2〖SX)〗+〖SX(〗a〖〗x〖SX)〗+b=(x+〖SX(〗1〖〗x〖SX)〗)2+a(x+〖SX(〗1〖〗x〖SX)〗)+b-2
通過換元可將函數變形. 令t=x+〖SX(〗1〖〗x〖SX)〗(|t|≥2),于是f(x)=g(t)=t2+at+b-2(|t|≥2).
則方程f(x)=0(a,b為實數)有實根等價于方程g(t)=t2+at+b-2=0在|t|≥2上有實根.
此時, 若直接以t為主元,函數g(t)=t2+at+b-2是二次函數,要求a2+b2的最小值,難以入手,于是a,b以為主元, 方程g(t)=t2+at+b-2=0在|t|≥2上有實根,說明點A(a,b)在直線l:tx+y+t2-2=0(|t|≥2)上運動. 而a2+b2的幾何意義可以看作時直線l:tx+y+t2-2=0(|t|≥2)上點A(a,b)到原點O(0,0)的距離的平方,由|AO|≥do-l可得:〖KF(〗a2+b2〖KF)〗≥〖SX(〗t2-2〖〗〖KF(〗t2+1〖KF)〗〖SX)〗=〖KF(〗t2+1〖KF)〗-〖SX(〗3〖〗〖KF(〗 t2+1〖KF)〗〖SX)〗(|t|≥2),又h(t)=〖KF(〗t2+1〖KF)〗-〖SX(〗3〖〗〖KF(〗 t2+1〖KF)〗〖SX)〗在t2∈[4,∞]上遞增,
則〖KF(〗a2+b2〖KF)〗≥h(t)min=〖KF(〗5〖KF)〗-〖SX(〗3〖〗〖KF(〗5〖KF)〗〖SX)〗=〖SX(〗2〖〗〖KF(〗5〖KF)〗〖SX)〗,故a2+b2的最小值為(〖SX(〗2〖〗〖KF(〗5〖KF)〗)〖SX)〗2.此時OA⊥l,且t=±2
綜上所述,適當地巧設主元是高中數學學習的一種常用的解題方法,這其實是化歸轉化思想的體現,與哲學中的“主要矛盾與次要矛盾”、“動與靜”的觀點相吻合.
參考文獻:
[1]《數學方法論與解題研究》 張雄 李得虎 編著高等教育出版社2003年8月
[2]《數學數學原理與方法》 柳柏濂 吳康編著廣東高等教育出版社 2002年7月
(作者單位:江西省于都中學 342300)