童其林

作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系，即數(shù)形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.“以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等，特別是在做選擇題時，只有一個答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果.“以形助數(shù)”是指把抽象的數(shù)學語言轉化為直觀的圖形，可避免繁雜的計算，獲得出奇制勝的解法.“以形助數(shù)”中的“形”，或有形或無形.若有形，則可為圖表與模型，若無形，則可另行構造或聯(lián)想.因此“以形輔數(shù)”的途徑大體有三種：一是運用圖形；二是構造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義.但由于構造圖形的誤差，或者“無中生有”的不準確，有時可能會出現(xiàn)一些錯誤.本文就運用數(shù)形結合時容易出現(xiàn)的失誤做個簡單的歸類分析，希望引起你的重視.

1. 潦草作圖而導出的錯誤

在同一坐標系中作幾個函數(shù)的圖像來比較時，我們一定要注意函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”.因為我們畫出的只是函數(shù)圖像的一小部分，而不是全部.常言到“知人知面不知心”，同樣的，我們從函數(shù)圖像的部分而知道它的全部，在沒畫出來的部分圖像是怎么樣的呢？我們只有根據(jù)函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”來判斷了.

例1. 判斷命題“當a>1時，關于x的方程ax=log a x無實數(shù)解”是否正確？

錯解：在同一坐標系中，分別畫出函數(shù) y=ax（a>1）及y=log a x（a>1）的圖像，如圖1所示，可見它們沒有公共點，所以方程確無實數(shù)解，故命題正確.

剖析：實際上對不同的實數(shù)a，y=ax及y=log a x的圖像的延伸趨勢不同，例如當a = 2時，原方程無實數(shù)解；而當a = 時 ，x = 2 便是原方程的解.上面的錯解就是潦草作圖，而畫出了個有誤差的圖形，并且想當然地根據(jù)圖形而不去注意函數(shù)圖像的延伸趨勢而造成的.

事實上，我們還可以通過幾何畫板的演示（參數(shù)a可動態(tài)控制），在同一坐標系中作出函數(shù)y=ax和函數(shù)y=log a x（a>0，a≠1）的圖像，當a非常小時它們有三個交點，此時，方程ax=log a x解的有3個.

例2. 比較2n與 n2（n 大于1的自然數(shù)）的大小.

錯解：在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y=2x及y=x2的圖像，如圖2所示，由圖可知，兩個圖像有一個公共點.當x=2時，2x=x2，當x > 2時有2x

剖析：事實上，當n= 4時，2n與 n2，也相等；n= 5時，2n>n2.錯解是因為沒有充分注意到兩圖像的遞增“速度”！要比較兩個圖像的遞增速度，確實很難由圖像直觀而得.本題可以先猜想，后用數(shù)學歸納法證明.本題的正確答案是 當n=2，4時2n=n2，當n=3時 ，2nn2，證明略.

例3.（2013年高考·福建卷，文22題改編）已知函數(shù)f（x）=x-1+（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.當a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值.

解析：由題意，方程kx-1=x-1+無解，顯然x=0不是方程的解，故分離參數(shù)后的方程k=1+無解.令g（x）=1+（x≠0），則g′（x）=，所以g（x）在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，0）和（0，+∞）上單調遞減，在x=-1處取到極大值g（-1）=1-e.又當x→0+時，g（x）→+∞；當x→0-時，g（x）→-∞；當x→+∞時，g（x）→1；當x→-∞時，g（x）→-∞，即直線x=0和y=1是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖3.由題意知，直線y=k與函數(shù)g（x）的圖像無交點，觀察圖像易知，k∈（1-e，1]，故kmax=1.

點評：本題為含參函數(shù)的零點問題，解決這類問題的常用方法是分離參數(shù)之后轉化為等式兩邊的函數(shù)圖像是否有交點問題，因此準確的作圖至關重要.但考生在用導數(shù)法研究函數(shù)圖像的變化趨勢時，通常只關注函數(shù)的單調性與極值，而對函數(shù)圖像是否存在漸近線意識淡薄，因而常常造成作圖錯誤.本題中函數(shù)g（x）在x=0處沒有定義，考生通常僅將此點在函數(shù)圖像上“挖空”，表示函數(shù)圖像在此處“中斷”，而不會意識到x=0是函數(shù)圖像的漸近線.這是缺乏極限意識的表現(xiàn).因此，要糾正上述錯誤，須樹立極限意識，即在探明函數(shù)單調性之后，還要對單調區(qū)間兩端的“斷點”處分別求極限，以了解函數(shù)圖像的走勢與范圍，如此方可給圖像以相對準確的定位，避免作圖的隨意性.

2. 定義域擴大或縮小引起的錯誤

例4. 設t>0，求點A（+，-）與點B（-1， 0）之間距離的最小值.

解析：由點A（+，-）可知點A的軌跡為x2-y2=4，如圖4所示，可知|AB|的最小值為1.其實這是錯誤的，原因就是忽視了變的量取值范圍，由t>0知x≥2，正確的圖像應該是圖5的右圖，可知其最小值為3.

點評：定義域是一個變量的最大范圍，如果不注意轉化過程是否是等價的過程，那么變量的定義域就有可能擴大或縮小了，這樣，畫出來的圖像就會多出一部分或者少了一角，而根據(jù)這樣有誤差的圖像，做出來的結果是會不準確的，那就是白做了這道題，所以注意轉化過程要等價是關鍵的.不論是否注意到轉化過程要等價，我們最好能做好一道題，就再用另外一種方法驗證一下所得到的答案是否準確，這樣才會有信心地保證做完一題就一定正確.

3.“無中生有” 引起的錯誤

例5. 若圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點，求a的取值范圍.

錯解：由于圓的半徑為2，當圓與拋物線外切時，a=-2，于是，a<-2時，圓與拋物線沒有公共點.

當圓與拋物線內切時，由

（x-a）2+y2=4，y2=6x，得：

x2-（2a-6）x+a2-4=0… ①

=（2a-6）2-4（a2-4）=0，解得a=. 所以a<-2或a≥.

剖析：把a=代入方程①得3x2+5x+=0，此時，解為x=-是負根，顯然， 圓與拋物線不能內切. 所以圓內切于拋物線的情況根本不存在，圖中圓內切于拋物線是虛構的.

因此，對x<0，可以用圖形幫助解決（如圖6），而對x≥0，則需要用計算的方法.

當x≥0時，本題等價于圓心（a，0）到拋物線的距離d的最小值大于2，求a的取值范圍.

d2=（x-a）2+y2=（x-a）2+6x=x2-（2a-6）x+a2=[x-（a-3）]2+6a-9. 設f（x）=[x-（a-3）]2+6a-9，（x≥0）.

當a-3>0，即a>3時，f（a-3）最小，所以dmin=>2，解得a>，考慮到a>3，所以a>3.

當a-3≤0即a≤3時，f（0）最小，所以dmin=a>2，此時為2

綜合以上，得a>2.

于是， 圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點時，a的取值范圍為a<-2或a>2.

4. 漏掉了一些可能的情形引起的錯誤

例6. 已知關于x ，y 的方程組+=1，y=x2-c2，（a>b>0，c>0）有四組實數(shù)解，求a，b，c應滿足的關系.

錯解：原方程組有四組解等價于橢圓與拋物線有四個不同的公共點.如圖7可知，-c2<-b，且c

剖析：觀察圖像過于草率！事實上，上圖8也是一種可能的情形，即當c2≥a時，仍有可能為四組解，例如當a=2， b=1，c=2時，可得解集為：{（2，0），（-2，0），（，-），（-，-）}.現(xiàn)在用數(shù)形結合來求解：考慮一元二次方程+=1，即a2y2+b2y+b2（c2-a2），令△=0（即相切情形），解得c=，結合圖像，注意到-c2<-b，則a、b、c應滿足的關系是

例7. 求曲線f（x）=-x2+3x過點A（2，-2）的切線方程.

錯解：∵點A在曲線f（x）=-x2+3x上，且f′（x）=-3x2+3，∴ f（2）=-9.

故所求切線方程為y+2=-9（x-2），即9x+y-16=0.

正解：設切點為P（x0，y0），

∵f′（x）=-3x2+3，

∴在點P處的切線方程為y-y0=（3-3x02）（x-x0）.

又切線過點A，

∴ -2-（3x0-x03）=（3-3x02）（2-x0），

整理得x03-3x02+4=0，即（x0+1）（x0-2）2=0，

∴x0=-1或x0=2.

當x0=-1時，切線經過點P（-1，-2）和A（2，-2），切線方程為y=-2；當x0=2時，切線方程為9x+y-16=0.

剖析：本題遺漏了y=2這條切線，失誤的原因是把過點A的切線理解成在點A處曲線的切線.曲線在點A處的切線指的是切點在點A處的切線，而過點A的切線除了切點在點A處的曲線切線還可能存在切點不在點A處而經過點A的切線，兩者是有區(qū)別的.因此，解題時必須理清頭緒，分清這兩個易混淆的概念.其實，“曲線在某點處的切線”不是“過曲線上某點的切線”充分必要條件，而是必要不充分條件.

5. 證明問題時邏輯循環(huán)引起的錯誤

“形”并不能作為證明的依據(jù)，遇到證明題時，在幾何直觀分析的同時，還要進行代數(shù)抽象的探索，并用嚴謹?shù)臄?shù)學語言寫出證明過程的理論依據(jù)，這樣才算做好證明題.應用數(shù)形結合時，“形”只是一種手段，一個工具，而不是理論依據(jù).不論是怎么樣的題目，“形”只是我們思考問題的種方式，為解題提供一些幫助，但我們都要寫出我們做這道題的理論依據(jù)，這樣才會讓人知道你不是直接從圖像中看出來的或者是猜測得到的，這樣才有說服力，有是有效的.

例8. 已知函數(shù)f（x）=x2，x∈[0，+∞）， 若x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2， 證明：>f（） .

錯解：不少考生這樣做：畫出函數(shù)f（x）=x2，x∈[0，+∞）的圖像，如圖9，取點A（x1，f（x1））， B（x2，f（x2））， C（，f（））.顯然弦AB在弧AB上方，所以弦AB的中點的高度大于C點的縱坐標，得證 > f（）.

剖析：這里要證明的不等式，正是凹函數(shù)的定義，用凹函數(shù)的直觀圖形來證明不等式成立是一個邏輯循環(huán)，自己來證明自己.其實，用作差法即可證明.本題的定義域可改為全體實數(shù)也成立.

總之，數(shù)形結合的確是一個非常好，也非常實用而且重要的思想方法，應用性強.但它又是一把雙刃劍，有誘惑也有陷阱.因此，我們在運用時，要注意利用“數(shù)”的精確性，注意數(shù)形轉化的等價性，注意圖形的全面性，在直觀的同時，輔有嚴謹?shù)难堇[.

你來做做：

1. y=sinx與y=tanx，x∈（-，）的圖像交點個數(shù)有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

2. 方程=2sinx的解的個數(shù)是（ ）

A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個

3.（2013北京卷，理科8）設關于x，y的不等式組2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0表示的平面區(qū)域內存在點P（x0，y0）滿足x0-2y0=2，求得m的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-） B. （-∞，） C. （-∞，-） D. （-∞，-）

4. 當x∈（1，2）時不等式（x-1）2

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝陽一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x）. 當x∈[0，1]時，f（x）=2x.若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是 .

6. （2013年濱州一模理）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）則關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

7. 若關于x的方程x2-2kx-3k=0的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？

8. （2013年高考·江蘇卷，理26題改編）設函數(shù)f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數(shù)，試求f（x）的零點的個數(shù)，并證明你的結論.

你來做做參考答案：

1. 注意當∈（0，）時，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，則-8≤x≤8，因此，只需畫出[-3，3]的圖像即可.

有的同學觀察圖像（圖10），得出有7個交點，實際上，觀察得不夠仔細，因為當x=8時，=2，而當x=<8時，2sinx=2，所以點（x，2）不是兩個函數(shù)圖像的交點，故在[2，3]上， 兩個函數(shù)圖像有兩個交點，而不是一個交點，因此，方程=2sinx的解的個數(shù)為9而不是7.選D.

3. 如圖11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域內包含直線y=x-1上的點，只要邊界點（-m，1-2m）在直線y=x-1上方，且（-m，m）在直線y=x-1下方，解不等式組m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

選C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，設y=f（x），y=ax+2a，作出函數(shù)y=f（x），y=ax+2a的圖像，如圖12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則直線y=ax+2a=a（x+2）的斜率滿足kAH

6. 作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖13，當0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如圖14所示，其圖像與x軸交點的橫坐標就是方程f（x）=0的解，要使兩根都在1，3之間，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同時成立，解得-3

8.由題意，g′（x）=ex-a≥0對一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分離參數(shù)得a=，令h（x）=，則h′（x）=，易知函數(shù)h（x）在（0，e）單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，在x=e處有極大值h（e）=.又當x→0+時，h（x）→-∞；當時x→+∞，h（x）→0，即直線x=0和y=0（即x軸）是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖15.觀察圖像即知：當a=或a≤0時，f（x）的零點個數(shù)為1；當0

（作者單位：福建省永定縣城關中學）

責任編校 徐國堅

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝陽一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x）. 當x∈[0，1]時，f（x）=2x.若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是 .

6. （2013年濱州一模理）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）則關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

7. 若關于x的方程x2-2kx-3k=0的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？

8. （2013年高考·江蘇卷，理26題改編）設函數(shù)f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數(shù)，試求f（x）的零點的個數(shù)，并證明你的結論.

你來做做參考答案：

1. 注意當∈（0，）時，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，則-8≤x≤8，因此，只需畫出[-3，3]的圖像即可.

有的同學觀察圖像（圖10），得出有7個交點，實際上，觀察得不夠仔細，因為當x=8時，=2，而當x=<8時，2sinx=2，所以點（x，2）不是兩個函數(shù)圖像的交點，故在[2，3]上， 兩個函數(shù)圖像有兩個交點，而不是一個交點，因此，方程=2sinx的解的個數(shù)為9而不是7.選D.

3. 如圖11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域內包含直線y=x-1上的點，只要邊界點（-m，1-2m）在直線y=x-1上方，且（-m，m）在直線y=x-1下方，解不等式組m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

選C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，設y=f（x），y=ax+2a，作出函數(shù)y=f（x），y=ax+2a的圖像，如圖12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則直線y=ax+2a=a（x+2）的斜率滿足kAH

6. 作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖13，當0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如圖14所示，其圖像與x軸交點的橫坐標就是方程f（x）=0的解，要使兩根都在1，3之間，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同時成立，解得-3

8.由題意，g′（x）=ex-a≥0對一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分離參數(shù)得a=，令h（x）=，則h′（x）=，易知函數(shù)h（x）在（0，e）單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，在x=e處有極大值h（e）=.又當x→0+時，h（x）→-∞；當時x→+∞，h（x）→0，即直線x=0和y=0（即x軸）是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖15.觀察圖像即知：當a=或a≤0時，f（x）的零點個數(shù)為1；當0

（作者單位：福建省永定縣城關中學）

責任編校 徐國堅

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝陽一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x）. 當x∈[0，1]時，f（x）=2x.若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是 .

6. （2013年濱州一模理）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）則關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

7. 若關于x的方程x2-2kx-3k=0的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？

8. （2013年高考·江蘇卷，理26題改編）設函數(shù)f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數(shù)，試求f（x）的零點的個數(shù)，并證明你的結論.

你來做做參考答案：

1. 注意當∈（0，）時，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，則-8≤x≤8，因此，只需畫出[-3，3]的圖像即可.

有的同學觀察圖像（圖10），得出有7個交點，實際上，觀察得不夠仔細，因為當x=8時，=2，而當x=<8時，2sinx=2，所以點（x，2）不是兩個函數(shù)圖像的交點，故在[2，3]上， 兩個函數(shù)圖像有兩個交點，而不是一個交點，因此，方程=2sinx的解的個數(shù)為9而不是7.選D.

3. 如圖11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域內包含直線y=x-1上的點，只要邊界點（-m，1-2m）在直線y=x-1上方，且（-m，m）在直線y=x-1下方，解不等式組m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

選C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，設y=f（x），y=ax+2a，作出函數(shù)y=f（x），y=ax+2a的圖像，如圖12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四個不相等的實數(shù)根，則直線y=ax+2a=a（x+2）的斜率滿足kAH

6. 作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖13，當0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如圖14所示，其圖像與x軸交點的橫坐標就是方程f（x）=0的解，要使兩根都在1，3之間，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同時成立，解得-3

8.由題意，g′（x）=ex-a≥0對一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分離參數(shù)得a=，令h（x）=，則h′（x）=，易知函數(shù)h（x）在（0，e）單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，在x=e處有極大值h（e）=.又當x→0+時，h（x）→-∞；當時x→+∞，h（x）→0，即直線x=0和y=0（即x軸）是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖15.觀察圖像即知：當a=或a≤0時，f（x）的零點個數(shù)為1；當0

（作者單位：福建省永定縣城關中學）

責任編校 徐國堅