李昭平

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式三者之間有著緊密的聯(lián)系.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具， 尤其是處理高次函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及它們的復(fù)合型函數(shù)問題時(shí)，更能體現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值、思維價(jià)值和工具價(jià)值.不等式貫穿于函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題之中，同時(shí)導(dǎo)數(shù)又為一些用傳統(tǒng)方法難以處理的不等式問題提供了求解的新思路和新途徑.可以說，導(dǎo)數(shù)的引入，拓寬了高考對(duì)函數(shù)與不等式問題的命題空間，以致在近年來的高考中，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的交匯成為考查的重點(diǎn)、難點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn).

考點(diǎn)1. 函數(shù)基本知識(shí)及其聯(lián)系問題

例1. 已知某質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，熱量Q隨位移x變化的規(guī)律是Q（x）=ax3+bx2+cx+d，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，如圖1是其圖像的一部分，求Q（x）的解析式.

[解析]∵Q（x）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴Q（-x）=-Q（x），

即-ax3+bx2-cx+d-ax3-bx2-cx-d，∴b=d=0.

因此Q（x）=ax3+cx，Q′（x）=3ax2+c.

由圖像可知，當(dāng)x=時(shí)，

Q（x）有極小值-1，所以 Q′（）=a+c=0，Q（）=a+=-1，解得a=4，c=-3，Q（x）=4x3-3x.

[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)基本知識(shí)主要包括函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、圖像、極值、最值等.本題以物理知識(shí)為背景，給出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（即原函數(shù)的圖像），融函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)、極值的考查于一體，從原函數(shù)圖像上發(fā)現(xiàn)其極值點(diǎn)而得到Q′（）=0是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)2. 函數(shù)圖像的切線及其聯(lián)系問題

例2. 反比例函數(shù)f（x）（x>0）和二次函數(shù)g（x）的圖像如圖2所示， 在它們交點(diǎn)P處的反比例曲線的切線的傾斜角為120°，求f（x）+g（x）的最小值.

[解析]由題意可設(shè)f（x）=，

g（x）=ax2. 則 f′（x）=-.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：-=tan120°，所以k= .

因此 f（x）= ，P（1，）.

將P（1，）代入 g（x）=ax2中，得a=.

故h（x）=f（x）+g（x）=+x2，x≠0. h′（x）=-+2x=0，x=.

當(dāng)x>時(shí)，h′（x）>0；0

[點(diǎn)評(píng)]本題考查函數(shù)的圖像、函數(shù)的解析式和圖像的切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（f′（1）=tan120°）確定待定系數(shù)k是解題的關(guān)鍵.函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義就是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率，以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程是y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.

考點(diǎn)3. 函數(shù)與數(shù)列的交匯問題

例3. 已知函數(shù)f（x）=2x-2-x，數(shù)列{an}滿足f（log2an）=-2n.

（1）求an=g（n）的導(dǎo)函數(shù)g′（n）；

（2）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.

[解析]（1）由已知，有an-=-2n，即a 2 n+2nan-1=0， 解得an=-n±. 而an>0，所以an=-n. 于是g′（n）=-1.

（2）因?yàn)?<1（n∈N），所以 g′（n）= -1<0（n∈N），

故數(shù)列{an}是單減數(shù)列.

[點(diǎn)評(píng)]本題考查了復(fù)合函數(shù)、數(shù)列以及函數(shù)單調(diào)的導(dǎo)數(shù)式條件.數(shù)列是特殊的函數(shù)，將an=g（n）視為n的函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.

考點(diǎn)4. 函數(shù)圖像的公切線問題

例4. 設(shè)函數(shù) f（x）=ex的反函數(shù)為g（x），點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）分別為函數(shù)f（x）的圖像C1和g（x）的圖像C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 過P、Q的直線為l，當(dāng)l為曲線C1、C2的公切線時(shí)，求x1，x2滿足的關(guān)系以及x1的取值范圍.

[解析]f（x）=ex，f′（x）=ex；g（x）=lnx，g′（x）=.

過P（x1，），Q（x2，lnx2）的公切線l的方程有兩種表達(dá)式：y-=（x-x1）和y-lnx2=（x-x2），即y=x+（1-x1）和y=x+lnx2-1，因此 =，=（1-x1）=lnx2-1，解得x2=，=. 由=>0x1<-1或x1>1，當(dāng)x1>1時(shí)，>e>e1

故x1，x2滿足的關(guān)系是的取值范圍是x2=；x1的取值范圍是（，-1）∪（1，）.

[點(diǎn)評(píng)]本題是超越型函數(shù)圖像的公切線問題，用傳統(tǒng)方法難以求解. 這里根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到公切線l的兩種表達(dá)式，從而構(gòu)建方程，獲得x1，x2的關(guān)系， 進(jìn)一步求出x1的取值范圍.一般地，如果直線l切曲線y=f（x）和y=g（x）分別于點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），則l有兩種表示方法：y-f（x1）=f′（x1）（x-x1）和y-g（x2）=g′（x2）（x-x2）， 即它們表示同一條直線，我們常常以此構(gòu)建方程組f′（x1）=g′（x2），f（x1）-x1f′（x1）=g（x2）-x2g′（x2）來解決公切線問題.

考點(diǎn)5. 超越型不等式的證明問題

例5. 設(shè)f（x）=x-sinx，若x∈[0，]，∈（0，），試證明

≥f（）.

[解析]- f（）=-+sin=-sin-sinx+sin. 令g（x）=-sin-

sinx+sin，則g′（x）=-cosx+cos=（cos-cosx）.

∵x∈[0，]，∈（0，），∴∈（0，），而cosx在[0，]內(nèi)單調(diào)遞減， 所以由g′（x）=（cos-cosx）=0，得x=. 當(dāng)0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0≤x<時(shí)，

g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減. 因此g（）是g（x）在[0，]上的最小值.

于是g（x）≥g（）=0，-f（）≥0，

即當(dāng)x∈[0，]，∈（0，）時(shí)， ≥f（）成立.

[點(diǎn)評(píng)]本題中的超越型不等式用傳統(tǒng)方法難以證明，導(dǎo)數(shù)為這類問題的研究和解決提供了新思路. 由于導(dǎo)數(shù)在這類問題中的應(yīng)用往往是隱性的，需要我們?nèi)?chuàng)造條件、去構(gòu)造模式（主要是構(gòu)造新函數(shù)，此題中就是函數(shù)g（x）），這就常常導(dǎo)致我們只重視用傳統(tǒng)方法思考，而忽視導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 不等式的證明除常見的比較法、分析法、綜合法、反證法外，構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)處理是一種非常重要的方法.在涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)、分式、三角等復(fù)雜的不等式證明問題中，有著其他方法不可比擬的優(yōu)越性，因此要重點(diǎn)關(guān)注.

類型6. 含參數(shù)的恒成立不等式問題

例6. 已知函數(shù)f（x）=x3-x2+（a+1）x+1，其中a為實(shí)數(shù). 若不等式f′（x）>x2-x-a+1對(duì)任意a∈（0，+∞）都恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

[解析]因?yàn)閒′（x）=ax2-3x+（a+1），所以f′（x）>x2-x-a+1就是ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1，即（x2+2）a-2x-x2>0.

令g（a）=（x2+2）a-2x-x2，則g′（a）=x2+2>0，g（a）在a∈（0，+∞）上單增，（x2+2）a-2x-x2>0在a∈（0，+∞）恒成立g（0）≥0， 所以-2x-x2≥0，解得-2x≤x≤0，即為實(shí)數(shù)x的取值范圍.

[點(diǎn)評(píng)]本題涉及整式函數(shù)型恒成立不等式， 主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系. 一要注意三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則是二次函數(shù)， 二次函數(shù)是我們熟悉的模型，這是導(dǎo)數(shù)的降次功能. 二要注意構(gòu)造新函數(shù)g（a），活用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出g（a）的值域，順利實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).一般地，不等式f（x）k（k時(shí)恒成立）在 x∈I時(shí)恒成立fmin>k（x∈I）.求解此類問題最常見的方法是函數(shù)最值法，即構(gòu)造出相應(yīng)的輔助函f（x），利用上述結(jié)論處理. 本題不等式（x2+2）a-2x-x2>0在a∈（0，+∞）恒成立g（a）=（x2+2）a-2x-x2在（0，+∞）上的最大值大于零g（a）≥0.

考點(diǎn)7. 函數(shù)式中待定字母的取值范圍問題

例7. 函數(shù)f（x）=x2eax，其中a∈R.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[解析]（1）f（x）=x2ex，f′（x）=2xex+x2ex=（x2+2x）ex. 由f′（x）>0，得x2+2x>0，x<-2或x>0；由f′（x）<0，得x2+2x <0，-2

（2）f（x）=x2eax，f′（x）=2xeax+ax2eax=（ax2+2x）eax. 若函數(shù)f（x）=在（-∞，-1]上遞增，則在（-∞，-1]上f′（x）=（ax2+2x）eax≥0，即ax2+2x≥0.

因?yàn)閤∈（-∞，-1]，所以x2>0，ax2+2x≥0變?yōu)閍≥-，a≥（-）max. -在x∈（-∞，-1]上是減函數(shù)，最大值為-=2，故a≥2， 即為實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[點(diǎn)評(píng)]縱觀近年來的高考題不難發(fā)現(xiàn)，“已知函數(shù)的單調(diào)性特征，反過來確定函數(shù)式中待定字母的取值范圍”試題在高考中頻頻出現(xiàn)，而且試題的深度、廣度和難度也在不斷增大. 這種逆向設(shè)置的問題， 有一定的開發(fā)性，能有效考查學(xué)生對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式思想方法的掌握程度、思維水平和綜合能力. 顯然， 這些試題用單調(diào)性的定義求解，將會(huì)十分復(fù)雜，甚至無法求解. 而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來處理則是一種有效途徑. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單增（或單減）的充要條件是：在x∈D上恒有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在D的任意子區(qū)間上都不恒為零. 在高中階段， 主要出現(xiàn)的是有一個(gè)或多個(gè)（有限個(gè)）使f′（x）=0的點(diǎn)x的情況. 比如， 函數(shù)f（x）=x3在（-∞，+∞）上單增，f′（x）=3x2≥0在（-∞，+∞）上恒成立， 其中有一個(gè)x0=0，使f′（x0）=0成立. 注意f′（x）>0（或f′（x）<0）是f（x）為增（或減）函數(shù)的充分而非必要的條件， 避免當(dāng)做充要條件使用. 這里不能由不等式ax2+2x>0求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)8. 分類討論待定字母的取值范圍問題

例8. 求函數(shù)f（x）=xln（-x）+（a-1）x（a∈R）在區(qū)間[-e2，-e-1]上的最大值g（a）.

[解析]f′（x）=ln（-x）+ a. 由f′（x）=ln（-x）+ a=0 ，得x=-e-a.

①若-e-a<-e2，即a<-2，函數(shù)在[-e2，-e-1]上遞減，g（a）=f（-e2） =-（a+1）e2.

②若-e2≤-e-a<-e-1，即-2≤a<1時(shí)，g（a）=f（-e-a）=e-a.

③若-e-a≥-e-1，函數(shù)在[-e2，-e-1]上遞增，g（a）=f（-e-1）=.

故g（a）=-（a+1）e2， （a<-2）e-a， （-2≤a<1）. （a≥1）

[點(diǎn)評(píng)]本題中a為任意實(shí)數(shù)，f′（x）的零點(diǎn)x=-e-a是否在所給的區(qū)間[-e2，-e-1]內(nèi)，有a待于的取值，必須對(duì)零點(diǎn)x=-e-a與區(qū)間[-e2，-e-1]的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論. 一般地，分類討論有“三步曲”：一是選擇分類對(duì)像，即對(duì)什么東西進(jìn)行分類（這里零點(diǎn)x=-e-a與區(qū)間[-e2，-e-1]的位置關(guān)系由a確定，因此選擇a為分類對(duì)像）；二是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，即怎樣分類（這里根據(jù)零點(diǎn)x=-e-a在區(qū)間[-e2，-e-1]的左邊、內(nèi)部、右邊分成a<-2、-2≤a<1和a≥1三類）；三是深化分類層次（就是在一級(jí)分類中再進(jìn)行二級(jí)分類，即分類中分類，本題不涉及）. 導(dǎo)數(shù)、不等式在函數(shù)的應(yīng)用中， 常常涉及到待定的字母，函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及圖像的形狀等等都與字母的取值有關(guān)， 此時(shí)要牢記對(duì)待定字母的分類討論， 切實(shí)把握分類討論的“三步曲”，否則極易出錯(cuò).

考點(diǎn)9. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例9. 試判斷函數(shù)f（x）=x2-8lnx-8的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

[解析]函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）. 由f′（x）=2x-=0，得x=±2，取x=2.

當(dāng)02時(shí)，f′（x）>0 .所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=2處取極小值，也是最小值， 且最小值為f（2）=22-8ln2-8=-4-8ln2<0.

如圖3，當(dāng)x逐漸靠近零時(shí)，f（x）越來越大；當(dāng)x大于2，并逐漸大時(shí)，f（x）也越來越大.因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

[點(diǎn)評(píng)]超越函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)用傳統(tǒng)方法處理往往不易，導(dǎo)數(shù)是很好的工具.解題的基本步驟是：求f′（x）=0的根x0；判斷在根x0的兩側(cè)f′（x）的符號(hào)；確定x0是極大值點(diǎn)，還是極小值點(diǎn)，或不是極值點(diǎn)；求最值；畫出f（x）的草圖，觀察即可.

考點(diǎn)10. 函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例10. 已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說明理由.

[解析]函數(shù)的y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，就是方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上實(shí)根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)一步就是函數(shù)h（x）=g（x）-f（x） 的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.

因?yàn)閔（x）=6lnx+m+x2-8x，所以h′（x）=+2x-8=（x>0），

當(dāng)00，h（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)13時(shí)h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增. 所以h（x）的極大值為h（1）=m-7，極小值為h（3）=m+6ln3-15，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)， h（x）→-∞. 因此要使h（x）=g（x）-f（x）<0的圖像與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，必須且只須h（1）=m-7<0（圖4）或h（3）=m+6ln3-15>0（圖5），即m<7或m>15-6ln3時(shí)， 函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn).

變式1：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)”，怎樣解答呢？

變式2：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同交點(diǎn)”，怎樣解答呢？

[點(diǎn)評(píng)]用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，也是近年來高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 解題的主要步驟是：①構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）；②求導(dǎo)h′（x）=g′（x）-f′（x）；③研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和極值（必要時(shí)研究函數(shù)圖像端點(diǎn)的極限情況）；④畫出函數(shù)h（x）的草圖，觀察與x軸的交點(diǎn)情況，列出相應(yīng)的不等式（組）；⑤解不等式（組）獲解.

以上對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式在2014年高考中的考點(diǎn)作了十個(gè)方面的預(yù)測. 這些試題很好地體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式問題的核心思想方法，有一定的價(jià)值.高考題無非是知識(shí)與思想方法的重新排列組合，盡管我們無法猜到原題，但萬變不離其宗，熟練把握了這十種題型，可以在高考中以不變應(yīng)萬變.

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

考點(diǎn)9. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例9. 試判斷函數(shù)f（x）=x2-8lnx-8的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

[解析]函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）. 由f′（x）=2x-=0，得x=±2，取x=2.

當(dāng)02時(shí)，f′（x）>0 .所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=2處取極小值，也是最小值， 且最小值為f（2）=22-8ln2-8=-4-8ln2<0.

如圖3，當(dāng)x逐漸靠近零時(shí)，f（x）越來越大；當(dāng)x大于2，并逐漸大時(shí)，f（x）也越來越大.因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

[點(diǎn)評(píng)]超越函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)用傳統(tǒng)方法處理往往不易，導(dǎo)數(shù)是很好的工具.解題的基本步驟是：求f′（x）=0的根x0；判斷在根x0的兩側(cè)f′（x）的符號(hào)；確定x0是極大值點(diǎn)，還是極小值點(diǎn)，或不是極值點(diǎn)；求最值；畫出f（x）的草圖，觀察即可.

考點(diǎn)10. 函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例10. 已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說明理由.

[解析]函數(shù)的y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，就是方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上實(shí)根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)一步就是函數(shù)h（x）=g（x）-f（x） 的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.

因?yàn)閔（x）=6lnx+m+x2-8x，所以h′（x）=+2x-8=（x>0），

當(dāng)00，h（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)13時(shí)h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增. 所以h（x）的極大值為h（1）=m-7，極小值為h（3）=m+6ln3-15，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)， h（x）→-∞. 因此要使h（x）=g（x）-f（x）<0的圖像與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，必須且只須h（1）=m-7<0（圖4）或h（3）=m+6ln3-15>0（圖5），即m<7或m>15-6ln3時(shí)， 函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn).

變式1：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)”，怎樣解答呢？

變式2：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同交點(diǎn)”，怎樣解答呢？

[點(diǎn)評(píng)]用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，也是近年來高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 解題的主要步驟是：①構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）；②求導(dǎo)h′（x）=g′（x）-f′（x）；③研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和極值（必要時(shí)研究函數(shù)圖像端點(diǎn)的極限情況）；④畫出函數(shù)h（x）的草圖，觀察與x軸的交點(diǎn)情況，列出相應(yīng)的不等式（組）；⑤解不等式（組）獲解.

以上對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式在2014年高考中的考點(diǎn)作了十個(gè)方面的預(yù)測. 這些試題很好地體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式問題的核心思想方法，有一定的價(jià)值.高考題無非是知識(shí)與思想方法的重新排列組合，盡管我們無法猜到原題，但萬變不離其宗，熟練把握了這十種題型，可以在高考中以不變應(yīng)萬變.

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

考點(diǎn)9. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例9. 試判斷函數(shù)f（x）=x2-8lnx-8的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

[解析]函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）. 由f′（x）=2x-=0，得x=±2，取x=2.

當(dāng)02時(shí)，f′（x）>0 .所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=2處取極小值，也是最小值， 且最小值為f（2）=22-8ln2-8=-4-8ln2<0.

如圖3，當(dāng)x逐漸靠近零時(shí)，f（x）越來越大；當(dāng)x大于2，并逐漸大時(shí)，f（x）也越來越大.因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

[點(diǎn)評(píng)]超越函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)用傳統(tǒng)方法處理往往不易，導(dǎo)數(shù)是很好的工具.解題的基本步驟是：求f′（x）=0的根x0；判斷在根x0的兩側(cè)f′（x）的符號(hào)；確定x0是極大值點(diǎn)，還是極小值點(diǎn)，或不是極值點(diǎn)；求最值；畫出f（x）的草圖，觀察即可.

考點(diǎn)10. 函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例10. 已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍； 若不存在，請(qǐng)說明理由.

[解析]函數(shù)的y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，就是方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上實(shí)根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)一步就是函數(shù)h（x）=g（x）-f（x） 的圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.

因?yàn)閔（x）=6lnx+m+x2-8x，所以h′（x）=+2x-8=（x>0），

當(dāng)00，h（x）單調(diào)遞增； 當(dāng)13時(shí)h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增. 所以h（x）的極大值為h（1）=m-7，極小值為h（3）=m+6ln3-15，并且當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)， h（x）→-∞. 因此要使h（x）=g（x）-f（x）<0的圖像與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，必須且只須h（1）=m-7<0（圖4）或h（3）=m+6ln3-15>0（圖5），即m<7或m>15-6ln3時(shí)， 函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn).

變式1：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)”，怎樣解答呢？

變式2：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同交點(diǎn)”，怎樣解答呢？

[點(diǎn)評(píng)]用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，也是近年來高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 解題的主要步驟是：①構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）；②求導(dǎo)h′（x）=g′（x）-f′（x）；③研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和極值（必要時(shí)研究函數(shù)圖像端點(diǎn)的極限情況）；④畫出函數(shù)h（x）的草圖，觀察與x軸的交點(diǎn)情況，列出相應(yīng)的不等式（組）；⑤解不等式（組）獲解.

以上對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式在2014年高考中的考點(diǎn)作了十個(gè)方面的預(yù)測. 這些試題很好地體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式問題的核心思想方法，有一定的價(jià)值.高考題無非是知識(shí)與思想方法的重新排列組合，盡管我們無法猜到原題，但萬變不離其宗，熟練把握了這十種題型，可以在高考中以不變應(yīng)萬變.

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)