☉廣西柳州高級(jí)中學(xué) 吳佐慧 林 軍

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉合國(guó)

高考全國(guó)卷含參不等式恒成立問(wèn)題的探究

☉廣西柳州高級(jí)中學(xué) 吳佐慧 林 軍

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉合國(guó)

含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題是歷年高考、競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題，由于這類(lèi)問(wèn)題靈活多變，對(duì)應(yīng)試者的能力要求較高，令不少學(xué)生束手無(wú)策.這類(lèi)題型在2006年全國(guó)高考試題中首次出現(xiàn)以后，幾乎每年均有呈現(xiàn).高考命題組對(duì)這類(lèi)問(wèn)題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案一般是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，逐段篩選出符合條件的參數(shù)的范圍.這種解法既考查對(duì)不等式恒成立條件正面的探究過(guò)程，又考查不等式恒成立的否定過(guò)程，考試的時(shí)候?qū)W生不容易想到.

最近幾年有下面6道求參數(shù)范圍的高考題：

題目1：（2006年全國(guó)II理20）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）.若對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目2：（2007年全國(guó)I理20）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e-x.（1）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥2；（2）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

題目4：（2010新課標(biāo)全國(guó)理21）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-xax2.（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

題目6：（2012年全國(guó)II理20）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈［0，π］.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

文［1］、［2］中，作者均給出了相應(yīng)題目的統(tǒng)一解法.但筆者認(rèn)為，此類(lèi)問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決，則更加直觀、自然.

在指定的坐標(biāo)系中用分析的方法勾勒出函數(shù)的大致形狀，從而可以直觀地去研究它的某些性質(zhì)，這是很有實(shí)際意義的，同時(shí)它也是數(shù)學(xué)研究中的重要手段之一.下面我們就分別給出求解過(guò)程.

題目1的解：當(dāng)x≥0時(shí)，要使ax≤f（x） 恒成立，則必須使得函數(shù)g（x）=ax的圖象在函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）的圖象的下方.

當(dāng)x≥0時(shí)，則f′（x）>0且f″（x）>0，故f（x）單調(diào)遞增且下凸，其圖象如圖1所示.

當(dāng)x≥0時(shí)，要使得函數(shù)g（x）=ax的圖象在函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）的圖象的下方，則必有a≤f′（0）=1.綜上，a的取值范圍為（-∞，1］.

題目2的解：（1）略.

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，要使ax≤f（x）恒成立，則必須使得函數(shù)g（x）=ax的圖象在函數(shù)f（x）=ex-e-x的圖象的下方.

求f（x）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，有f′（x）=ex+e-x， f″（x）=ex-e-x.

當(dāng)x≥0時(shí)，則f′（x）>0且f″（x）≥0，故f（x）單調(diào)遞增且下凸，其圖象如圖2所示.

當(dāng)x≥0時(shí)，要使得函數(shù)g（x）=ax的圖象在函數(shù)f（x）=ex-e-x的圖象的下方，則必有a≤f′（0）=2.綜上，a的取值范圍為（-∞，2］.

題目3的解：（1）略.

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.數(shù)和形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

數(shù)形結(jié)合的思想，就是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考查，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案.解決含參不等式恒成立的問(wèn)題便是如此.

1.劉金.一類(lèi)高考題的統(tǒng)一解法［J］.數(shù)學(xué)通訊，2010（11、12）.

2.李平龍.幾道高考?jí)壕眍}的啟示［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011（11、12）.