☉廣州大學(xué)計算機(jī)教育軟件研究所 劉鳳鳴 朱華偉

一道環(huán)球城市數(shù)學(xué)競賽題的推廣

☉廣州大學(xué)計算機(jī)教育軟件研究所 劉鳳鳴 朱華偉

1983環(huán)球城市數(shù)學(xué)競賽秋季賽第一題：

題目 考慮正方形ABCD中的一點(diǎn)M，證明：三角形ABM，BCM，CDM和DAM的中線交點(diǎn)構(gòu)成一個正方形.

證明：如圖1，設(shè)E，F(xiàn)，G，H分別是△ABM，△BCM，△CDM和△DAM的重心，P，Q，R，S分別是AB，BC，CD，DA邊的中點(diǎn)，顯然，四邊形PQRS是正方形.

評注：通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)M不在正方形ABCD內(nèi)時，這個結(jié)論仍然成立，證明的方法同上.

下面我們來討論對于正三角形這一結(jié)論是否成立.如果成立的話，重心所構(gòu)成的正三角形與原三角形是相似的，它們的面積比又等于多少呢？

命題1：已知正三角形ABC和平面上一點(diǎn)M（不與點(diǎn)A，B，C重合），那么三角形ABM，BCM和CAM的重心構(gòu)成一個正三角形.

證明：如圖2，設(shè)點(diǎn)O，P，Q分別是三角形ABM，BCM和CAM的重心，點(diǎn)X，Y，Z分別是AB，BC和CA邊的中點(diǎn).

我們不妨對原題進(jìn)行推廣，看看其他正多邊形是否也有這種性質(zhì)，并進(jìn)一步思考：連接重心得到的正多邊形與原正多邊形的面積比為多少？

命題2：已知正n邊形A1A2…An和平面上一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A1，A2，…，An重合）.求證：△PA1A2，△PA2A3，…，△PAnA1的重心也構(gòu)成一個正n邊形.

證明：如圖3，設(shè)G1，G2，…，Gn為△PA1A2，△PA2A3，…，△PAnA1的重心，點(diǎn)M1，M2，…，Mn為A1A2，A2A3，…，AnA1的中點(diǎn).

那么正n邊形G1G2…Gn與正n邊形A1A2…An的面積又有什么聯(lián)系呢？設(shè)正n邊形A1A2…An的面積為SA，正n邊形G1G2…Gn的面積為SG，正n邊形M1M2…Mn的面積為SM.

1.中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會.環(huán)球城市數(shù)學(xué)競賽問題與解答第1冊［M］.北京：開明出版社，2004.

2.包恩萍.正n邊形中關(guān)于面積的一個數(shù)列通項(xiàng)［J］.讀寫算（教育教學(xué)研究），2011（16）.