☉浙江省象山中學(xué) 祝益鋒
讓解題思路來的更自然些
——從兩道高考題說起
☉浙江省象山中學(xué) 祝益鋒
筆者在做2013年遼寧高考卷(理科),發(fā)現(xiàn)遼寧兩道壓軸題考生得分不高,筆者認(rèn)為得分低的主要原因是學(xué)生未能較好的掌握通性通法,而這又是因為有相當(dāng)一部分教師在教學(xué)或研究中有意或無意的顯示自己在解題方面的“特技”,不注重對學(xué)生通性通法的指導(dǎo),使學(xué)生受到潛移默化的影響所致,學(xué)生看到這些題目時首先考慮的不是通性通法,而是特殊技巧,思路混亂,解題時一旦遇阻就毫無章法.借此筆者談?wù)勗跀?shù)學(xué)解題中怎樣使解題思路自然而然地展開,少一些技巧,多一點自然.
A.有極大值,無極小值
B.有極小值,無極大值
C.既有極大值又有極小值
D.既無極大值也無極小值
上述的解題思路說明一個道理:自然而然、水到渠成的解題過程,常常源自思維方法上的質(zhì)樸!
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
本文主要分析第(2)問,我們先看給的標(biāo)準(zhǔn)答案(摘錄部分)如下:
感悟:《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出:“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.”人們在解決問題時,經(jīng)歷了猜想,再著手驗證的過程,從局部到整體,層次分明,逐次漸進(jìn),并且后者與前者有密切的邏輯聯(lián)系,就像爬坡一樣拾級而上.思路也隨著問題的出現(xiàn)而逐漸深入,但每步都是那么自然和順利成章.當(dāng)我們遇到“難題”和新穎的試題而一籌莫展無從下手時,不妨先把問題簡化一下,以突出其關(guān)鍵信息,特別地“把一個比較復(fù)雜的問題,‘退’成最簡單最原始的問題,把這個最簡單、最原始的問題想通了、想透了”,然后再歸納、綜合而實現(xiàn)飛躍,“這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅”.解答任何一個有困難的數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該從簡單的情形開始!教育數(shù)學(xué)的先行者張景中院士一向主張為教育而數(shù)學(xué),改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí),解題數(shù)學(xué)何嘗不是這樣,讓解法是自然的,平易近人的.
但是,有些教師在解題中過于渲染解題技巧,至于技巧怎么來的,其中又蘊含著怎樣的數(shù)學(xué)思想方法,往往不作解釋,或語焉不詳,讓人只能停留在“欣賞”層面,不會產(chǎn)生心領(lǐng)神會的心靈共鳴.筆者認(rèn)為從基本概念、原理出發(fā),以基礎(chǔ)知識為依托、以基本方法為技能,按照既定的步驟,逐步推出問題和解答,解法思想順乎一般思維規(guī)律,其具體操作過程應(yīng)該為多數(shù)學(xué)生所掌握.
題3(2008年浙江高考第8題改編)已知cosα+2sinα=,求tanα的值.
許多文章都對此題做了多種解答,不乏有精彩的,但又有些值得商榷,比如有導(dǎo)數(shù)法,左右兩邊求導(dǎo)得出,-sinα+2cosα=0,tanα=-2,馬上得出結(jié)果,解法之快,不得不佩服,但此方法是否具有“普適性”呢?請看下面同樣是浙江省的高考題:
如果用導(dǎo)數(shù)法,此方法在此題中就失靈了.這兩題都是考查基本的兩角和正、余弦公式,所以自然的想法就是逆用正、余弦公式,解法如下:
當(dāng)然還有其他解法這里不再例舉.
正如著名數(shù)學(xué)史學(xué)家M.克萊因曾說,“把函數(shù)的連續(xù)性說成是一條可以用鉛筆不間斷移動所畫出的曲線,比起ε-δ的定義來,要容易掌握得多啊!”,“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧,這些技巧只不過是它微不足道的方面:它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué),就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣.技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物.”
用最簡單的、最直觀的方法說明最深刻的道理,才是數(shù)學(xué)之精髓,才是大道.
1.王芝平,王敬華.讓解題思路來的更自然一些[J].數(shù)學(xué)通報,2013(2).
2.章建躍.注重通性通法才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2011(11).