☉江蘇省無錫市水秀中學 薛 鶯

☉江蘇省無錫市江南中學 童偉偉

☉江蘇省無錫市太湖格致中學 陳 鋒

基于“幾何畫板”平臺的數(shù)學課堂探究教學的研究
——從一堂成功的“信息技術(shù)與數(shù)學學科整合課”談起

☉江蘇省無錫市水秀中學 薛 鶯

☉江蘇省無錫市江南中學 童偉偉

☉江蘇省無錫市太湖格致中學 陳 鋒

2013年11月無錫市濱湖區(qū)名師工作室展示課上，無錫市太湖格致中學陳鋒老師上的一節(jié)《圖形中質(zhì)點的運動》（九年級專題復習課）受到了聽課專家和老師的一致好評，這節(jié)課展現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)支持下的初中數(shù)學探究性學習的課堂，下面利用信息技術(shù)呈現(xiàn)該課的教學設(shè)計并作相應點評，拋磚引玉，希望能與大家做深入的探討與交流.

一、課前預設(shè)——從幾何畫板運用的角度對課堂探究教學進行設(shè)定

1.教學媒體設(shè)計

基于幾何畫板軟件在數(shù)學探究教學中，功能強大卻又操作簡單的優(yōu)勢，提供一個理想的讓學生積極探索問題的探究教學環(huán)境，通過創(chuàng)設(shè)虛擬的“數(shù)學實驗室”，實現(xiàn)學生作圖繪畫、圖像處理、動態(tài)分析、仿真運動等操作，激發(fā)學習者的潛能多元智能發(fā)展.在設(shè)計時考慮到學生現(xiàn)有的智能發(fā)展水平的差異，盡可能設(shè)計一些不同的智能領(lǐng)域的操作演示，滿足不同層次學生的需要.

2.教學策略設(shè)計

根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生實際水平，利用幾何畫板軟件輔助教學，引導學生經(jīng)歷觀察、猜想、實際操作驗證、分析歸納推理等數(shù)學活動過程.①采用啟發(fā)式教學法，引導學生展開豐富的想象，引導學生以動中觀靜、動靜互換為突破口；②通過觀察法，直觀地感受圖形運動過程，變抽象為具體；③利用操作法，通過動手操作、自主探究來提高學生運用信息技術(shù)的能力；④運用討論法，培養(yǎng)學生尊重科學、尊重事實、嚴謹細致的科學態(tài)度，發(fā)展學生自主探究、合作交流和分析歸納的能力.

3.教學流程設(shè)想

二、教學過程——從幾何畫板運用的角度對課堂探究教學進行展示

1.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

（1）觀察.

讓學生觀察工作中的雷達顯示屏，雷達顯示屏中什么在變化？（借助實際模型讓學生思考）

（2）比較.

通過學生的觀察比較，引導學生思考：當雷達顯示屏上指針在運動變化時，其他有沒有也隨之變化？

（3）引題.

問題：由雷達顯示屏上指針在運動變化，引起了其他哪些元素的變化？

【幾何畫板運用點評】選用生活實例，引進計算機模擬仿真演示，改變原來只憑學生想象的教法.巧妙地利用幾何畫板的特點，增強教學內(nèi)容的趣味性，為學生創(chuàng)設(shè)良好的教學情境，最大限度地激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的求知欲望，又讓學生帶著問題探索規(guī)律，從而很自然地引出課題.

2.探究規(guī)律，建立模型

探究活動一：如圖1，△ABC中，C

∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，點

P、Q分別在線段BC和AB上，點P以

0.8 cm/秒的速度從點C向點B運動，點Q同時以1 cm/秒的速度從點A向

點B運動.設(shè)運動時間為t.

（1）CP＝_____，BP＝_____，AQ＝_____，BQ＝_____.（用含t的代數(shù)式表示）

（2）在運動過程中，線段PQ與線段AC的位置有無發(fā)生變化？它們有怎樣的位置關(guān)系？

（3）設(shè)△PBQ的周長為p，則p與時間t有什么函數(shù)關(guān)系？

教師引導步驟：

①通過幾何畫板動態(tài)演示，探求由點P、Q的運動引起了哪些元素的變化，引導學生將點P、Q的運動統(tǒng)一到直線PQ的運動過程中.

②第二問探求線段PQ與線段AC的位置關(guān)系時，引導學生思考在運動過程中，為什么線段PQ與線段AC的位置沒有發(fā)生改變，電腦再次利用幾何畫板的動態(tài)演示，引導學生觀察運動中的不變關(guān)系.

【幾何畫板運用點評】通過幾何畫板的動態(tài)演示，鼓勵學生大膽猜想，并從問題的信息中找到切入點，即尋找不變關(guān)系，初步體會質(zhì)點動靜互換的思想.

③第三問探求p與t之間的函數(shù)關(guān)系式時，強調(diào)相似三角形的性質(zhì)的應用，通過添加輔助線PQ，應用相似三角形周長的比等于相似比的關(guān)系，建立所求△PBQ的周長與時間t之間的等量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式.

【幾何畫板運用點評】通過幾何畫板的動態(tài)演示，添置輔助線PQ，通過添置輔助線，構(gòu)造了相似三角形，構(gòu)造了p與t之間的函數(shù)關(guān)系，從而體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想

小結(jié)規(guī)律一：動中觀靜.

所謂的”靜”指的是問題中的不變關(guān)系和不變量，動中觀靜就是抓住運動變化過程中的不變關(guān)系和不變量，以不變應萬變，迅速把握問題的實質(zhì).

【幾何畫板運用點評】利用幾何畫板動態(tài)地、探索式地表現(xiàn)點的運動，讓學生在演示的過程中，反復觀察運動中線段和三角形的特點，實現(xiàn)空間想象能力的培養(yǎng)，讓原本靜止枯燥的數(shù)學課變成了生動、活潑、優(yōu)美感人的舞臺.

探究活動二：如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，點P、Q分別在線段BC和AB上，點P以0.8cm/秒的速度從點C向點B運動，點Q同時以1 cm/秒的速度從點B向點A運動.設(shè)運動時間為t.

（1）CP＝_____，BP＝______，BQ＝_____.（用含t的代數(shù)式表示）

（2）在運動過程中，線段PQ與邊AC能否互相平行？若能夠平行，求出這時t的值；若不能夠平行，請說明理由.

教師引導步驟：

①通過幾何畫板的動態(tài)演示，令學生明確將質(zhì)點P、Q的運動統(tǒng)一到直線PQ的運動中.其次探求時間t對直線PQ與三角形的邊的位置關(guān)系的影響，由學生說明線段PQ與邊AC能否互相平行、線段PQ與邊AB能否互相垂直.

②在肯定了學生的思考后，教師再利用幾何畫板動態(tài)演示.

【幾何畫板運用點評】以布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論為指導，通過幾何畫板強大的動態(tài)變化功能，以濃縮的形態(tài)給學生提供參與和親手操作的機會，讓枯燥抽象的內(nèi)容變成生動形象的圖形，學生原本不明白或不甚明白的題目等變得一目了然，讓學生在感性認識上進行理性思考，為形象思維到抽象思維的過渡架起了橋梁，體現(xiàn)了教學的直觀性原則和操作性.

③教師第三次利用幾何畫板的動態(tài)演示，請學生思考線段PQ與邊AC互相平行可以得到什么，在肯定了由平行可以得到三角形相似后，利用相似三角形對應邊成比例，求出“線段PQ與邊AC互相平行”時t的值.

④幾何畫板動態(tài)演示線段PQ運動時，線段PQ與邊AC互相平行，這一靜態(tài)下的位置關(guān)系，引導學生從動態(tài)轉(zhuǎn)到靜態(tài)，利用數(shù)形轉(zhuǎn)化思想和方程思想，師生共同求出相切時t的值，解決了靜態(tài)下的位置關(guān)系，

【幾何畫板運用點評】在幾何畫板探究過程中滲透轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，使學生體會了由一般到特殊的辯證思想，學會在動中取靜，把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜止狀態(tài)來解決，而邊探索邊小結(jié)既符合學生的認知規(guī)律，又逐步建構(gòu)了知識系統(tǒng)，深化了教學重點.

小結(jié)規(guī)律二：動靜互換.

動和靜是互相矛盾的兩個方面，它們在一定條件下互相轉(zhuǎn)化，靈活地進行.當碰到動態(tài)問題時，要善于動中取靜，先把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜止狀態(tài)來解決，由一般到特殊，再由靜到動，由特殊到一般，動靜互相轉(zhuǎn)化則能收到意想不到的效果.

3.學以致用，解決問題

探究活動三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，點P、Q分別在線段BC和AB上，點P以0.8 cm/秒的速度從點C向點B運動，點Q同時以1 cm/秒的速度從點B向點A運動.設(shè)運動時間為t.

（1）設(shè)△PBQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系.

（2）△PBQ的面積能否等于4.5 cm2？若能，請求出時間t的值；若不能，請說明理由.

（3）（1）中的面積y有沒有最大值？最大值是多少？若有最大值，求出這時t的值.

學生自主實踐體會：請一個學生上臺利用幾何畫板動態(tài)演示，由學生運用剛學的解題思路解決問題，從而體會數(shù)學來源于實踐，又作用于實踐.建構(gòu)主義者設(shè)計教學的依據(jù)是“在問題中學習”，通過實際問題的解決，使學生不僅學以致用，而且體會到成功的喜悅，更能激發(fā)學生對學習活動的持續(xù)關(guān)注，使學生處于學習活動的核心.

【幾何畫板運用點評】利用幾何畫板“數(shù)學實驗室”的交互功能，給了學生參與的機會，可以讓學生在自己操作中“學數(shù)學”、“做數(shù)學”，實現(xiàn)自我學習，使學生的想象力得到充分發(fā)揮，為探究性學習提供了極大的可能，同時學生對自己的任何發(fā)現(xiàn)，又可以利用幾何畫板得到及時地驗證.

4.操作實驗，應用舉例

探究活動四：如圖4，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，點P、Q分別在線段BC和AB上，點P以0.8 cm/秒的速度從點C向點B運動，點Q同時以1 cm/秒的速度從點B向點A運動.設(shè)運動時間為t.則在運動過程中，△PBQ能否成為等腰三角形？若能，請求出這時的時間t.

學生自主探究步驟：

①學生自主利用幾何畫板動態(tài)演示線段PQ的運動過程，其他學生觀察△PBQ形狀的變化.

②在線段PQ的運動過程中，△PBQ能成為等腰三角形的形狀有哪幾種可能？

③再次利用幾何畫板的動態(tài)演示，驗證自己猜想的結(jié)果，說明在△PBQ為等腰三角形不同形狀下邊的關(guān)系有何不同.

④學生利用準備好的模型動手實驗，分小組討論，△PBQ為等腰三角形處于不同的形狀時所對應的t的值.

在此過程中，使學生明確解決本題的關(guān)鍵是通過了解圖形的動靜交替，通過常量和變量的交替轉(zhuǎn)化，從而求出△PBQ成為等腰三角形時的時間t的值.

【幾何畫板運用點評】先借助幾何畫板的動態(tài)演示，學生觀察，使質(zhì)點的運動和三角形形狀的變化變抽象為直觀，使難點分散，易于理解.學生在感性認識的基礎(chǔ)上，通過動手實驗，根據(jù)條件作出或畫出圖形，驗證自己由觀察而得出的結(jié)論，符合循序漸進，由感性到理性的認知規(guī)律.

（1）教師請學生發(fā)言公布自己研究的結(jié)果，并利用幾何畫板的動態(tài)演示，對不同時間下的圖形的形狀進行矯正，由此使學生深入理解題意.

（2）師生共同探討不同狀態(tài)，通過歸納和類比，最終體會質(zhì)點運動變化探索性問題的解決規(guī)律.

【幾何畫板運用點評】利用幾何畫板測算線段長度的功能，加強學生的感性認識，便于學生分析運動問題中各要素之間的關(guān)系，聯(lián)想到圖形中線段長度的求法；利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，幫助觀察、比較、分析圖形的變化，從而運用分類思想對不同情況下時間t的值進行討論，加強了學生的轉(zhuǎn)化能力.

5.反思整合，總結(jié)提高

本課的探究從質(zhì)點的運動，到線段的運動，最后到三角形的運動，由點到線再到面，而后兩者的變化都是由質(zhì)點的運動變化而引起的，深入揭示了物體的運動都是由質(zhì)點的運動而引起的.

【幾何畫板運用點評】本課的四個探究題將質(zhì)點運動探索性問題的不同類型進行了統(tǒng)一，從而將本節(jié)課的知識條理化，有助于突出重點和突破難點.利用幾何畫板的動態(tài)演示呈現(xiàn)圖形，學生操作，獨立解題.利用幾何畫板的動態(tài)演示把運動過程設(shè)計成動態(tài)過程，變抽象為直觀.題目設(shè)計體現(xiàn)分層教學思想，面向全體學生，并培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和深刻性，使其具有良好的思維品質(zhì)

三、課后點評——從幾何畫板運用的角度對課堂探究教學進行再認識

1.利用幾何畫板軟件，在數(shù)學動態(tài)教學中容易突破教學重點和難點

利用幾何畫板軟件，在數(shù)學動態(tài)教學中可以更容易突出數(shù)學教學的重點，突破數(shù)學教學的難點.本節(jié)課的教學難點是利用幾何畫板軟件來分解的，它可以通過兩個途徑，一是幾何畫板的動態(tài)演示，使抽象問題具體化，同時優(yōu)化了教學過程；二是學生小組合作，通過幾何畫板親自動手實驗，驗證自己的猜想，解決動態(tài)問題，從而使學生在感性認識的基礎(chǔ)上進行理性思考，這樣更加符合數(shù)學教學的循序漸進原則、層次性原則和全面性原則，通過幾何畫板的動態(tài)演示使實際問題的解決更容易，使學生更容易理解和接受對新舊知識進行的同化和順應.同時數(shù)學的抽象性決定了很多知識僅靠講授或在黑板上畫圖很難讓學生理解，而通過幾何畫板軟件可以進行視、聽、觸等多種方式立體化、形象化教學，讓學生真正理解數(shù)學解題方法、解題思路，學會運用數(shù)學提供的中間橋梁來建立想象.所以根據(jù)學生的認知規(guī)律與心理特點，精心設(shè)計的幾何畫板軟件優(yōu)化組合運用到數(shù)學課堂的動態(tài)教學中，能突出重點，突破難點，逐步培養(yǎng)學生的思維能力，同時學會主動探究問題.比如本節(jié)課在操作實驗環(huán)節(jié)中難點的突破，利用幾何畫板軟件展示的質(zhì)點的相對運動而引起的三角形形狀的變化，充分揭示了三角形形狀隨時間t的變化而變化，學生在利用幾何畫板動手實踐后，就能比較容易確定等腰三角形不同形狀時時間t對應的值，從而理解圖形之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.除此以外，利用幾何畫板軟件輔助教學可以代替部分傳統(tǒng)的板書，節(jié)省了時間，所以知識容量大，從而增強課堂密度，提高教學效率和質(zhì)量，增加師生的互動與交流，為突破教學重點和難點提供了有利條件.

2.利用幾何畫板軟件，在數(shù)學動態(tài)教學中可以培養(yǎng)學生多種能力

心理學家皮亞杰曾指出：“思維是通過操作來實現(xiàn)的，能力是在動手實驗中內(nèi)化的.”尤其是學生學習能力的形成和智慧的發(fā)展階段，為學生提供充分的時間、空間和動手實驗的可能性，通過學生動手“做數(shù)學”，引導學生進行數(shù)學的“再創(chuàng)造”活動，促使其認知結(jié)構(gòu)獲得更新，得到重建，同時，培養(yǎng)學生的整體觀察力、操作力、思維力、創(chuàng)造力.而幾何畫板軟件就可以為學生建構(gòu)一個做數(shù)學實驗的場所，學生動手動腦，通過幾何畫板的動態(tài)演示，對學生分析、探究、解決問題的能力大有裨益，從而讓學生深入理解數(shù)學元素之間的相互關(guān)系和轉(zhuǎn)換，運用多種感官獲取信息，體驗數(shù)學實驗并學會自主探索.比如本節(jié)課問題的提出、探究和解決，都通過幾何畫板軟件體現(xiàn)教學過程的交互性，使學生利用自身優(yōu)勢，發(fā)揮自身潛能，選擇適合自己的實驗方法和角度，使自身的各種能力得到積極主動的發(fā)展.

利用幾何畫板軟件可以展示數(shù)學結(jié)論的形成過程，可以培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，可以讓學生建構(gòu)關(guān)于質(zhì)點運動的知識，培養(yǎng)學生合情推理的能力，加強多種數(shù)學思想如函數(shù)思想、數(shù)形轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學建模思想等的滲透.與此同時，培養(yǎng)學生科學的辯證思想，讓學生將抽象的數(shù)學問題具體化.幾何畫板軟件可以引導學生順著知識的階梯和學生的認知規(guī)律進行探索，步步遞進，層層深入，逐步揭示，讓不同層次的學生通過問題的發(fā)生和解決，主動、愉快地接受新知.比如本課在探究規(guī)律環(huán)節(jié)的探究活動一中，兩個質(zhì)點運動過程的電腦動態(tài)演示揭示了線段PQ與線段AC的位置關(guān)系，而且使學生觀察到結(jié)論的形成過程，而這種位置關(guān)系的演變使學生有深刻的感性體驗，為形象思維到抽象思維的過渡架起了橋梁，體現(xiàn)了教學的直觀性原則和創(chuàng)造性原則.

3.利用幾何畫板軟件，在數(shù)學動態(tài)教學中可以提供良好的學習環(huán)境

為學生提供良好的學習環(huán)境，可以使學生更容易構(gòu)建數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，本課運用幾何畫板軟件建構(gòu)了一個比較良好的數(shù)學學習環(huán)境，優(yōu)化了學生的認知環(huán)境，促進學生主動學習.利用幾何畫板軟件充分調(diào)動學生的聽覺、視覺、觸覺等各種器官，使學生的眼、耳、手等器官綜合參與，為學生提供觀察、操作、實踐和獨立思考的環(huán)境.如本課一開始所拋出的問題，探求由點P、Q的運動引起了圖中哪些元素的變化，學生可以親手通過幾何畫板軟件隨機取點，直觀地演示由質(zhì)點運動引起了圖形中其他元素的變化，從而引起學生高度的注意，喚起學生自主參與的欲望和學習的動機，讓基礎(chǔ)較差的學生也能直觀的觀察到，從而使其樹立信心，積極參與課堂教學.

4.利用幾何畫板軟件，在數(shù)學動態(tài)教學中可以體現(xiàn)學生的主體地位

充分利用幾何畫板軟件在問題情境創(chuàng)設(shè)、資源提供及人機交互方面的優(yōu)勢，可以改變以傳授和灌輸為主要方式的課堂教學模式，實現(xiàn)以學生主體的學習活動為基礎(chǔ)的課堂教學，吸引全體學生參與學習活動，為學生創(chuàng)設(shè)既能滿足學生的個體差異，又有助于形成協(xié)作學習的氛圍，根據(jù)學生的實際情況，因材施教，因地制宜，拋出問題，通過學生利用幾何畫板軟件隨機取點的實驗，自然而然地引發(fā)學生主動地思考由質(zhì)點的運動變化引起的探索性問題，該尋找什么樣的切入點解決問題，這樣容易激發(fā)學生學習的主動性和積極性，學生自主探索總結(jié)質(zhì)點運動探索性問題的規(guī)律，逐步自主地建構(gòu)了知識系統(tǒng)，從而提高學生應用所學知識解決簡單的實際問題的能力，為學生主體性、創(chuàng)造性的發(fā)展創(chuàng)設(shè)良好的基礎(chǔ)，使學生開闊視野，朝著自主、探索的學習方向發(fā)展.在這節(jié)課中，幾何畫板軟件的運用既符合學生的認知規(guī)律，又激發(fā)了學生對學習活動的持續(xù)關(guān)注，始終使學生處于教學活動的主體地位.

幾何畫板軟件在數(shù)學探究教學中的運用，根據(jù)數(shù)學教學內(nèi)容，掌握學生的學習行為特點和認知規(guī)律，有效地選擇，靈活應用，突出教育性，充分體現(xiàn)了建構(gòu)的四要素，即情境、協(xié)作、會話和意義，同時還應結(jié)合學生的認知原則，發(fā)現(xiàn)學習理論，認知同化學習理論等，這樣才能使幾何畫板軟件真正在數(shù)學探究教學中發(fā)揮實效.

1.陳鋒，薛鶯.對初三“圓的復習課”的幾點感悟［J］.中學數(shù)學（下），2013（5）.

2.陳鋒，薛鶯.多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構(gòu)［J］.中學數(shù)學（下），2013（9）.WG