☉湖北襄陽市襄城區(qū)教研室 張少艷

☉湖北襄陽市第七中學 魏世勇

一道課本習題教學的實踐與思考
——關于例、習題教學有效性的探討

☉湖北襄陽市襄城區(qū)教研室 張少艷

☉湖北襄陽市第七中學 魏世勇

數學教學離不開講題，如何講題，才能真正體現例、習題的作用，凸顯例、習題的價值？為此，我們通過“十分鐘講題”活動，對如何提高例、習題教學的有效性進行了一些實踐和探索，旨在引導教師鉆研教材，重視教材例、習題的研究與挖掘，切實提高例、習題教學的效率.現以課本一習題的教學設計為例，談點兒體會，供參考.

題目：如圖1，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形（陰影部分）的面積S.

一、習題分析

本題是人教版九年級上冊第114頁習題24.4第3題，是在學生已學習了三角形、矩形、正方形、圓、扇形、弓形等圖形的面積之后，給出的一道傳統的經典習題，該題計算方法靈活多變且滲透了豐富的數學思想，深受歷來教材編審者的青睞.立足此題，可歸納出求解陰影面積的常用方法.

題目的難點是解題方法的構思，即如何將陰影部分的面積化為規(guī)則圖形面積的和或差，要求學生有一定的觀察能力和計算能力.突破難點的關鍵是引導學生對圖形進行適當的分割與轉化.

學生從小學開始就經常接觸到此類求陰影部分面積的題目，因此對解題方法并不陌生，但由于學習時碰到的不少題目都有一定的難度，要求學生有較強的觀察能力，所以不少學生難免有畏難情緒，不愿意作深入思考.不過此類題目往往一點就透，看清楚后有一種豁然開朗的感覺，如果教師能適當加以引導，也極易調動學生的探究欲望.

二、教學設計

為方便起見，以下把陰影中兩個小弓形組成的圖形稱作一個花瓣，每兩個花瓣與正方形的一邊之間的部分稱作一個空白.

1.直接求部分陰影的面積

（1）求一個小弓形的面積.

分析：每個花瓣由2個小弓形組成，把陰影部分看成8個小弓形的和.可以計算一個小弓形的面積，然后乘以8，而一個小弓形的面積等于一個扇形減一個三角形的面積.

解法1：如圖3，取AB的中點E.

（2）求兩個小弓形的面積的和.

分析：把兩個小弓形的面積作為一個整體來看待，計算兩個小弓形的面積S1+S2，然后乘以4.

2.求空白的面積

（1）求半個空白的面積.

分析：每個空白由2個半個空白組成，把所有空白看成8個半個空白的和.可以計算半個空白的面積，用小正方形BEOF減去扇形FOB可求S3，然后乘以8，得到所有空白的面積，陰影的面積等于正方形的面積減去所有空白的面積.

（2）計算2個半個空白面積的和.

分析：利用矩形的面積減去一個半圓的面積可以得到2個半個空白面積的和.

（3）求1個空白的面積.

分析1：利用曲邊形AmOnCB的面積減去半圓的面積，從而得到一個空白的面積S4.由于該曲邊形包含有兩個空白，兩個花瓣，所以它的面積是正方形的一半.

4.覆蓋的方法

分析：用四個半圓去覆蓋這一個正方形，其中陰影部分覆蓋了兩次.所以，4S半圓＝S＋S正.

5.代數法

分析：設每個花瓣的面積為x，每個空白的面積為y，可列方程組.

解法10：如圖11，設每個花瓣的面積為x，每個空白的面積為y.

三、設計說明

1.歸納解題規(guī)律

通過直接求小弓形、間接求空白、割補、覆蓋、設元等手段，歸納出求陰影部分面積的基本方法，即將組合圖形的面積化為基本圖形面積的和或差.通過多題一解，培養(yǎng)學生的觀察，化歸能力；通過一題多解，培養(yǎng)學生思維的廣闊性和深刻性.通過該題諸多方法、規(guī)律的小結、梳理，以一當十，觸類旁通.

2.滲透思想方法

通過適時小結，螺旋上升，使學生的思維在一定程度上趨于有序、條理化，同時也為一些新思路的出現作鋪墊.求半個空白，2個半個空白，1個空白，2個空白的面積，就充分體現了轉化的思想；把2個小弓形、2個半個空白或2個空白放在一起計算，又體現了整體思想；而陰影面積往往涉及復雜的數量關系，所以有時通過設元溝通，及時滲透方程的思想也是有必要的.

3.關注學生的易錯點

不少學生受過去錯誤解題經驗的束縛，或觀察能力不夠，缺乏對圖形的精準把握，不能準確地把復雜圖形轉化為基本圖形的組合，從而帶來思路的錯誤，而方法選擇的不合理容易導致運算量的增加，致使解題出錯或出錯的幾率加大，因此在學生掌握基本方法的基礎上，應引導學生靈活、合理地使用方法.當然，基本運算的過關是前提.

四、關于有效性的思考

1.注重技能目標的落實

數學基本技能是指關于數學的基本運算、作圖（繪圖）、推理、表達、操作和一些技巧等，是學生經歷數學學習后直接可以獲得的結果.幫助學生掌握必要的基本技能是數學教學必須達成的目標.例、習題不僅是教師講課時用以闡明數學概念和數學命題的基礎性材料，也不僅是數學知識轉化為基本技能的附件，更重要的是它還是“解決問題”在數學課堂教學中的重要表現形式.

在例、習題教學中，教師應啟發(fā)、引導學生思考和尋找眼前的問題與自己已有知識體驗之間的關聯，讓學生經歷回想、聯想、猜想的探究過程，經歷觀察、實驗、歸納、概括、演繹推理等思維過程，體驗、琢磨解題的思路、方法、技能的形成過程.教師還要注意在知識與技能形成的關鍵處給學生以必要的引導和點撥，讓學生在實踐活動之后進行理性的總結歸納，課堂上留給學生獨立思考和獨立完成作業(yè)的時間，通過應用知識、訓練形成技能.學生在知識和技能的不斷掌握與遷移的過程中，認知結構逐步得以同化或改組，數學能力也相應得到了發(fā)展和提高.

2.注重解題方法的梳理與歸納

在例、習題教學過程中，應加強對學生學習方法的指導，盡量讓學生積極主動地參與知識、方法的探究過程，通過自己的閱讀、思考、觀察、操作、探索、想象、質疑等豐富多彩的認識過程來獲得知識，感悟數學思想，獲得解題經驗.

對解題方法進行梳理與歸納，就是學生的一個學習反思的過程，通過反思解決問題的可能性和有效性，讓學生在自己的大腦中將知識與技能、過程與方法內化為自己的學習能力，享受情感與態(tài)度上帶來的成功的快樂，就能有效地深化對知識的理解.對學生的發(fā)展而言，學習的價值不只是記住幾個數學結論，解決幾個習題而已，而是讓學生在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同策略的，這些解決問題的策略，滲透著數學的思想方法在里面.當學生能用自己的語言表達對問題的理解，對常見的數學思想方法有一定認識的時候，學生的思維才能真正得到升華.

3.關注數學思想方法的滲透

數學思想方法是數學的“靈魂”.“在解決具體問題中，數學思想往往起著主導作用，尤其是它對產生一個好‘念頭’，一種好‘思路’，一種好‘猜想’提供了方向”.中學數學主要涉及的數學思想有：轉化的思想，化簡的思想，分類討論的思想，數形結合的思想，函數與方程的思想，數學建模思想等.在例、習題講解時，教師不僅要告訴學生有哪些數學思想和方法，它們各自有什么作用，而且更重要的是向學生展現數學思想和方法的產生、發(fā)展和應用的過程.著名數學家波利亞說：“一個專心鉆研教材的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”事實上，數學的很多思想方法都隱藏在課本的例、習題中，在教學中，教師如果能對課本上的例、習題進行必要的挖掘，往往會起到意想不到的效果，有利于學生知識的建構.

4.關注數學思維的養(yǎng)成

解題思維活動中充滿著新舊認知結構的矛盾，已知與未知不斷變化發(fā)展的矛盾，老背景與新情景的矛盾.若沒有正確的思維，解題只能永遠停留在模仿層次上.在教學中，教師應鼓勵學生打開思維的翅膀，通過一題多解、一題多變，培養(yǎng)學生良好的思維習慣.本節(jié)課在處理求陰影部分的面積時，引導學生用五種不同的方法來解決問題，從不同的角度來思考問題，學生會學得有滋有味，思維、能力都得到提升.這樣，學生掌握的將不是一道題的解法，而是一類題的解法.他們收獲的不僅僅是知識，還有興趣和思維.

例、習題教學是學生鞏固知識、發(fā)展能力、掌握思想方法的重要渠道，讓學生在潛移默化的例、習題探索過程中學會發(fā)現問題、提出問題，進而解決問題；領會數學的研究方法，學會數學地思考，從而達到“做一題，通一類，會一片”，體驗“會當凌絕頂，一覽眾山小”的意境，才能游刃有余，以不變應萬變.

這樣，我們的課堂教學才會更有效.

附：反饋練習

1.如圖12，正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫半圓，則圖中陰影部分的面積S=_______.

2.如圖13，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以AB為直徑在△ABC的同側作半圓，求圖中陰影部分的面積.

3.如圖14，已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為12、16，分別以每邊為直徑向形內作半圓，求四個半圓弧所圍成的花瓣形的面積.

4.如圖15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積.

5.如圖16，正方形的邊長為a，分別以兩個對角頂點為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積.

6.如圖17，扇形的圓心角為90°，且半徑為a，分別以OA、OB為直徑在扇形內作半圓，P和Q分別表示兩個陰影部分的面積，那么P和Q的大小關系是____________.