☉湖南省株洲縣第五中學 羅 燦

重視直觀，學會抽象
——以一道三角函數(shù)對稱性習題拓展學習設計為例

☉湖南省株洲縣第五中學 羅 燦

一、問題提出

二、對一道三角函數(shù)對稱性習題的拓展學習設計

1.習題呈現(xiàn)與分析

教材必修4第46頁習題1.4A組第11題：

容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸的方程是什么？

你能用已經(jīng)學過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎？

對余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題.

分析：該題的主要意圖，是引導學生對三角函數(shù)的對稱性有一個完整的認識.教師用書說明“利用三角函數(shù)的圖象和周期性研究其對稱性.”要順利實現(xiàn)該習題討論，理順下列思考：

（2）如何多角度發(fā)現(xiàn)、描述對稱性？譬如，單位圓也可提供“形”的支持；誘導公式提供“數(shù)”的支持；當然，周期性、奇偶性既可提供思考的類別參考，也與對稱性本身存在內(nèi)在的聯(lián)系.

（3）將得到的三角函數(shù)的對稱性進行運用上的遷移.直接的運用是正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的對稱性.

（4）學習形式化的表達對稱性，即用符號語言表述軸對稱和中心對稱.嘗試用對稱的符號語言證明對稱問題、對稱產(chǎn)生周期的推導.

（5）如何保證教學組織的有序、有效？問題串、學生數(shù)學活動、教師示范等有機組合需要精心設計.

2.教學設計

活動1：探討正弦函數(shù)y=sinx圖象的對稱中心.

問題串：

（1）作出正弦函數(shù)y=sinx的圖象，除了原點外，你還能找到其他對稱中心嗎？它們之間有什么聯(lián)系？能統(tǒng)一表示嗎？

設計意圖：借助圖象，觀察正弦曲線對稱中心的不唯一性、幾何特征及代數(shù)表示.

（2）將直角坐標系“抽掉”，只剩下正弦曲線，若將正弦曲線比喻為不斷的從波谷→波峰→波谷……的爬坡下坡過程，你能找到對稱中心的位置嗎？

設計意圖：幫助學生意識到對稱性是“圖”固有的幾何屬性，沒坐標系，有好多“對稱中心”都可能作為原點，坐標系的“加入”改變的只是坐標外在“模樣”.將正弦曲線比喻為不斷的爬坡下坡，那么對稱中心正好處在“半山腰”.

（3）對于正弦曲線“上坡路”的“半山腰點”是對稱中心，你可以從正弦函數(shù)的那條性質(zhì)給出解釋？怎么解釋正弦曲線“下坡路”的“半山腰點”（譬如點（π，0））也是對稱中心？

設計意圖：前者主要是周期性；后者可調(diào)整觀察視角：從右往左看，或者將原正弦曲線上下“翻個身”，則下坡變上坡，問題變?yōu)橐呀鉀Q問題.這里不變的是原圖形中的對稱性.

活動2：探討正弦函數(shù)y=sinx圖象的軸對稱.

（4）觀察正弦曲線，它是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸的方程是什么？

設計意圖：通過觀察直接發(fā)現(xiàn)正弦曲線也是軸對稱圖形.

活動3：探討函數(shù)y=f（x）關于直線x=a（點（a，0））對稱形式化描述.

（6）偶函數(shù)關于直線x=0對稱用符號表示為f（-x）=

設計意圖：是學生經(jīng)歷特殊到一般、具體到抽象、圖象到符號的思維過程對函數(shù)的軸對稱給出形式化定義，即y=f（x）關于直線x=a對稱?f（a-x）=f（a+x）?f（2a-x）=f（x）.

（7）奇函數(shù)關于原點（0，0）對稱用符號表示為f（-x）=-（fx），類似地，對正弦函數(shù)y=sinx關于點（kπ，0）（k∈Z）對稱如何用符號表示？一般的，對函數(shù)y=f（x）關于點（a，0）對稱如何給出形式化描述（定義）.

設計意圖：同問題6，y=f（x）關于點（a，0）對稱?f（a-x）=-f（a+x）?f（2a-x）=-f（x）.

活動4：探討余弦函數(shù)的對稱性.

（8）觀察余弦曲線，說出其對稱中心和對稱軸方程，并用對稱定義驗證.

活動5：探討正切函數(shù)的對稱性.

活動6：探討對稱性產(chǎn)生周期.

（10）觀察正弦函數(shù)y=sinx圖象，相鄰兩條對稱軸的距離、相鄰兩個對稱中心的距離、相鄰一條對稱軸和一個對稱中心的距離，它們與正弦函數(shù)的最小正周期T=2π存在什么關系？

設計意圖：以正弦函數(shù)為模型，從直觀入手，發(fā)現(xiàn)對稱性的三種“組合”產(chǎn)生周期這一事實，為猜想和推廣提供直觀模型支持.

（11）將問題10推廣：對于函數(shù)y=f（x）：2（a-b）；

②若有兩個對稱中心（a，0），（b，0），則周期T=2（ab）；

③若有一條對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0），則周期T=4（a-b）.

設計意圖：揭示函數(shù)對稱性和周期性二者間的內(nèi)在聯(lián)系，進一步熟悉數(shù)學形式化語言的表述，為學會“抽象”積累活動經(jīng)驗.教師可示范其中一個的推導，余下供學生練習.

三、兩點感想

1.重視直觀、學會抽象

“普通高中數(shù)學課程標準（實驗）”有一條課程基本理念是“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”.對此討論的文章比較多，“本質(zhì)”到底是什么，誰說了算？有時是比較模糊的；另一種傾向，過分強調(diào)直觀而停留于直觀層面的教學為數(shù)不少，這實質(zhì)上有悖于課程理念初衷.課標的完整表述是“形式化是數(shù)學的基本特征之一.在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里.”從中可看出，“形式化”是“基本特征”“基本要求”，試問，誰能堪當“基本”？高中生的思維發(fā)展和心理發(fā)展應該是到了較高層次，對適度的形式化學習是能接受的.張奠宙先生在文［1］指出那種“要求高中教學比小學教學多多游戲、進行戲劇扮演的教學方式，恐怕是有悖常理的.”數(shù)學家徐利治將其一生數(shù)學學習、科研經(jīng)驗心得概括為六句話：培養(yǎng)興趣、追求簡易、重視直觀、學會抽象、不怕計算、喜愛文學.筆者很喜歡徐老的“六句箴言”，本文的立意，就取乎徐老的三、四兩句，筆者以為，高中數(shù)學學習，直觀是起點、立足點，但還要學會抽象，通過抽象實現(xiàn)提高，將數(shù)學學習上升到更高層面，這才是用發(fā)展的眼光培養(yǎng)人，也才能適應今后的進一步學習.

2.觀念引領、思想導航

在閱讀文［3］過程中，從楊振寧大師身上筆者強烈感受了對稱思想的魅力和力量.文［3］介紹楊先生在中學時代就對自然界的對稱性產(chǎn)生了很強烈的感情，他的第一篇論文，就是關于物理學中的對稱性問題.在他以后的科學生涯中，最重要的貢獻也是在這個領域做出來的，他所寫的二百余篇論文有三分之二是有關對稱性問題的.1956年與李政道合作發(fā)表《弱相互作用中的宇稱守恒問題》開創(chuàng)了對稱思想發(fā)展的新紀元，楊先生把對稱性在物理學中的核心地位與作用概括為一個基本原理：對稱性支配相互作用原理.大師的理論博大精深，筆者萬難領略皮毛一二，但對其精神感召卻似有所悟：播下一些重要的思想觀念種子，看似若隱無功，埋在心底，未嘗不會待機萌發(fā)？難有大作為，小樂趣也別有風味，下舉一例：

1.張奠宙.“非傳統(tǒng)教學方式”要適合學生的年齡［J］.數(shù)學教學，2011（5）.

2.章建躍.數(shù)學4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

3.高策.走在時代前面的科學家——楊振寧［M］.太原：山西科學技術出版社，1999.

4.羅燦，方厚良.追求知識與思想交融并行的數(shù)學學習［J］.數(shù)學通訊，2013（5）.