陳 晶，金永興，肖英杰，毛奇凰，吳華鋒

（上海海事大學 商船學院，上海 201306）

雨流計數(shù)法誤差詳析方法的提出及實例研究

陳 晶，金永興，肖英杰，毛奇凰，吳華鋒

（上海海事大學 商船學院，上海 201306）

文章依據(jù)頻譜分析以及應變能量原理，對雨流計數(shù)法的系統(tǒng)誤差進行定量分析。并結(jié)合集裝箱船的現(xiàn)場采樣數(shù)據(jù)，提供給業(yè)界一種定量計算雨流計數(shù)法誤差的方法，可在進行結(jié)構(gòu)疲勞計算時，根據(jù)應力曲線的定量特征和工程精度要求，來確定是否適合選用雨流計數(shù)法進行計算。

位錯；雨流計數(shù)法；應變能；載荷頻譜

1 引 言

金屬構(gòu)件的疲勞，源自金屬結(jié)構(gòu)內(nèi)局部范圍反復形變產(chǎn)生的塑性應變。這些結(jié)構(gòu)在使用中所出現(xiàn)的應力歷程十分復雜，主要是由于交變載荷產(chǎn)生的應變能，造成與加劇受力點在微觀結(jié)構(gòu)上的位錯。位錯反復累積，一定程度之后，越發(fā)呈現(xiàn)宏觀裂紋。裂紋繼續(xù)擴展，最終導致結(jié)構(gòu)失效。實測可知，這種結(jié)構(gòu)的應力時間歷程符合隨機寬帶過程，可采用循環(huán)計數(shù)法，統(tǒng)計出全部歷程中各種幅值的應力循環(huán)次數(shù)。在各種計數(shù)法中，雨流計數(shù)法的原理與材料疲勞損傷機理吻合較好，在業(yè)界被視作復雜載荷歷

程中損傷計算的首選方法。雨流計數(shù)法又可稱為塔頂法，最早由英國的Matsuiski和Endo兩位工程師提出，在疲勞壽命計算中運用非常廣泛[1-4]。算法的操作過程，是把“載荷—時間”歷程數(shù)據(jù)記錄轉(zhuǎn)過90°，時間坐標軸豎直向下，數(shù)據(jù)記錄猶如一系列屋頂檐面，應力往復幅值與次數(shù)的統(tǒng)計過程類似于雨水順其而下的畫面，故稱為雨流計數(shù)法。

雨流計數(shù)法的優(yōu)勢在于：該方法對載荷的時間歷程進行計數(shù)的過程反映了材料的記憶特性，具有明確的力學概念，與結(jié)構(gòu)疲勞理論較為契合；同時算法流程簡便，廣泛適用于工程領域的疲勞計算。但該法在精度上存在顯著局限：應力采樣歷程曲線在計數(shù)之前，須做簡化（鋸齒化）預處理。預處理過程將采樣曲線簡化為折線段，舍棄復雜的折曲細節(jié)。如果不做預處理，則無法確保計數(shù)過程正常進行。尤其對于能量譜分布較寬的海浪載荷，簡化處理將丟失掉諸多不應忽視的應變能量，導致某些場合計算誤差顯著。

關于雨流計數(shù)法在精度等方面的局限，文獻[1-5]等有定性闡釋，其中文獻[3]、[5]在定性闡釋后，對其進行了一定程度的改進，但依然無法回避簡化預處理過程中造成的系統(tǒng)誤差。至于簡化預處理過程中造成誤差的信號學原理，學界及工程界目前幾乎沒有進行過系統(tǒng)的定量分析。就此，本文展開兩部分工作：

（1）依據(jù)頻譜分析以及應變能量原理，對雨流計數(shù)法的誤差進行誤差的定量分析[6]；

（2）結(jié)合實體集裝箱船采樣數(shù)據(jù)，得到精確的定量分析結(jié)果以及雨流計數(shù)法的實際工程誤差情況，以此例提供給業(yè)界一種定量的計數(shù)法誤差分析方法，可在進行結(jié)構(gòu)疲勞計算時，根據(jù)應力曲線的定量特征和工程精度要求，來確定是否適合選用雨流計數(shù)法進行計算。

2 雨流計數(shù)法誤差詳析方法的提出

基于傅里葉頻譜分析以及應變能量原理，對不同應力載荷在離散采樣過程中形成的誤差，提出一套理論相對較完備的誤差詳析方法。

實際工程中的各類載荷采樣曲線均為離散時間序列采樣。對于較高精度的采樣序列，可以較為準確地反映載荷曲線的基波波形以及各階諧波。而雨流計數(shù)法將忽略掉任意相鄰兩極值點間的所有中間采樣點。如圖1所示，設X（ k- 1 ）與X（k）是某相鄰兩極值點，兩點間的實際載荷曲線有諸多可能。圖1中左圖為單一拐點、駐點（凸性改變）情況的曲線簇，右圖為無拐點、駐點（凸性不變）情況的曲線簇，另外還有存在多個拐點、駐點（凸性多次改變）的特殊情況。

圖1 采樣歷程中兩極值點間應力變化曲線的各類可能情況（左圖為有拐點、駐點情況，右圖為無拐點、駐點情況）Fig.1 Various possible stress curves between two extreme points in the sampling history(Left:situation with Inflection and Stagnation points,Right:situation with no Inflection and Stagnation points)

而動載荷疲勞理論研究存在兩處關鍵：（1）動載荷的變化范圍與變化中心（動載荷的期望值）；（2）動載荷變化速率的分布情況（以dσ/dt表示）。以上兩個因素對結(jié)構(gòu)體局部位錯嚴重程度都將產(chǎn)生直接影響。鑒于以上考察指標，圖1所示的兩點之間，不同類型的曲線將導致動載荷的期望值以及變化速率dσ/dt的時序分布發(fā)生差異很大，所對應的結(jié)構(gòu)疲勞損耗也各不相同。兩相鄰極值點間隔時間越大，不同類型載荷曲線對結(jié)構(gòu)體影響的差異也越大。但依據(jù)計數(shù)法要求，中間若干非極值點均被忽略掉，換以直線代替，不同的載荷曲線均簡化為同一條直線段，從而得到完全相同的應力集中點疲勞損耗數(shù)值，勢必引起不可忽略的計算誤差。在各種極端曲線情況下，誤差在結(jié)果數(shù)值中的占比將高到無法忽視的程度。

為了便于更加直接、量化地呈現(xiàn)曲線簡化處理后的誤差情況，基于對圖1的分析，下面采取由圖1中兩點之間四種有代表性的曲線形式組成的四組不同的曲線序列為例（如圖1所示），分析計數(shù)法在原理上存在的誤差。為使分析過程簡潔清晰，四組波形有統(tǒng)一的設定：（1）載荷作用點結(jié)構(gòu)類型相同，疲勞損耗過程滿足W型S-N疲勞曲線[8]；（2）載荷范圍相同，均為25-85 N/mm2；（3）載荷波形為嚴格周期函數(shù)，周期T均為3S，采樣時間均為4個完整周期；（4）計算與繪制載荷頻譜時，傅氏變換的時域窗口寬度均為3S，與載荷周期一致，以使傅氏載荷譜無能量泄漏的問題；（5）波形圖中點劃線為交變載荷的期望值，虛線為雨流計數(shù)法的簡化歷程。

四組波形圖如圖2所示。

圖2 四類交變載荷序列Fig.2 Four types of alternating load sequence

（a）簡諧震蕩（正弦）式交變載荷

簡諧震蕩式交變載荷是最常用于應力測試的交變載荷形式，也是最貼近船舶行駛中受海浪施加于船體的交變載荷形式（實際海浪波形可拆解為一系列兩兩正交的簡諧震蕩波）。本文中曲線具體采用表達式 30·sin（ 2πx/3+ ）θ，波形如圖 2（a）所示。

該交變載荷的特點是：載荷的期望值線為載荷數(shù)值分布的幾何中心，交變能量圍繞期望值呈現(xiàn)對稱分布，載荷的交變速率亦遵從正弦交變規(guī)律，即載荷的交變不但存在一定的速率，還存在加速度（且加速度亦隨時間交變），即載荷對受力對象的施加方式在不斷地改變，對受力對象微觀結(jié)構(gòu)的影響是最不容忽視的。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（a）所示。該載荷頻譜圖像定量顯示了簡諧波式交變載荷的應變能密集程度，幾乎全部能量都集中在基頻（1倍頻）處（實際操作中由于數(shù)值計算的誤差，有極少能量散落在其他頻段）。應變能的集中性使同等能量下載荷的交變幅度達到理論最大值（60 N/mm2）。應變能產(chǎn)生的致?lián)p功率經(jīng)過定量計算得到為8 879 kW（參數(shù)k=Aσ2l·ΔT/2ET，其中E為楊氏模量，ΔT為采樣周期，T為波形周期，A為受力面積，σ為交變應力幅值，l為受力體靜載時尺寸）。

圖3 四類交變載荷頻譜圖Fig.3 Four types of alternating load spectrogram

依據(jù)S-N曲線中W型應力集中點受力公式，得到該段載荷序列對該受力點造成的積損程度為千萬分之23.69，即該受力點在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約1 407小時（具體計算公式詳見《船體結(jié)構(gòu)疲勞強度指南》[8]）。

（b）雙邊尖脈沖式交變載荷

此類交變載荷在實際工況中也時有出現(xiàn)。 本文曲線由表達式±60·［4（ x - θ ）/3 ］3組合而成，波形如圖2（b）所示。與簡諧震蕩類似的是，載荷的期望值線為載荷數(shù)值分布的幾何中心，交變能量圍繞期望值呈現(xiàn)對稱分布。但該交變載荷也存在獨特的規(guī)律：載荷數(shù)值在多數(shù)時間相對平穩(wěn)，并按一定頻次在兩個方向交替出現(xiàn)近似的尖脈沖；交變速率dS/dt以及加速度在多數(shù)時間相對較小，同時也按一定頻次出現(xiàn)脈沖式變化；交變載荷在交變范圍上下限附近停留時間很短。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（b）所示。由于該類載荷波形與正弦波形存在差異，在做波形的傅氏正交變換后，可知載荷的能量并非集中在一個頻段，而是明顯地散落到奇數(shù)倍頻段里，能量相對集中的基頻的載荷交變幅值僅為29 N/mm2，應變能經(jīng)過定量計算為2 926 kW，顯著低于簡諧震蕩式載荷。

由于S-N曲線的對數(shù)線性關系，這種影響的差異又會顯著放大，即受力點可承受該類載荷的交變總次數(shù)將遠遠超過上一種形式的兩倍。通過定量計算，得到該段載荷序列對該受力點造成的疲勞積損程度為千萬分之2.75，即該受力點在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約12 121小時。

（c）單邊尖脈沖式交變載荷

單邊尖脈沖式交變載荷是另一種常見的脈沖式載荷。本文中曲線具體由半圓表達式20·（9-（tθ ）2）1/2組合而成，波形如圖2（c）所示。與前兩者顯著不同的是，載荷序列的交變情況呈現(xiàn)非對稱分布，不存在幾何中心，期望值線靠近曲線較平緩的一端，交變能量也隨之呈現(xiàn)非對稱分布。載荷數(shù)值在多數(shù)時間相對平穩(wěn)，并按一定頻次在某個方向出現(xiàn)近似的尖脈沖；交變速率dS/dt以及加速度在多數(shù)時間相對較小，同時也按一定頻次出現(xiàn)脈沖式變化，在載荷交變幅度相同的前提下，交變速率與加速度的變化幅度顯著高于雙邊脈沖；交變載荷在交變范圍極限附近停留時間很短。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（c）所示，此類載荷的能量亦十分分散。能量相對集中的基頻的載荷交變幅度為34 N/mm2，略高于雙邊脈沖形式。應變能的致?lián)p功率經(jīng)計算為2 362 kW，同時該段載荷序列對該受力點造成的疲勞積損程度為千萬分之4.20，即該受力點在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約7 937小時。

（d）鋸齒波式交變載荷

此類交變載荷正是雨流計數(shù)法對實際載荷曲線簡化后的常見形式。本文中曲線具體采用表達式30·（±t- θ ）組合而成，波形如圖2（b）所示。 載荷的交變數(shù)值分布對稱，存在幾何中心，期望值在幾何中心，交變能量圍繞期望值分布對稱。交變速率dS/dt恒定（無交變加速度），交變載荷在交變范圍上下限附近停留時間較短。

該載荷歷程的傅氏載荷譜如圖3（d）所示。此類載荷與簡諧震蕩式的幾何差異較小，能量亦較集中。能量集中的基頻的載荷交變幅度為49 N/mm2。應變能產(chǎn)生的致?lián)p功率經(jīng)過定量計算得到為6 120 kW，同時該段載荷序列對該受力點造成的疲勞積損程度為千萬分之12.71，即該受力點在結(jié)構(gòu)失效前總共可承受此交變載荷約2 623小時。

如表1所示，四種典型的載荷形式，交變范圍與周期均相同，而載荷交變速率、應變能、載荷期望值與載荷譜等情況差異顯著，精確計算得出的單位時間的積損差異亦較大。但是依照雨流計數(shù)法，則將上述四類曲線統(tǒng)一簡化為第四類，并通過計數(shù)得到與簡諧震蕩式載荷相同的積損結(jié)果。如果工況中的載荷采樣接近第二類形式，計算結(jié)果的誤差可能高達數(shù)倍。通過繪制頻譜圖及計算交變載荷的應變能，可得到使用雨流計數(shù)法而造成誤差的具體數(shù)值。下節(jié)中以實際運行的集裝箱船所受應力數(shù)據(jù)為例，探討雨流計數(shù)法的可能存在的實際誤差。

表1 四類交變載荷分析結(jié)果對比Tab.1 Analysis results and contradistinction of four types

圖4 育鋒輪應力載荷采樣點布局Fig.4 The layout of the stress load sampling points of YU FENG

3 實船應力集中點采樣分析

與陸上載運工具有所不同，船體結(jié)構(gòu)承受的應力載荷周期和交變幅值都較大，應力采樣系統(tǒng)有較大余力采入載荷波形的細節(jié)。以上特點使雨流計數(shù)法的精度局限十分凸顯，適宜對其誤差做定量分析。

本節(jié)以上海海事大學校船“育鋒輪”實際航行中所測數(shù)據(jù)為例，以實驗數(shù)據(jù)探討雨流計數(shù)法的誤差。采樣點為“育鋒輪”船舯左舷S6點，如圖4所示。

抽取S6點在某夏季航次中的持續(xù)時長為30.6S、采樣點為36個、采樣周期為0.85S的一段載荷序列，如圖所示。圖中虛線部分即該點在航行中某時段所承受的應力載荷序列，而實線部分為雨流計數(shù)法進行簡化處理后的序列。

圖5 S6點載荷采樣與載荷頻譜圖Fig.5 Sampling curve and spectrogram of load on S6

依照前節(jié)所述的詳析方法，計算得到S6點的積損為千萬分之31.30（傅氏載荷頻譜經(jīng)過相位及屏寬補償）。采用雨流計數(shù)法將序列中的大小循環(huán)提取出來并算出每個循環(huán)單獨對應的疲勞積損（詳見表2），求和得到結(jié)果為千萬分之35.51，誤差值為千萬分之4.21，計算誤差率為+4.21/31.30=+13.45%。由此可見，由于計數(shù)法存在的系統(tǒng)誤差，導致計算結(jié)果的偏差較為顯著。

表2 實測數(shù)據(jù)計算結(jié)果對比Tab.2 Calculated results and contradistinction of real data

4 結(jié) 論

綜上所述，可以得出雨流計數(shù)法計算過程中出現(xiàn)系統(tǒng)誤差的原因主要有以下三點：

（1）相同交變范圍的前提下，對應的應變能可能會有較大差異，不同大小的應變能導致結(jié)構(gòu)體的位錯程度各不相同，但經(jīng)過雨流計數(shù)法的簡化預處理后，應變能均相同，且等于鋸齒波的應變能；

（2）載荷曲線經(jīng)過簡化處理，造成曲線基本形狀在細節(jié)上的信息丟失。在相鄰的兩個極值點之間，曲線的形狀均被簡化為交變速率dσ/dt恒定的直線段，結(jié)構(gòu)體所受到的交變沖擊均簡化為力度恒定而方向交變的沖擊；

（3）曲線在簡化后呈現(xiàn)鋸齒波的形式，而統(tǒng)計交變載荷循環(huán)的積損時，實際是按照簡諧震蕩（正弦波）的情況統(tǒng)計。

由于上述計算過程存在多處理論性錯位，雨流計數(shù)法的系統(tǒng)誤差在多個環(huán)節(jié)相疊加，有些工況下可能相互抵消，但也可能顯著到難以忽略。本文主旨在于提供給業(yè)界一種定量計算雨流計數(shù)法誤差的方法，可在進行結(jié)構(gòu)疲勞計算時，根據(jù)應力曲線的定量特征和工程精度要求，來確定是否適合選用雨流計數(shù)法進行計算。在某個具體工況的實際工程計算中，使用雨流計數(shù)法之前，可先用部分采樣點進行傅氏頻譜分析與交變載荷的能量分析，并用雨流計數(shù)法進行比照實驗，得到計數(shù)法在該工況下的誤差率，當誤差率滿足工程計算要求時，即可方便地采用雨流計數(shù)法。

[1]金 丹,陳 旭.多軸隨機載荷下的疲勞壽命估算方法[J].力學進展,2006,36(1):65-69.

[2]Bannantine J A,Socie D F.Multiracial fatigue life estimation techniques[M].In:Mitchell M,Langraf R,eds.Advances in Fatigue Lifetime Predictive Techniques.ASTM STP 1122.Philadelphia,American Society for Testing and Materials,1991:249-275.

[3]Anthes R J.Modified rainflow counting keeping the load Sequence[J].Int J Fatigue,1997,19:529-535.

[4]Langlais T E,Vogel J H,Chase T R.Multiaxial cycle counting for critical plane methods[J].Int J Fatigue,2003,25:641-647.

[5]田 軍,李 強.改進的雨流法實時計數(shù)模型[J].北京交通大學學報,2009,33(1):29-31.

[6]楊詠漪,廖海黎,李永樂.大跨度橋梁風致抖振疲勞頻域分析[J].空氣動力學學報,2009,27(1):11-16.

[7]李珊珊,黃志博,崔維成.從短期測量數(shù)據(jù)來生成疲勞載荷的一種實用算法的開發(fā)[J].船舶力學,2011,15(3):286-300.Li Shanshan,Huang Zhibo,Cui Weicheng.On implementing a practical algorithm to generate fatigue loading history or spectrum from short time measurement[J].Journal of Ship Mechanics,2011,15(3):286-300.

[8]船體結(jié)構(gòu)疲勞強度指南[M].上海:中國船級社上海規(guī)范研究所,2007:8-29.

A kind of error detailed analysis program proposed for rain-flow counting method and case study

CHEN Jing,JIN Yong-xing,XIAO Ying-jie,MAO Qi-huang,WU Hua-feng
(Merchant Marine Academy,Shanghai Maritime University,Shanghai 201306,China)

Based on the spectral analysis and the strain energy theory,the systematic errors of Rain-flow counting Method were quantitatively analyzed.Combined with sampling data of the real container ship,a quantitative method for calculating the systematic errors of Rain-flow counting Method is put forward to the engineering field,which may decide the selection of Rain-flow counting Method based on the quantitative characteristics of the stress curve and engineering accuracy requirements when calculating structural fatigue life.

Rain-flow Counting Method;strain energy;stress load spectrum;Fourier series

U661.4

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.05.009

1007-7294（2014）05-0550-07

2013-08-16

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項（10CX05005A）；國家自然科學基金資助項目（51279099）；上海市科學技術委員會基金資助項目（12ZR1412500）；上海市教委科研創(chuàng)新基金資助重點項目(13ZZ124)；上海市教育委員會和上海市教育發(fā)展基金會“曙光計劃”基金資助項目（12SG40）；交通運輸部應用基礎研究項目（2013329810300）；上海海事大學優(yōu)秀博士學位論文培育項目（2013bxlp004）

陳 晶（1982-），男，上海海事大學博士研究生，E-mail：chenjing_taixing@163.com；

金永興（1959-），男，上海海事大學商船學院教授，博士生導師。