張 軍

（江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)教育局教研室，江蘇 鎮(zhèn)江 212001）

1 問題提出

伽利略對變速運動問題研究時，堅信自然界的規(guī)律是簡潔明了的.他從這個信念出發(fā)，猜想落體一定是一種最簡單的變速運動，而最簡單的變速運動，它的速度應(yīng)該是均勻變化的.但是，速度的變化怎樣才算“均勻”呢？他考慮了兩種可能；一種是速度的變化對時間來說是均勻的，即v與t成正比，另一種是速度的變化對位移來說是均勻的，即v與x成正比.后來發(fā)現(xiàn)，如果v與x成正比，將會推導(dǎo)出十分復(fù)雜的結(jié)論.所以，伽利略開始以實驗來檢驗v與t成正比的猜想是否是真實的…….

以上文字是人教版高中物理必修1第2章第6節(jié)——“伽利略對自由落體運動的研究”中一些內(nèi)容.伽利略指出：如果v與x成正比，將會推導(dǎo)出十分復(fù)雜的結(jié)論.那么，十分復(fù)雜的結(jié)論究竟是什么呢？

2 理論推導(dǎo)

設(shè)某一物體做速度的變化對位移是均勻的運動.則（1）物體的位移如何隨時間變化？（2）物體的速度如何隨時間變化？（3）此物體受力的特點如何？

解析：（1）由題意可得，v與x成正比，寫成等式

積分可得

將t＝0時，x＝x0代入得c2＝x0，所以物體的位移隨時間變化的表達式為

（2）對（1）式進行求導(dǎo)

其中v0＝kx0是t＝0時物體的速度，物體的速度隨時間變化的表達式為

（3）由v＝kx得

即物體所受合外力與物體的速度成正比.

由（2）式得物體所受力隨時間變化的表達式為

由（4）式可知t＝0時物體所受力F0＝kmv0.因為（3）式可知物體所受合外力與物體的速度成正比，如果t＝0時物體的初速度為v0＝0，則F0＝0，導(dǎo)致加速度a0＝0，物體就不能運動，所以t＝0時，初速度和初位移都不能為0，這時加一合外力與物體的速度成正比，這樣物體就做“速度的變化對位移是均勻的”運動了.

3 實際應(yīng)用

（1）物體所受合外力的大小與物體的速度成正比，方向和速度方向一致.

日常生活中很難見到物體所受合外力與物體的速度成正比的動力，現(xiàn)舉一例.

例1.一汽車額定功率為100kW，質(zhì)量為5000kg，設(shè)汽車的功率與速度之間的關(guān)系為P＝62.5v2，阻力不計.求：

①汽車保持這樣功率與速度關(guān)系運動所能達到的速度；

② 上述過程中汽車所做的功；

③ 汽車保持這樣功率與速度關(guān)系運動的距離.

解析：① 將P＝100kW代入P＝62.5v2，得維持P＝62.5v2所達到的最大速度v＝40m/s.

② 忽略汽車啟動的速度，即取v0＝0，則由v0＝kx0得，啟動的位移x0＝0.汽車所做的功

③ 由P＝62.5v2，P＝Fv得F＝62.5v，即物體所受合外力與物體的速度成正比.

再由牛頓第二定律得

當(dāng)然，應(yīng)用理論推導(dǎo)中得到的公式（1）或（2），還可以求出上述過程所經(jīng)過的時間.

（2）物體所受力的大小與物體的速度成正比，方向和速度方向相反.

物體所受力的大小與物體的速度成正比的阻力，這類例子較多，如① 一小球在以一初速度在水平光滑的平面上運動，設(shè)所受阻力滿足F＝－kv；② 一小球以一初速度豎直進入某油液中，設(shè)小球的密度與油液密度相等，所受阻力滿足F＝－kv；③ 一金屬棒垂直水平導(dǎo)軌放置，以一初速度做切割磁感線運動，所受的安培力也滿足F＝－kv.

下面以金屬棒受安培力為例舉一例說明.

圖1

例2.如圖1所示，水平光滑的平行金屬導(dǎo)軌，左端接有電阻R，勻強磁場B豎直向下分布在導(dǎo)軌所在的空間內(nèi)，質(zhì)量一定的金屬棒PQ垂直導(dǎo)軌放置.今使棒以一定的初速度v0向右運動，當(dāng)其通過位置a、b時，速度分別為va、vb，到位置c時棒剛好靜止.設(shè)導(dǎo)軌與棒的電阻均不計，a、b與b、c的間距相等，則金屬棒在由a→b和b→c的兩個過程中

（A）棒都做勻減速運動，且加速度相等.

（B）通過棒截面的電荷量相等.

（C）回路中產(chǎn)生的電能Eab＝3Ebc.

（D）棒通過a、b兩位置時va＞2vb.

解析：對于（A）、（B）兩選項，由于學(xué)生平時練的較多，容易判斷出（A）錯、（B）對，這里就不做解答.

對于（C）、（D）兩選項，就要具體算一下了.對棒進行受力分析，由牛頓第二定律得

即v與x成正比.同理可得

由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律得，由a→b和b→c的兩個過程中，回路中產(chǎn)生的電能Eab＝3Ebc.可得選項（C）正確、（D）錯誤.

拓展分析：

即速度隨時間做指數(shù)衰減.圖像如圖2所示.由

解得

即位移隨時間變化關(guān)系，圖像如圖3所示.

圖2

圖3

由（4）式可求出最大位移