摘要：構(gòu)建直角三角形是中考壓軸題?？嫉目键c(diǎn)，很多學(xué)生對此束手無策.本文通過一個(gè)淺顯的例子，探索構(gòu)建直角三角形的萬能模型——兩切線夾一圓模型，通過建立該模型，可以很容易地解答只要求符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的題目.對于壓軸題來說，可以利用該模型直觀地給出分類解題的思路，且不會(huì)出現(xiàn)漏解或者多解的情況.
　　關(guān)鍵詞： 中考壓軸題兩切線夾一圓模型直角三角形
　　
　　歷年來的中考數(shù)學(xué)壓軸題中都有涉及構(gòu)建直角三角形的問題，且有逐年增加的趨勢.以近幾年的中考題為例，很多省市的壓軸題涉及了構(gòu)建直角三角形，比如2012廣東廣州，2012浙江杭州，2011遼寧沈陽，2012重慶等十多個(gè)省市的壓軸題.解這類題需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，先從形上感受如何得到直角三角形，再從數(shù)的方面計(jì)算出符合要求的答案.
　　一、以形快速體驗(yàn)
　　對于構(gòu)建直角三角形的題目，一些學(xué)生不知道如何入手，最常見的問題是產(chǎn)生漏解.我們先看下面這個(gè)看似與壓軸題無關(guān)但是很重要的題目.這道題是根據(jù)2010年南通市中考題中的選擇題改編的.
　　例1:（改編題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（-2，-2），R（5，5），點(diǎn)Q在y軸上，△PQR是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有（ ）
　　A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)
　　如何快速簡單地將所有符合要求的點(diǎn)都找出來呢?這就要講究技巧.市場上出版的書籍和其他任何書籍都很少涉及這方面的技巧.題目是已知兩點(diǎn)（假設(shè)為點(diǎn)A，點(diǎn)B），找直角三角形的第三個(gè)點(diǎn).很多同學(xué)知道過一點(diǎn)（點(diǎn)A或點(diǎn)B）作線段AB的垂線，只有極少數(shù)同學(xué)會(huì)以AB為直徑作圓.大部分同學(xué)都找不出所有符合要求的點(diǎn).
　　這里探討迅速找出所有符合要求的點(diǎn)的方法.首先，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作線段AB的垂線.然后以AB為直徑作圓.這樣除線段AB之外的所有點(diǎn)都符合要求（如圖1）.
　　有了上面那個(gè)圖形，我們就得到一個(gè)萬能的和已知兩點(diǎn)構(gòu)建直角三角形的基本圖形.圖1中除線段AB外，其他任何一點(diǎn)都與點(diǎn)A和點(diǎn)B構(gòu)成直角三角形，并且圖1外的其他任何一點(diǎn)和點(diǎn)A點(diǎn)B都不構(gòu)成等腰三角形，我們把這個(gè)圖形叫做“兩切線夾一圓模型”，當(dāng)點(diǎn)A點(diǎn)B是定點(diǎn)的時(shí)候，答案顯而易見.這個(gè)模型可以在幾何畫板里制成自定義工具.
　　再回到剛才的例1，將“兩切線夾一圓模型”套進(jìn)去，可立即得出答案，如圖2.
　　從圖2中可以看出，在y軸上共有4個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)P、點(diǎn)R構(gòu)成直角三角形，所以答案為B.
　　接下來讓我們看看中考壓軸題真題，體會(huì)“兩切線夾一圓模型”的“威力”.
　　例2：（2012湖南邵陽）如圖3所示，直線y=-■x+b與x軸相交于點(diǎn)A（4，0），與y軸相交于點(diǎn)B，將△AOB沿著y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C．
　?。?）求點(diǎn)C的坐標(biāo).
　?。?）設(shè)點(diǎn)P為線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合，連接PB，以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線PM交AB于點(diǎn)M，使∠BPM=∠BAC，
　?、偾笞C：△PBC∽△MPA.
　?、谑欠翊嬖邳c(diǎn)P使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　圖3圖4
　　分析:第一個(gè)問題是送分題，直接可以看出答案.第二個(gè)問題的第一小問也不難，先證明∠PMA=∠BPC，再利用兩角對應(yīng)相等證明兩個(gè)三角形相似即可.第二小問就可以用“兩切線夾一圓模型”了.在幾何畫板中以點(diǎn)P點(diǎn)M構(gòu)建“兩切線夾一圓模型”，移動(dòng)點(diǎn)P，使“兩切線夾一圓模型”經(jīng)過點(diǎn)B，可以發(fā)現(xiàn)有兩種情況出現(xiàn)，△PBM是直角三角形，如圖4、圖5.這給我們進(jìn)行分類討論提供了直觀的思路（其中有個(gè)答案可以直接看出來），防止出現(xiàn)漏解.
　　規(guī)范解答:（1）解：∵A（4，0），且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴C（﹣4，0）．
　　（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
　　∴∠PMA=∠BPC．
　　又∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，
　　∴∠BCP=∠MAP．
　　∴△PBC∽△MPA．
　?、诖嬖冢?br/>　　解：∵直線y=-■x+b與x軸相交于點(diǎn)A（4，0），
　　∴把A（4，0）代入y=-■x+b，得b=3，∴y=-■x+3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
　　當(dāng)∠PBM=90°時(shí)，則有△BPO∽△ABO
　　∴■=■，即■=■，∴PO=■，即P■坐標(biāo)為（-■，0）．
　　當(dāng)∠PMB=90°時(shí)，則∠PMA=90°（如圖）．
　　∴∠PAM+∠MPA=90°．
　　∵∠BPM=∠BAC，
　　∴∠BPM+∠APM=90°．
　　∴BP⊥AC．
　　∵過點(diǎn)B只有一條直線與AC垂直，
　　∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，即：符合條件的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（0，0）．
　　∴使△PBM為直角三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)，P■（-■，0），P■（0，0）．
　　二、數(shù)形結(jié)合不漏解
　　有些題目有多個(gè)答案，學(xué)生解題時(shí)容易出現(xiàn)漏解的情況.我們先以“兩切線夾一圓模型”了解答案的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)情況分類討論，這樣就不會(huì)出現(xiàn)漏解的情況.
　　例3：（2011年沈陽市）如圖6，已知拋物線y＝x■+bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D．
　　（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
　　（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
　　（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．
　　①當(dāng)線段PQ=■AB時(shí)，求tan∠CED的值；
　?、诋?dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
　　溫馨提示：考生可以根據(jù)第三問的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答.
　　分析:第一個(gè)問題比較簡單，將拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式.可以先用對稱軸公式求出b的值，再將點(diǎn)C代入c的值即可求得答案.第二個(gè)問題也不難，先在拋物線中令y=0，解出方程即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法可以求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式.第三個(gè)問題是考查學(xué)生思維能力的問題，關(guān)鍵是求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和使用“兩切線夾一圓模型”及數(shù)形結(jié)合思想.如圖7.
　　規(guī)范解答：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)■+n，將點(diǎn)C（0，-3）代入，得n=-4.
　　∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-1)■-4=x■-2x-3.
　?。?）由y=x■-2x-3=(x+1)(x-3)，知A（-1，0），B（3，0）．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，代入點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，－3），得3k+