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排列組合與二項式定理的知識在每年的高考中都有考查，通常以客觀題的形式出現(xiàn)，常與兩個計數(shù)原理、概率統(tǒng)計、多項式展開等交匯命題，是各地區(qū)高考命題的熱點. 排列組合知識只針對理科同學.

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分類加法與分步乘法計數(shù)原理，是解決排列組合、二項式定理問題的核心思想. 解決一個具體問題，可以有若干種方法，也可以拆分成若干個步驟，圍繞解決問題的方案進行“計數(shù)”，是此類問題的解題方向. 一般地，“有序”要“排列”，“無序”用“組合”，復雜問題“先選后排‘套模型’”；二項式定理問題“局部用‘通項’，整體可‘賦值’”，也可回歸計數(shù)原理本質(zhì).

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■ 現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張. 從中任取3張，要求這3張卡片不能同色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（ ）

A. 232 B. 252

C. 472 D. 484

破解思路 “無序”用“組合”，按紅色卡片的張數(shù)分類討論，逐一計數(shù).

經(jīng)典答案 若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C■■×C■■×C■■=64種，若2色相同，則有C■■C■■C■■C■■=144種；若紅色卡片有1張，則剩余2張若不同色，有C■■×C■■×C■■×C■■=192種，若同色則有C■■C■■C■■=72種，所以共有64+144+192+72=472種. 故選C.

■ 圖1中有一個信號源和五個接收器. 接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號. 若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（ ）

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圖1

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

破解思路 本題主要考查組合、概率知識，破解的關(guān)鍵是審清題意——“五個接收器能同時接收到信號”，即需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中，解題中要用到平均分組的計數(shù)求法.

經(jīng)典答案 由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有■=15種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有■=15種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯(lián)在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有A■■=120種. 所求的概率是P=■=■，故選D.

■ 若將函數(shù)f（x）=x5表示為f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3=_______.

破解思路 從恒等式對應項系數(shù)相等出發(fā)，建立等式即可；也可對恒等式兩邊求導“降冪”，賦值解決.

經(jīng)典答案 由等式兩邊對應項系數(shù)相等，可得a5=1，C■■a5+a4=0，C■■a5+C■■a4+a3=0？圯a3=10.

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1. 三位老師和三位學生站成一排，要求任何兩位學生都不相鄰，則不同的排法總數(shù)為（ ）

A. 720 B. 144

C. 36 D. 12

2. 用0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)中，相鄰兩位數(shù)字的奇偶性都不同的有（ ）

A. 24個 B. 36個

C. 60個 D. 72個

3. 若已知二項式2x-■■的展開式中的常數(shù)項為15，則實數(shù)a的值為_______.