■

向量因兼具數(shù)與形的雙重特征，因此它既是幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)譯工具，也是一種運(yùn)算工具. 它在解析幾何中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在將幾何關(guān)系以其獨(dú)有的“語言”進(jìn)行表述；另外，因向量具有坐標(biāo)形式及其自身的運(yùn)算法則（如加法、減法、數(shù)量積），使得向量在解決有關(guān)長度、角度等問題時(shí)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，歷年高考試題中關(guān)于這一點(diǎn)均有體現(xiàn).

■

對于經(jīng)向量“包裝”的表述形式，解決辦法是去除其包裝，還原問題的幾何本質(zhì)；對于涉及垂直、共線、角平分線、距離等問題時(shí)可考慮用向量工具來幫忙解決.

■

■ 如圖1，已知拋物線C的對稱軸為x軸，且過點(diǎn)A（4，4），F(xiàn)為其焦點(diǎn)，E為點(diǎn)A在x軸上的射影.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求∠FAE的角平分線所在的直線l的方程.

■

圖1

破解思路 （1）由已知設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出參數(shù)p，代回即可.

（2）本題有多種解法，但利用向量工具可優(yōu)化求解的過程.

經(jīng)典答案 （1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p>0），代入A（4，4），得2p=4，所以求得拋物線C的方程為y2=4x.

（2）（方法一：向量夾角公式）設(shè)G（x0，0），■=（-3，-4），■=（0，-4），■=（x0-4，-4），則由cos∠FAG=cos∠EAG，得■=■，代入解得x0=■，故∠FAE的角平分線所在直線的方程為3x-y-8=0.

（方法二：直線方向向量）如圖2，設(shè)射線AF的方向向量為e1=■=-■，-■，射線AE的方向向量為e2=■=（0，-1），所以射線AG的方向向量為e=e1+e2=-■，-■. 所以直線AG的斜率為k=■=3，故∠FAE的角平分線所在直線的方程為3x-y-8=0.

■

圖2

■ 如圖3，已知點(diǎn)F（a，0）（a>0），動點(diǎn)M，P分別在x，y軸上運(yùn)動，且■·■=0，動點(diǎn)N滿足■+■=0.

（1）求動點(diǎn)N的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)F的直線l（不垂直于x軸）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，K是F關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求證：點(diǎn)K在以AB為直徑的圓外.

■

圖3

破解思路 （1）將向量的表述形式“翻譯”成幾何關(guān)系（如題中的■·■=0，■+■=0分別表示垂直、共線幾何關(guān)系）.

（2）將幾何關(guān)系用向量“語言”進(jìn)行轉(zhuǎn)述，利用向量的“特長”優(yōu)化代數(shù)的解題進(jìn)程（如本題“點(diǎn)K在以AB為直徑的圓外”可表述為“■·■>0”），其中將點(diǎn)及向量進(jìn)行“坐標(biāo)化”是解題中必不可少的兩個(gè)步驟.

經(jīng)典答案 （1）因?yàn)椤?■=0，所以點(diǎn)P為MN的中點(diǎn). 設(shè)動點(diǎn)N（x，y），則由題意得M（-x，0），P0，■. 由■·■=0得-x，-■·a，-■=0，整理得y2=4ax（a>0），即為所求動點(diǎn)N的軌跡C的方程.

（2）設(shè)直線l：x=my+a（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），則■=（x1+a，y1），■=（x2+a，y2），■·■=（1+m2）y1y2+2am（y1+y2）+4a2 ①.

聯(lián)立x=my+a，y2=4ax消去x得y2-4amy-4a2=0，所以y1+y2=4am，y1y2=-4a2，代入①得■·■=4a2m2>0. 所以點(diǎn)K在以AB為直徑的圓外.

■

1. 設(shè)直線x=2與雙曲線C：■-y2=1的漸近線相交于點(diǎn)E1，E2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，任取雙曲線C上的點(diǎn)P，若■=a■+b■（a，b∈R），則（ ）

A. 0

C. a2+b2≥1D. a2+b2≥■

2. 已知橢圓■+■=1和點(diǎn)P（4，1），過點(diǎn)P作直線與橢圓交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2）兩點(diǎn)，在線段AB上取一點(diǎn)Q，使■=-■，求Q點(diǎn)的軌跡方程.