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折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一，主要考查空間幾何體中線線、線面、面面的位置關(guān)系，空間角、空間距離的計(jì)算，空間幾何體的面積與體積計(jì)算.在高考中一般以解答題的形式出現(xiàn)，有一定難度.

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解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較. 對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計(jì)算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

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■ 如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°. 點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O. 沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

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圖1

（1）求證：BD⊥平面POA.

（2）當(dāng)PB取得最小值時，請解答以下問題：

（i）求四棱錐P-BDEF的體積；

（ii）若點(diǎn)Q滿足■=λ■（λ>0），試探究：直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于■，并說明理由.

破解思路 （1）折疊問題要注意翻折前后位置關(guān)系的變化，同時還要找出翻折前后不變的位置關(guān)系作為解題基礎(chǔ). 此題中翻折前CO⊥EF，翻折后變成了PO⊥EF，從而依據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理“兩平面垂直，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線垂直于另一個平面”，得到PO⊥平面ABFED，自然就有PO⊥BD，翻折前后都有BD⊥AO. 問題很快得到了解決.

（2）“當(dāng)PB取得最小值時”就是要建立PB的函數(shù)關(guān)系式確定點(diǎn)O的位置，問題中不難發(fā)現(xiàn)OA，OF，OP三直線兩兩垂直，因此建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量從而避免作輔助線的麻煩是不錯的選擇.

經(jīng)典答案 （1）證明：因?yàn)榱庑蜛BCD的對角線互相垂直，所以BD⊥AC，所以BD⊥AO.

因?yàn)镋F⊥AC，所以PO⊥EF.？搖

因?yàn)槠矫鍼EF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO？奐平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.？搖

因?yàn)锽D？奐平面ABFED，所以PO⊥BD.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

因?yàn)锳O∩PO=O，所以BD⊥平面POA.

（2）如圖2，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

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圖2

（i）設(shè)AO∩BD=H. 因?yàn)椤螪AB=60°，所以△BDC為等邊三角形，故BD=4，HB=2，HC=2■.

又設(shè)PO=x，則OH=2■-x，OA=4■-x，其中0

所以O(shè)（0，0，0），P（0，0，x），B（2■-x，2，0），故■=■-■=（2■-x，2，-x），所以■=■=■，當(dāng)x=■時，PBmin=■. 此時PO=■，OH=■.

由（1）知，PO⊥平面BFED，所以V四棱錐P-BFED=■·S■·PO=■·■×42-■×2■×■=3.

（ii）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0，c），由（i）知，OP=■，則可得A（3■，0，0），B（■，2，0），D（■，-2，0），P（0，0，■）.

所以■=（a-3■，0，c），■=（-a，0，■-c），因?yàn)椤?λ■，所以a-3■=-λa，c=■λ-λc？圯a=■，c=■.所以Q■，0，■，所以■=■，0，■.

設(shè)平面PBD的法向量為n=（x，y，z），則n·■=0，n·■=0. 因?yàn)椤?（■，2，-■），■=（0，-4，0），所以■x+2y-■z=0，-4y=0.取x=1，解得y=0，z=1，所以n=（1，0，1）.

設(shè)直線OQ與平面PBD所成角為θ，則sinθ=cos〈■，n〉=■=■=■=■■=■■.

又因?yàn)棣?gt;0，所以sinθ>■. 因?yàn)棣取?，■，所以θ>■.

因此直線OQ與平面E所成的角大于■，即結(jié)論成立.

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如圖3，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E為AB上一點(diǎn)，且3AE=3DC=AB=3■，DE=3，將△AED沿DE折起到△A1ED的位置，使得平面A1ED與平面DEBC所成的二面角為θ.

（1）求證：DE⊥A1B；

（2）當(dāng)θ∈■，■時，求平面A1DC與平面A1EB所成二面角的值的取值范圍.

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圖3