二輪復(fù)習(xí)既是知識的鞏固，更是方法提煉的關(guān)鍵時期，立體幾何的解題方法的選用是很重要的. 有的同學(xué)懶得用向量的方法，而又有的學(xué)生完全依賴于向量的方法，這都是不可取的！我們常把“立幾”中的“向量法”和“幾何法”比作餐具中的“勺子”和“筷子”，兩者都要會用才不至于有用勺子去吃面條和用筷子去吃豆子的笨拙. 前面的第二、三點(diǎn)已經(jīng)講了“筷子”的用法，下面我們再講講“勺子”的用法.

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縱觀近幾年，特別是2012年各地的高考數(shù)學(xué)試題，直接考查空間向量的試題很難見到，但每份試卷中必有一個立體幾何大題，在解答立體幾何大題時有兩種方法（空間向量方法、立體幾何傳統(tǒng)方法）可供選擇，其中絕大部分試題選擇使用空間向量的方法比較恰當(dāng). 空間向量的引入，有效地提高了解題的可操作性，從而提高了學(xué)習(xí)的效率.空間向量將形的觀察問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算問題，“少了推理，多了計算”.

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使用空間向量對立體幾何問題進(jìn)行計算和證明，關(guān)鍵是幾何問題向量化的轉(zhuǎn)化過程. 從建立空間直角坐標(biāo)系，到確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)、具體向量的坐標(biāo)，再到向量的有關(guān)運(yùn)算，一直到得出結(jié)論，構(gòu)成了一個非常嚴(yán)密的解答（證明）過程. 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用技巧列舉如下：

（1）線線平行：若■∥■，則AB∥CD.

（2）線面平行：設(shè)n是平面α的法向量，若■⊥n，AB？埭α，則AB∥α.

（3）線線垂直：若■⊥■，則AB⊥CD.

（4）線面垂直：設(shè)n是平面α的法向量，若■∥n，則AB⊥α.

（5）面面垂直：設(shè)n1是平面α的法向量，n2是平面β的法向量，若n1⊥n2，則α⊥β.

（6）線線所成角：設(shè)直線AB與直線CD所成角的大小為θ，則cosθ=cos〈■，■〉.

（7）線面所成角：設(shè)直線AP與平面α所成角的大小為θ，若n是平面α的法向量，則sinθ=cos〈■，n〉.

（8）面面所成角：設(shè)平面α與平面β所成角的大小為θ，若n1，n2分別是平面α與平面β的法向量，則cosθ= ±cos〈n1，n2〉（正負(fù)取值視實(shí)際情況而定）.

（9）點(diǎn)面距離：設(shè)n是平面α的法向量，則點(diǎn)P到平面α的距離d=■.

注：在高考中，對空間向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求空間角與空間距離，而對空間平行與垂直的判定更多的還是用傳統(tǒng)方法來解決.

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■ 如圖1，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合.

（1）當(dāng)CF=1時，求證：EF⊥A1C；

（2）設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tanθ的最小值.

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圖1

破解思路 對于動點(diǎn)問題，我們往往借助空間向量工具，通過引入變量，將形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，繼而運(yùn)用函數(shù)思想，解決最值問題.

經(jīng)典答案 （1）建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A（0，0，0），B（2■，2，0），C（0，4，0），A1（0，0，4），E（■，3，0），F(xiàn)（0，4，1），于是■1=（0，-4，4），■=（-■，1，1），則■1·■=0-4+4=0，故EF⊥A1C.

（2）設(shè)CF=λ（0<λ≤4），平面AEF的一個法向量為m=（x，y，z），則由（1）得F（0，4，λ），■=（■，3，0），■=（0，4，λ），于是由m⊥■，m⊥■可得m·■=0，m·■=0，即■x+3y=0，4y+λz=0，取m=（■λ，-λ，4）. 又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個法向量為n=（1，0，0），于是由θ為銳角可得cosθ=■=■，sinθ=■，所以tanθ=■=■. 由0<λ≤4得■≥■，即tanθ≥■=■，故當(dāng)λ=4，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時，tanθ取得最小值■.

■ 如圖3，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F(xiàn)為線段DE上的動點(diǎn).

（1）若F為DE的中點(diǎn)，求證：BE∥平面ACF；

（2）求點(diǎn)A到平面BDE的距離；

（3）若二面角E-BC-F與二面角F-BC-D的大小相等，求DF的長.

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圖3

破解思路 立體幾何距離問題可分為點(diǎn)面距離、線線距離、線面距離和面面距離，而線線距離、線面距離和面面距離往往可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，故點(diǎn)面距離是立體幾何距離問題的核心與重點(diǎn)，求解策略有三種途徑.

法1（定義法）：作點(diǎn)A在平面BDE上的射影H，則AH的長度就是點(diǎn)A到平面BDE的距離.

法2（等體積法）：點(diǎn)A到平面BDE的距離d=■.

法3（向量法）：設(shè)n是平面BDE的法向量，則點(diǎn)A到平面BDE的距離d=■.

經(jīng)典答案 （1）連結(jié)AC，與BD交于O，連結(jié)OF. 因?yàn)镕為DE的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥BE，OF？奐平面ACF，BE？埭平面ACF，所以BE∥平面ACF.

（2）法1：由題意易知，AD=3■，BD=6，因?yàn)锳E⊥平面CDE且CD？奐平面CDE，所以AE⊥CD.

又AB∥CD，所以AB⊥AE，所以BE=■=3■.

在△BDE中，BE2+DE2=6=BD2，所以DE⊥BE，而AE⊥DE且DE∩BE=E，所以DE⊥平面ABE，所以平面ABE⊥平面BDE，所以過點(diǎn)A向平面BDE引垂線，垂足H必在BE上，所以在Rt△ABE中，AH=■=■=■.

法2：設(shè)A到平面BDE的距離為d，則d=■=■=■.

法3：因?yàn)锳E⊥平面CDE，CD？奐平面CDE，所以AE⊥CD，因?yàn)镃D⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE？奐平面DAE，所以CD⊥平面DAE. 如圖4建立空間直角坐標(biāo)系，則E（3，0，0），F(xiàn)（a，0，0），C（0，3■，0），A（3，0，3），D（0，0，0）.

由■=■得B（3，3■，3），則■=（3，3■，3），■=（3，0，0），■=（0，0，-3）. 設(shè)平面BDE的法向量為n=（x，y，z），則3x+3■y+3z=0，3x=0，得x=0. 令y=1，則z=-■，所以n=（0，1，-■），所以點(diǎn)A到平面BDE的距離為d=■=■.

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圖4

（3）法1：如圖5，過E作EH⊥AD于H，過H作MH⊥BC于M，連結(jié)ME. 同理，過F作FG⊥AD于G，過G作NG⊥BC于N，連結(jié)NF.

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圖5

因?yàn)锳E⊥平面CDE，CD？奐平面CDE，所以AE⊥CD. 因?yàn)镃D⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE？奐平面DAE，所以CD⊥平面DAE. 又EH？奐平面DAE，所以CD⊥EH. CD∩AD=D，CD，AD？奐平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD. 所以HE⊥BC，所以BC⊥平面MHE，所以∠HME為二面角E-BC-D的平面角. 同理，∠GNF為二面角F-BC-D的平面角.

因?yàn)镸H∥AB，所以MH=3■，又HE=■，所以tan∠HME=■. 而∠HME=2∠GNF，所以tan∠GNF=■-2，所以■=■-2，GF=3■-6■. 又GF∥HE，所以■=■，所以DF=6■-12.

法2：設(shè)n1⊥平面ABCD，且n1=（x，y，z），由n1·■=0，n1·■=0？圯y=0，x+z=0？圯n1=（1，0，-1）.

設(shè)n2⊥平面BCF，且n2=（x，y，z），由n2·■=0，n2·■=0？圯x+z=0，ax-3■y=0？圯n2=（3■，a，-3■）.

設(shè)n3⊥平面BCE，且n3=（x，y，z），由n3·■=0，n3·■=0？圯x+z=0，x-■y=0？圯n3=（■，1，-■）. 設(shè)二面角E-BC-F的大小為α，二面角D-BC-F的大小為β，α=β，cos〈n1，n2〉=cos〈n3，n2〉，■=■？圯6=■？圯a=-12±6■. 因?yàn)?

注：若空間直角坐標(biāo)系按如圖6所示建立，運(yùn)算量將會大大下降，請大家不妨去試一下.

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圖6

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？搖？搖1. 如圖7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=■AD=1，CD=■.

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圖7

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）設(shè)PM=tMC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°，試確定t的值.

2. 如圖8，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2■，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=■.

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圖8

（1）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；

（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；

（3）設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN⊥平面A1B1C1，求線段BM的長.