1 三角函數(shù)與解三角形

（1）因為cosB=■，所以sinB=■. 又sin2B+cos2■=2sinB·cosB+cos2■=2sinBcosB+■（1-cosB）=2×■×■+■=■.

（2）由已知得cosB=■=■. 又b=■， 所以a2+c2-3=■ac.因為a2+c2=■ac+3≥2ac，所以ac≤6，當且僅當a=c=■時，ac取得最大值. 此時S△ABC=■acsinB≤■×6×■=■，所以△ABC的面積的最大值為■.

2 三角函數(shù)的圖象與性質

1. 由已知可得，A=2，T=■=2■-■，所以ω=■.

2. 函數(shù)f（x）=acos（ax+θ）（a>0）圖象上兩相鄰的最低點與最高點之間的距離為■≥2■，所以最小值是2■.

3. （1）f（x）=■cos（2ωx+2φ）+1+■，由題意，■+1+■=3且■=2，所以A=2，T=4. 所以■=4，ω=■. 所以f（x）=cos■x+2φ+2. 令x=0，得cos2φ+2=2. 又0<φ<■，所以2φ=■. 所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2-sin■.？搖

（2）令2kπ+■≤■x≤2kπ+■（k∈Z），得4k+1≤x≤4k+3（k∈Z），所以f（x）的增區(qū)間是[4k+1，4k+3]（k∈Z）.

3 三角函數(shù)與平面向量

1. 因為p∥q，所以（2-2sinA）·（1+sinA）-（cosA+sinA）（sinA-cosA）=0，化簡得sin2A=■.

因為△ABC為銳角三角形，所以sinA=■，所以A=60°.

2. （1）由已知，a·b=cos■xcos■-sin■xsin■=cos2x，a+b2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos2x，所以a+b=2cosx，x∈0，■.

（2）f（x）=a·b-4a+b=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9. 又x∈0，■，所以cosx∈[0，1]，故f（x）∈[-7，-1].

4 三角函數(shù)與函數(shù)

（1）f ′（x）=12x2-6xsinθ，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=■. 函數(shù)f（x）存在極值，sinθ≠0，由θ∈[0，π]，只需考慮sinθ>0的情況. 當x變化時， f ′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

■

因此，函數(shù)f（x）在x=■處取得極小值f■，且f■=-■sin3θ+■. 要使f■>0，必有-■sin3θ+■>0，可得0

（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與■，+∞內都是增函數(shù). 由題設，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內是增函數(shù)，則a須滿足不等式組2a-1

5 三角函數(shù)與數(shù)列

（1）當θ=■時，sin2θ=■，cos2θ=0，所以an+1-■an=0，即■=■. 故數(shù)列{an}是首項為a1=1，公比為■的等比數(shù)列. 數(shù)列{an}的通項公式為an=■.

（2）由（1）得，an=■，所以當n∈N？鄢，n≥2時，有bn=sin■+cos■=sin■·■+cos■·■=sin■+cos■=■sin■+■，且b1=1也滿足上式. 所以當n∈N？鄢時，bn=■sin■+■. 因為n∈N？鄢，所以0<■≤■，■<■+■≤■，所以1≤■sin■+■≤■，即1≤bn≤■.

6 三角函數(shù)與導數(shù)

-■π，■

7 三角函數(shù)與應用

（1）設∠BAE=α，∠DAF=β，CE=x，CF=y（0

又因為tan（α+β）=■=■=■=■=1，又0<α+β<■，所以α+β=■，即∠EAF=■.

（2）由（1）知，S△AEF=■AE·AF·sin∠EAF=■AE·AF=■·■·■=■·■=■=■=■=■. 因為0<α<■，所以2α+■=■，即α=■時，△AEF的面積最小，最小面積為■-1. 因為tan■=■，所以tan■=■-1，故此時BE=DF=■-1，所以，當BE=DF=■-1時，△AEF的面積最小.

8 三角函數(shù)與其他

（1）sinα+sinα+■+sinα+■=0；cosα+cosα+■+cosα+■=0.

（2）sinα+sinα+■+sinα+■+sinα+■+…+sinα+■=0；cosα+cosα+■+cosα+■+cosα+■+…+cosα+■=0.

綜合測試

1. 因為x=sin■=cos■-■=cos■，且k∈Z，所以cos■=cos■，所以A=B. 故選D.

2. 若cos■≥■，則2kπ-■≤■≤2kπ+■，k∈Z，解得4k-■≤x≤4k+■，k∈Z. 又x∈[0，1]，所以x∈0，■，故事件“cos■≥■”發(fā)生的概率p=■. 故選D.

3. 根據偶函數(shù)的性質以及由定積分可求得陰影部分的面積為S=2■cosxdx+■（-cosx）dx=2sinx■■-sinx■■=21-■-1=4-■，所以圍成的封閉圖形的面積是4-■. 故選C.

4. 由tan■x-■=0，得■x-■=kπ（k∈Z），x=4k+2（k∈Z），結合圖形可知A（2，0）. 由tan■x-■=1，得■x-■=■+kπ（k∈Z），所以x=3+4k（k∈Z），結合圖形可知B（3，1）. 所以（■+■）·■=（5，1）·（1，1）=6.

5. 由命題p：不等式lg[x（1-x）+1]>0，可知lg[x（1-x）+1]>lg1. 所以x（1-x）+1>1，所以0sinB，所以在三角形中有∠A>∠B；反之，在三角形中若∠A>∠B，則必有sinA>sinB，即cos2■+■

6. 根據題意，若sinα=■，則cos2α=1-2sin2α=■，則f（4cos2α）=f■. f（x）是以4為周期的函數(shù)，則f■=f-■，又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f-■=-f■=-1，即f（4cos2α）=f■=f-■=-f■=-1. 故答案為-1.

7. 當α+β+γ=90°時，tanαtanβ+tanγtanβ+tanγtanα=1.

8. 因為2011÷6=335…1，所以根據程序框圖轉化得sin■+sin■+sinπ+…+sin■=■+■+0-■-■+0+■+■+0-■-■+0+…+■+■+0-■-■+0+■=■.

9. （1）假設a∥b，則2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，所以2cos2x+sinxcosx+sin2x=0，2·■+■sin2x+■=0，即sin2x+cos2x= -3，所以■sin2x+■=-3，與■sin2x+■≤■矛盾，故向量a與向量b不可能平行.

（2）因為f（x）=a·b=（cosx+sinx）·（cosx-sinx）+sinx·2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=■■·cos2x+■sin2x=■sin2x+■. 因為-■≤x≤■，所以-■≤2x+■≤■，所以當2x+■=■，即x=■時， f（x）有最大值■. 當2x+■=-■，即x=-■時， f（x）有最小值-1.

10. （1）因為m=（sinA，sinC），n=（cosC，cosA），所以m·n=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB. 又已知m·n=sin2B，所以sin2B=sinB，所以2sinBcosB=sinB，顯然sinB≠0，所以cosB=■，所以B=■.

（2）因為■·（■-■）=■·■=c·acosB=■ac=8，所以ac=16. 因為三邊a，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b，所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4b2-48，所以3b2=48，b=4.

11. （1）第一步：求OA，在△AOB中，∠ABO=π-β，∠AOB=β-φ，AB=a，由正弦定理得OA=■=■；第二步：求OE，在Rt△EOA中，∠EAO=θ，∠EOA=90°，則OE=OAtanθ=■.

（2）由圖象易得a=■，β=■，φ=■，又因為θ=■，所以得OE=■=■. 過點E作EF⊥直線AB于F，連結OF. 因為AB⊥OE，又OE∩EF=E，所以AB⊥平面EOF，所以AB⊥OF. 在△AOB中，∠OAB=∠AOB=■，則OB=AB=a=■，在Rt△BFO中，∠OBF=■，則OF=OBsin■=■×■=■. 又在Rt△EOF中，OE=■，所以EF=■=■=■.

12. （1）將x=0，y=■代入函數(shù)y=2cos（ωx+θ）得cosθ=■，因為0≤θ≤■，所以θ=■. 又因為y′= -2ωsin（ωx+θ），y′x=0=-2，θ=■，所以ω=2，因此y=2cos2x+■.

（2）因為點A■，0，且Q（x0，y0）是PA的中點，y0=■，所以點P的坐標為2x0-■，■. 又因為點P在y=2cos2x+■的圖象上，所以cos4x0-■=■.

因為■≤x0≤π，所以■≤4x0-■≤■，從而得4x0-■=■或4x0-■=■，即x0=■或x0=■. ■