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三角函數(shù)應(yīng)用題既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能，因而備受命題者的青睞，常常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.

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解三角函數(shù)應(yīng)用問題有下列幾個基本步驟：第一步，閱讀理解，審清題意；第二步，搜集、整理數(shù)據(jù)，通常是引入角作為參變量，建立數(shù)學(xué)模型；第三步，利用所學(xué)三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答，求出結(jié)果；第四步，將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案.

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■ 如圖1，某市擬在長為8千米的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的圖象，且圖象的最高點為S（3，2■）；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°.

（1）求A，ω的值和M，P兩點間的距離；

（2）應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？

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圖1

破解思路 （1）由圖即可得到A及周期，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，將M的橫坐標(biāo)代入求出M的坐標(biāo)，利用兩點距離公式求出MP.（2）思路一：利用三角形的正弦定理求出NP， MN，求出折線段賽道MNP的長，化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值；思路二：利用余弦定理求出MN，NP的數(shù)量關(guān)系式，然后運用基本不等式求出最大值.

經(jīng)典答案 （1）依題意，有A=2■，■=3，又T=■，所以ω=■. 所以y=2■sin■x，當(dāng)x=4時，y=2■sin■=3，所以M（4，3）. 又因為P（8，0），所以MP=■=5.

（2）法1：由已知，在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，設(shè)∠PMN=θ，則0°<θ<60°，由正弦定理得■=■=■，所以NP=■sinθ，MN=■sin（60°-θ），故NP+MN=■sinθ+■sin（60°-θ）=■■sinθ+■cosθ=■sin（θ+60°）. 因為0°<θ<60°，所以當(dāng)θ=30°時，折線段賽道MNP最長. 亦即，將∠PMN設(shè)計為30°時，折線段賽道MNP最長.

法2：由已知，在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MN2+NP2-2MN·NPcos∠MNP=MP2，即MN2+NP2+MN·NP=25，故（MN+NP）2-25=MN·NP≤■■，從而■（MN+NP）2≤25，即MN+NP≤■，當(dāng)且僅當(dāng)MN=NP時，折線段賽道MNP最長.

■ 某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖2所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已經(jīng)測得一組α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據(jù)此算出H的值；

（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度. 若電視塔的實際高度為125 m，試問d為多少時，α-β最大.

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圖2

破解思路 解決本題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系. 第（1）問是利用直角三角形的三角函數(shù)及線段關(guān)系A(chǔ)D-BD=AB，轉(zhuǎn)化為已知角和h，H的等式，然后求解. 第（2）問關(guān)鍵是利用兩角差的正切公式建立tan（α-β）關(guān)于d的函數(shù)模型，再利用平均值定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求最值，最后得出d的值.

經(jīng)典答案 （1）■=tanβ？圯AD=■，同理：AB=■，BD=■. 由AD-AB=DB得■-■=■，解得H=■=■=124. 因此，算出的電視塔的高度H是124 m.

（2）由題設(shè)可知d=AB，得tanα=■，tanβ=■=■=■，所以tan（α-β）=■=■=■=■. 又d+■≥2■（當(dāng)且僅當(dāng)d=■=■=55■時，取等號），故當(dāng)d=55■時，tan（α-β）最大. 因為0<β<α<■，則0<α-β<■，所以當(dāng)d=55■時，α-β最大. 故所求的d是55■ m.

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如圖3，開發(fā)商欲對邊長為1 km的正方形ABCD地段進(jìn)行市場開發(fā)，擬在該地段的一角建設(shè)一個景觀，需要建一條道路EF（點E，F(xiàn)分別在BC，CD上），根據(jù)規(guī)劃要求△ECF的周長為2 km.

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圖3

（1）設(shè)∠BAE=α，∠DAF=β，試求α+β的大小；

（2）欲使△AEF的面積最小，試確定點E，F(xiàn)的位置.？搖