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三角函數(shù)具有比較完備的函數(shù)性質(zhì)，針對(duì)這一特點(diǎn)每年都有利用導(dǎo)數(shù)解決三角函數(shù)問(wèn)題的高考試題，這是今后考查三角函數(shù)的一個(gè)重要方向，也是高考的重點(diǎn). 一般地，這類(lèi)題目常以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上.

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三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，解決此類(lèi)問(wèn)題的要點(diǎn)是理解求導(dǎo)的幾何意義并熟記三角函數(shù)的求導(dǎo)公式，依照導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的策略來(lái)處理三角函數(shù)問(wèn)題. 要注意把握好導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：①f ′（x）>0能推出f（x）為增函數(shù)，但反之不一定；②當(dāng)f ′（x）≠0時(shí)，f ′（x）>0是f（x）為增函數(shù)的充分必要條件；③f ′（x）≥0是f（x）為增函數(shù)的必要不充分條件. 在實(shí)際應(yīng)用中遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理.

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■ 設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

破解思路 對(duì)于第（1）問(wèn)，討論單調(diào)性的關(guān)鍵是看導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=a-sinx正負(fù)號(hào)變化的臨界位置，借助三角函數(shù)y=sinx的有界性，分類(lèi)討論a的取值范圍，求解單調(diào)區(qū)間即可. 對(duì)于第（2）問(wèn)，不等式ax+cosx≤1+sinx在x∈[0，π]恒成立的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為不等式cosx-1≤sinx-ax在x∈[0，π]恒成立的問(wèn)題. 一般的解法是：若x=0，則0≤0，不等式成立；若x≠0，則不等式化為a≤■，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=■在區(qū)間（0，π]的最值問(wèn)題. 這里介紹一種特殊值法：可先取特殊情況x=π，得到a的取值范圍是a≤■，然后構(gòu)造與不等式cosx-1≤sinx-ax所對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）=sinx-■x，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

經(jīng)典答案 （1）f ′（x）=a-sinx.

①當(dāng)a≥1時(shí)， f ′（x）≥0，且僅當(dāng)a=1，x=■時(shí)， f ′（x）=0，此時(shí)f（x）在[0，π]上是增函數(shù)；

②當(dāng)a≤0時(shí)， f ′（x）≤0，且僅當(dāng)a=0，x=0或x=π時(shí)， f ′（x）=0，此時(shí)f（x）在[0，π]上是減函數(shù)；

③當(dāng)00， f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，sinx>a， f ′（x）<0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（x2，π]時(shí)，sinx0， f（x）是增函數(shù).

（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，所以a≤■. 令g（x）=sinx-■x0≤x≤■，則g′（x）=cosx-■. 當(dāng)x∈0，arccos■時(shí)，g′（x）>0，當(dāng)x∈arccos■，■時(shí)，g′（x）<0. 又g（0）=g■=0，所以g（x）≥0，即■x≤sinx0≤x≤■. 當(dāng)a≤■時(shí)，有f（x）≤■x+cosx.

①當(dāng)0≤x≤■時(shí)，■x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②當(dāng)■≤x≤π時(shí)， f（x）≤■x+cosx=1+■x-■-sinx-■≤1+sinx.

綜上，a的取值范圍是-∞，■.

■ 函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0）的導(dǎo)函數(shù)y=f ′（x）的部分圖象如圖1所示，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn).

（1）若已知φ=■，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，■，則ω=_______；

（2）若在曲線段■與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為_(kāi)________.

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圖1

破解思路 本題的導(dǎo)數(shù)只是一個(gè)載體，求導(dǎo)之后獲得一個(gè)新函數(shù)f ′（x）=ωcos（ωx+φ），已知條件都是圍繞這個(gè)新函數(shù)給出的，于是利用點(diǎn)P在圖象上可以求解第（1）問(wèn). 第（2）問(wèn)是測(cè)度為面積的幾何概型，根據(jù)定義，分別算出三角形的面積及曲邊形的面積，代入公式求解即可.

經(jīng)典答案 （1）由已知，y=f ′（x）=ωcos（ωx+φ），當(dāng)φ=■，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，■時(shí)，ωcos■=■，所以ω=3.

（2）由圖知AC=■=■=■，S△ABC=■AC·ω=■. 設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為a，b，曲線段■與x軸所圍成的區(qū)域的面積為S，則S=∫■■ f ′（x）dx=f（x）■■？搖=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2，由幾何概型知該點(diǎn)在？搖△ABC內(nèi)的概率為P=■=■=■.

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函數(shù)y=sin■+cos■在（-2π，2π）內(nèi)的遞增區(qū)間是_______.