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三角函數(shù)的值域及其周期性有它的獨特之處，針對這一特點每年都設置有不同的高考試題，常見的考查形式是直接考查，在2012年的高考試題中則以數(shù)列為背景考查了這兩個性質，難度比較大.

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一般地，解答三角函數(shù)與數(shù)列交匯的試題的思路是根據(jù)三角函數(shù)的周期性確定數(shù)列的特點，進而利用數(shù)列的相關知識求解.

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■ 數(shù)列{an}的通項公式an=ncos■+1，前n項和為Sn，則S2012=_____.

破解思路 本題的設問啟發(fā)考生，這個數(shù)列必定是一個特殊的數(shù)列，于是要集中精力發(fā)現(xiàn)這個特殊性，為此必須列出一定數(shù)量的項，通過觀察發(fā)現(xiàn)其特點. 根據(jù)通項公式計算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根據(jù)三角函數(shù)的周期性可知該數(shù)列中奇數(shù)項都等于1，偶數(shù)項a2n=2n×（-1）n+1. 進一步求和發(fā)現(xiàn)a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根據(jù)通項公式的特點，可以判斷這個特性可以推廣，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 進而求出S2012.

經典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

■ 設an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）

A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

破解思路 根據(jù)正弦函數(shù)值的特點，可知當00. 當25■，所以■·sin■>■·sin■，即an-k+an+k>0，這樣的數(shù)成對出現(xiàn)，所以當250，當500. 即S1，S2，…，S100全都是正數(shù).

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圖1

經典答案 對于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都為正數(shù). 當26≤k≤49時，令■=α，則■=kα，其終邊兩兩關于x軸對稱，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■·sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此時0<50-k0，又0<（50-k）α≤24α<π，所以sin（50-k）α>0，從而當k=26，27，…，49時，Sk都是正數(shù)，S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 對于k從51到100的情況同上，可知Sk都是正數(shù). 綜上，答案選D.

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已知數(shù)列{an}（n∈N？鄢）滿足：a1=1，an+1-sin2θ·an=cos2θ·cos2nθ，其中θ∈0，■.

（1）當θ=■時，求{an}的通項公式；

（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{bn}中，bn=sin■+cos■（n∈N？鄢，n≥2），且b1=1，求證：對于？坌n∈N？鄢，1≤bn≤■恒成立.