潘亞麗

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北，235000

近年來,三角樣條和三角多項(xiàng)式在理論和實(shí)際應(yīng)用中受到廣泛的關(guān)注，文獻(xiàn)[1]在三角多項(xiàng)式空間Cm=Span{1,cost,cos2t,…,cosmt}給出了一個(gè)三角多項(xiàng)式基。文獻(xiàn)[2]將多項(xiàng)式與三角多項(xiàng)式有機(jī)結(jié)合起來,得出具有參數(shù)α的曲線,作者稱為C-曲線。文獻(xiàn)[3]提出在空間W=Span{1,sint,cost,cos2t}構(gòu)造具有與二次B樣條相類似的三角基函數(shù),且保持曲率連續(xù)；文獻(xiàn)[4]中提出針對(duì)與二次代數(shù)樣條相類的一類曲線的擴(kuò)展，擴(kuò)展后的曲線可通過參數(shù)來進(jìn)行曲線的局部調(diào)整，且四次調(diào)配函數(shù)可達(dá)G2連續(xù)，以后隨著調(diào)配函數(shù)次數(shù)的升高，連續(xù)性也逐漸提高。相關(guān)的工作參看文獻(xiàn)[6]～[8]。本文提出基于三點(diǎn)分段的一類三角B樣條曲線的擴(kuò)展，構(gòu)造出帶局部參數(shù)λi的二次和三次調(diào)配函數(shù)，且當(dāng)λi=0時(shí)退化為文[5]中的一次和二次基函數(shù)。本文所采用的方法為連續(xù)性要求較高的曲線設(shè)計(jì)提供了一種有效的方法。

1 曲線的生成

定義1對(duì)t∈[0,π/2]，λi∈R，稱關(guān)于t的三角多項(xiàng)式：

(1)

為帶參數(shù)λi的二次調(diào)配函數(shù)，其中-1≤λi≤1。

定義2對(duì)t∈[0,π/2],λi∈R,稱關(guān)于t的三角多項(xiàng)式：

(2)

為帶參數(shù)λi的三次調(diào)配函數(shù)，其中-2≤λi≤1。

定理1對(duì)調(diào)配函數(shù)(1)、(2)式有如下結(jié)論成立：

直接由(1)和(2)的調(diào)配函數(shù)以及三角函數(shù)的性質(zhì)可得定理的結(jié)論。同時(shí)，當(dāng)λi=0時(shí)，本文中的(1)和(2)式就變成文[5]中的一次和二次的情況，所以它們可以看成文獻(xiàn)[5]中的調(diào)配函數(shù)的擴(kuò)展。

定義3設(shè)Pi(i=0,1,…,n)為R2或R3中的一組控制點(diǎn)(n≥2)，對(duì)每三個(gè)順序控制點(diǎn)Pi-1,Pi,Pi+1構(gòu)造一參數(shù)曲線段：

(3)

將所有曲線段Ri,m(λi,t)(i=0,1,…,n)組合在一起，得到曲線：

(4)

2 曲線的性質(zhì)

定理2(a)λi∈(-1,1)，曲線Ri,2(λi,t)(i=1,2,…,n-1)是G1連續(xù)的；

(b)當(dāng)所有的λi相同時(shí)，曲線是G1連續(xù)的；

(c)當(dāng)λi=1時(shí)，曲線達(dá)到G2連續(xù)。

證明：由(1)和(4)式直接計(jì)算可得：

當(dāng)λi∈(-1,1)時(shí)

(5)

(6)

(7)

從而結(jié)論(b)與(c)成立。

定理3(a)λi∈(-2,1)，曲線Ri,3(λi,t)(i=1,2,…,n-1)達(dá)到G3連續(xù)；

(b)λi=1,曲線Ri,3(λi,t)(i=1,2,…,n-1)達(dá)到G4連續(xù)。

證明：由(2)和(3)式直接計(jì)算可得：

當(dāng)λi∈(-2,1)(i=1,2,…,n-1)時(shí)

(i=1,2,…,n-3)

(8)

(9)

成立，所以曲線是G2連續(xù)的。令：

(10)

則等式：

(11)

成立，所以曲線是G3連續(xù)的。

當(dāng)λi=1(i=1,2,…,n-2)時(shí)，可計(jì)算曲線的四階導(dǎo)數(shù)值：

由上述計(jì)算可知，當(dāng)λi=1(i=1,2,…,n-1)時(shí)，β1=1,β2=-4,β3=24，若令β4=-248，則等式:

(12)

恒成立，所以當(dāng)λi=1(I=1,2,…,n)時(shí)是G4連續(xù)的，證畢。

3 數(shù)值例子

本節(jié)給出兩個(gè)數(shù)值例子，分別使用本文的二次和三次調(diào)配函數(shù)構(gòu)造相應(yīng)的曲線。這兩個(gè)曲線的形狀都可以進(jìn)行局部的調(diào)整。

例1假設(shè)有控制頂點(diǎn)V0=(0,0),V1=(10,20),V2=(30,15),V3=(40,30),V4=(60,15),使用二次調(diào)配函數(shù)所構(gòu)造的曲線，如圖1所示，其中，λi=-0.5,0,0.5(i=1,2,3)，該曲線是G1連續(xù)的。

例2假設(shè)有控制頂點(diǎn)V0=(0,0),V1=(10,20),V2=(30,15),V3=(40,30),V4=(60,15),使用三次調(diào)配函數(shù)所構(gòu)造的曲線，如圖2所示，其中，λi=-2,0,0.5(i=1,2,3)，該曲線G3是連續(xù)的。

圖1 二次調(diào)配函數(shù) 圖2 三次調(diào)配函數(shù)

參考文獻(xiàn)：

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