王宗毅

(惠州學院數(shù)學系，廣東惠州516007)

1 引言與預備知識

很多數(shù)學模型都可以用時滯微分方程來研究，其中一個重要的方面即是方程解的存在性與穩(wěn)定性研究，以及在適當脈沖條件下解的指數(shù)穩(wěn)定性研究，后者在控制理論、種群動力學、物理和化學等領域應用廣泛［1－5］. GIMENS 和FEDERSON［6］研究了如下方程

的解的穩(wěn)定性. 本文推廣了文獻［6］的結果，研究如下一類二階時滯微分方程

其中0≤τ1＜τ2＜…＜τN，fC(R2，R)，存在常數(shù)F使對任意(x，y)R2成立，f(0，0)=0，ai為［t0，+∞)→R 上的右連續(xù)有界函數(shù)，pi+qi=1，0≤pi，qi≤1 (i=1，…，N).

令［a，b］?R，K?(a，b)且K 是有限的.C(［a，b］，R)是由［a，b］→R 的連續(xù)函數(shù)組成的Banach 空間且定義上確界為范數(shù)，即定義C1(［a，b］，R)為［a，b］→R 的一階連續(xù)可導的函數(shù)組成的空間，賦予范數(shù):

易知C1(［a，b］，R)為Banach 空間. 令(［a，b］，R)為［a，b］K 上一階連續(xù)可導函數(shù)組成的空間，對任意(［a，b］，R)，x，x'在t =c (?cK)處均存在單側(cè)極限且為右連續(xù).

其中Ⅰk，JkC(R，R)且Ⅰk(0)=Jk(0)=0. 易知x≡0 為方程(1)的平凡解. 設有以下假設:

(H1)φ(t)和φ'(t)至多除了有限多個點外在［t0－τN，t0］上連續(xù)，在這有限點處的單側(cè)極限φ'(t－)，φ'(t+)存在且φ 和φ'均是右連續(xù)的;

(H2)‖·‖取函數(shù)在［tk，tk+1］的上確界范數(shù);

(H3)存在常數(shù)ck和dk，使得對任意xR 成立.

定義1［7］稱函數(shù)x(t):R→R 為方程(1)和條件(2)過點(t0，φ，y0)的一個解，若x(t)滿足:

(i)x(t)，x'(t)在［t0，+ ∞){tk:kN}上連續(xù)，且在{tk，kN}上存在單側(cè)極限且右連續(xù);

定義2［7］方程(1)被稱為在條件(2)下脈沖指數(shù)穩(wěn)定是指，若存在α ＞0 和一串單調(diào)遞增序列{tk}kN，使得對任意ε ＞0，存在δ ＞0，解x(t;t0;y0)滿足則

引理1［8］(Schaefer 不動點定理)設S 為一線性賦范空間，F(xiàn):S→S 為列緊集. 定義:H(F)={xS:x=μF(x)，μ(0，1)}，則以下結論之一成立:

(i)集合H(F)為無界集;

(ii)F 在S 上有不動點.

2 主要結果

定理1 設條件(H1)～(H3)成立，則方程(1)和條件(2)存在定義在［t0－τN，+∞)上的一個解.

易見其為Banach 空間. 定義算子N0:(［t0－τN，t1］，R)→(［t0－τN，t1］，R)，

下面分步證明N0在［t0－τN，t1］上存在不動點. 如下性質(zhì)成立:

(1)N0是連續(xù)的. 令R)，則在(［t0－τN，t1］，R)中xn收斂到x(n →∞)意味著即，xn→x，x'n→x'在區(qū)間［t0，t1］上為一致收斂，則

其中M=max{‖xn(s)‖pi，nN}，M'=max{‖x(s)‖qi，nN}，易見Ⅰ1，Ⅰ2趨于0 當xn→x. 由f 連續(xù)性和Lebesgue 控制收斂定理可知Ⅰ3趨向于0，即

(2)N0把有界集映到有界集.對任意給定的p≥0，xBp:={y(［t0－τN，t1］，R);‖y‖≤P}，有

(3)N0在(［t0－τN，t1］，R)中把有界集映到等度連續(xù)集.令l1，l2［t0，t1］且l1＜l2，對每個x，有

上式趨向于0 當l2→l1. 同理可證若l1＜l2≤0 或l1≤0≤l2等度連續(xù)性亦成立.

由性質(zhì)(1)～(3)知N0(Bp)是有界和等度連續(xù)映射，根據(jù)Ascoli－Arzela 定理知N0(Bp)是列緊的.

(4)集合Λ(N0)={x(［t0－τN，t1］，R):x =λ N0(x)，0 ＜λ ＜1}是有界的.

根據(jù)性質(zhì)(2)和0 ＜λ ＜1，得

于是

故Λ(N0)是有界的.

由性質(zhì)(1)～(4)和Schaefer 不動點定理，可知N0有一個不動點y1(t). 則

為方程(1)和條件(2)在區(qū)間［t0－τN，t1)上的一個解.

考慮問題

定義算子N1(［t1-τ，t2］，R)為

其中K1= φ ∪{t1}.我們需證N1在區(qū)間［t1-τN，t2］上存在不動點. 由定義知N1可表示為

由性質(zhì)(1)～(4)的證明過程易知N1存在一個不動點，設為y2(t). 則

為問題(3)在區(qū)間［t0－τN，t2)上的一個解.

同理，對t=tk(kN)，考慮問題

記Kk=φ∪{t1，t2，…，tk}，定義算子Nk(［tk－τN，tk+1］，R)→(［tk－τN，tk+1］，R)為

由性質(zhì)(1)～(4)，Nk存在一個不動點，設為yk(t)，且有

為方程(1)和條件(2)在區(qū)間［t0－τN，tk+1)上的一個解. 重復以上，可得

為方程(1)和條件(2)在區(qū)間［t0－τN，+∞)上的一個解. 證畢.

注1 若設置脈沖條件:τN≤tk+1－tk≤l，則條件(H2)可用ANl2≤1 替換，定理結論仍成立.

引理2［9］(Young 不等式)設a，b≥0，0 ＜λ ＜1，則aλb1－λ≤λ a+(1－λ)b 成立.

定理2 設條件(H1)～(H3)均成立，f(x，y)y≥0 (x，yR). 若有

證明 設式(5)成立，則存在α ＞0 和l≥τ 使得

對任給單調(diào)遞增數(shù)列{tk}kN→+∞，τN≤tk－tk－1≤l，令:Ⅰk(u)= Jk(u)= dku (kN)，其中dk=exp［－(1 +(A +F)N)(tk+1－tk)］. 顯然dk≥0，pk≥(A+F)τ. 取

(1)0 ＜pi≤1. 令t［t0，t1)，定義Liapunov 函數(shù)V(t)為

顯然V(t)≥x2(t)+x'2(t)，且V(t)滿足如下結論:

(i)V(t)≤［1 +(A +F)τ］［‖xt‖2+x'2(t)］，其中

證明如下:

由

及(i)可知

則有

則

根據(jù)d1、p1的定義及V(t)性質(zhì)，有

則

同理可證當k=1，2，…，

即

(2)pi=0. 定義Lyapunov 函數(shù)V(t)為

類似情形(1)的證明過程可證之. 證畢.

下面給出2個例子:

例1 考察方程

初始條件為:x(t)=φ(t)，－2≤t≤0，x'(0)=y0.

易知方程(7)的特征方程為

用Matlab 軟件知方程(8)有一帶正實部根，因而知方程(7)的零解是不穩(wěn)定的.

令A=0.000 21，l =τ =τ1+τ2=3 和α =1/12，則

由定理2 知方程(7)的解在［0，+∞)可指數(shù)穩(wěn)定.

例2 考察方程

初始條件為:x(t)=φ(t)，－1≤t≤0，x'(0)=y0.

令A=0.002 38，l=τ =1，α=1/4，則

取例1 中脈沖條件，pk= exp(－2.002 38)，dk=則定理2 結論對式(9)仍成立.

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