丁時(shí)進(jìn)

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631)

1888年，人類發(fā)現(xiàn)了液晶. 液晶技術(shù)現(xiàn)在廣泛應(yīng)用于溫度感測(cè)器、光記憶設(shè)備、液晶電視、電腦以及各種顯示設(shè)備.液晶是固體和液體之間的中間狀態(tài).在不同的溫度下，液晶材料可以呈現(xiàn)為液體、液晶和固體狀態(tài).在液晶狀態(tài)，材料像流體一樣流動(dòng)但其分子保持著晶體分子的有向結(jié)構(gòu)特性. 根據(jù)分子方向向量場(chǎng)的不同特性，液晶材料分為向列型(Nematic)液晶、膽甾型(Cholesteric)液晶、近晶型(Smectic)液晶等［1］.

液晶中觀察到的缺陷(defects)、相變現(xiàn)象、分子分布規(guī)律(單軸或者雙軸)以及它們的動(dòng)力學(xué)規(guī)律是液晶工業(yè)技術(shù)中最受重視的問題，因?yàn)樗鼈冎苯雨P(guān)系到液晶設(shè)備的制造［1］.描述這些現(xiàn)象最有力的工具就是適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型. 上世紀(jì)50年代以來，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家先后建立了各種數(shù)學(xué)模型. 經(jīng)典的液晶模型是Oseen-Frank 模型和Ericksen 模型［2-3］.但是它們有著這樣或那樣的缺陷.Oseen-Frank 模型只能刻畫點(diǎn)態(tài)缺陷，Ericksen 模型只能刻畫分子的單軸分布［4］.針對(duì)這些問題，Landau-de Gennes 從統(tǒng)計(jì)物理角度出發(fā)，針對(duì)向列型液晶提出了能全面描述液晶物理現(xiàn)象的Q-tensor 模型，稱為L(zhǎng)andau-de Gennes 理論［1］.該理論的提出是P. G. de Gennes 獲得1991年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的重要因素.針對(duì)實(shí)際之中關(guān)注的問題，從數(shù)學(xué)上來看就是關(guān)心解的奇性、相變的數(shù)學(xué)機(jī)理以及動(dòng)力學(xué)方程組解的整體存在性、正則性以及奇性的動(dòng)力學(xué).然而，一般情形下這些泛函不具有強(qiáng)制性和凸性，對(duì)應(yīng)的偏微分方程不是橢圓型或拋物型的，而且具有強(qiáng)非線性性和強(qiáng)耦合性，這給問題的研究帶來極大困難和挑戰(zhàn).

1 液晶的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型

向列型液晶材料的分子分布分為單軸和雙軸兩種.

(1)單軸向列型液晶. 液晶材料的物理狀態(tài)取決于分子的運(yùn)動(dòng).在晶體狀態(tài)，分子之間很強(qiáng)的作用力阻礙了分子的運(yùn)動(dòng)，迫使分子處于正規(guī)排列狀態(tài)，呈現(xiàn)出晶狀結(jié)構(gòu).隨著液晶材料被加熱，分子獲得動(dòng)能開始運(yùn)動(dòng)，破壞了材料原有晶狀結(jié)構(gòu)，使得材料處于流動(dòng)狀態(tài).向列型液晶通常由被拉長(zhǎng)了的棒狀分子構(gòu)成，因此還要考慮這種分子的方向變化.從統(tǒng)計(jì)平均角度來看，處于液晶狀態(tài)的向列型液晶材料的每一個(gè)分子團(tuán)中的棒狀分子的排列會(huì)趨同于一個(gè)方向.這個(gè)方向稱為光學(xué)對(duì)稱軸，記為d(x)，其中x 是分子團(tuán)的質(zhì)量中心.這樣的向列型液晶稱為單軸的.如果繼續(xù)加熱使得材料完全成為流體，分子方向就處于隨機(jī)狀態(tài)，稱為各向同性流體.

反過來降低溫度，材料將從流體(liquid)狀態(tài)通過相變進(jìn)入液晶(liquid crystal)狀態(tài)，繼續(xù)產(chǎn)生相變進(jìn)入近晶狀態(tài)(Smectic)，最后進(jìn)入晶體狀態(tài).

為了描述單軸向列型液晶每一個(gè)分子團(tuán)中分子方向與光學(xué)對(duì)稱軸的偏差程度，物理中引入了“序”的概念(記為s1(x)). 它是分子團(tuán)中分子方向與光學(xué)對(duì)稱軸d(x)的夾角(記為θm)的一個(gè)加權(quán)(統(tǒng)計(jì))平均［1］.其中，在直角坐標(biāo)系中，d(x)本身的方向則可用緯度θ(x)和經(jīng)度φ(x)來刻畫.

(2)雙軸向列型液晶. 有的液晶材料處于一種雙軸系統(tǒng).單軸系統(tǒng)分子認(rèn)為是柱狀(cylinder)或者棒狀(rod-like)，d 是分子團(tuán)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸. 而雙軸系統(tǒng)的分子方向分布可以想象成形狀如木板(plank of wood)［4］. 這塊板的長(zhǎng)、中、短軸沒有一個(gè)是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，但是它們是反射對(duì)稱軸.為了描述這樣的材料的分子團(tuán)中的分子排列，除了上面的軸“d”之外還要引入一個(gè)軸“m”、分子與“m”的夾角ψm(d⊥m)以及另外一個(gè)序s2(x).由于d⊥m，可見在單軸系統(tǒng)基礎(chǔ)上，雙軸系統(tǒng)還需引進(jìn)一個(gè)新的角度ψ，由5個(gè)量θ，φ，ψ，s1，s2來刻畫雙軸系統(tǒng). 但是，由這5個(gè)量來刻畫雙軸系統(tǒng)，在θ=π/2 時(shí)，φ 會(huì)出現(xiàn)多值.為解決這個(gè)問題，引入同樣是5個(gè)變?cè)膹埩啃?，即Q-張量序:

液晶的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型有:

(1)Landau-de Gennes 模型.

為簡(jiǎn)單起見，在總自由能中只考慮由于材料的扭轉(zhuǎn)引起的彈性能和使材料產(chǎn)生相變或使材料處于單軸或雙軸狀態(tài)的熱能. 該能量泛函用Q-張量表示為

其中，Ω 是材料所占區(qū)域，彈性能密度fd(Q，?Q)和bulk 能密度fB(Q)定義為［4］

以及

其中，Li為彈性系數(shù).系數(shù)a，b，c 一般應(yīng)該依賴于溫度，但為了簡(jiǎn)單起見，我們通常把它們看做與溫度無關(guān)的常量.

(2)Ericksen 模型與Oseen-Frank 模型.

Ericksen 理論是一般的Landau-de Gennes 理論在單軸情形的簡(jiǎn)化.此時(shí)有2個(gè)特征值相同，記為λ1=λ 2 = -s/3，λ3=2s/3.簡(jiǎn)單的Ericksen 能量是

其中，w0(s)是一個(gè)正函數(shù)，s= -1/2 和s=1 是它的2 條漸近線.w2定義為

其中，k1、k2、k3、k4、k5、k6是彈性系數(shù)，ν、σ 為常數(shù).

假設(shè)序參數(shù)s 是一個(gè)常量，便可得到經(jīng)典的Oseen-Frank 模型. 最簡(jiǎn)單的Oseen-Frank 能量密度是外加約束條件此時(shí)泛函是映到球面的Dirichlet 能量，相應(yīng)的臨界點(diǎn)是映到球面的調(diào)和映照.

2 液晶流的動(dòng)力學(xué)方程組

2.1 Ericksen-Leslie 動(dòng)力學(xué)方程組

上世紀(jì)60年代，Ericksen-Leslie 推導(dǎo)了不可壓液晶的動(dòng)力學(xué)方程組［5］:

其中，ρ 是流體密度，v =(v1，v2，v3)是流體速度. 這組方程分別表示質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒律.液晶的各向異性特性體現(xiàn)在第3個(gè)方程以及第2個(gè)方程的耦合項(xiàng).速度滿足不可壓條件vi，i=0.

這里，F(xiàn)=(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)表示外體力，G =(G1，G2，G3)表示方向場(chǎng)外體力. β，γ 來自于方向向量場(chǎng)的約束此外，有

以及

其中2Aij=vi，j+vj，i，2ωij=vi，j-vj，i.

上面的參數(shù)滿足以下條件:

關(guān)系(9)從流體動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)來說是為了保證熵條件，也即熱力學(xué)第二定律成立. λ2= -(μ2+μ3)稱為Parodi 條件.μ1，…，μ6叫做Leslie 常數(shù).

現(xiàn)在給出這個(gè)一般模型的各種簡(jiǎn)化:

情形一 如果假設(shè)k11=k22=k33＞0，以及k24=0，則從而于是，在式(7)中令外力Fi=0，得到動(dòng)量守恒方程:

在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步令μ1=μ5=μ6=0，得到

于是，式(10)變?yōu)?/p>

接下來，在式(8)的第3個(gè)式子中令ρ1=0，βj=0，那么式(8)的第3個(gè)式子可以寫成

其中，因?yàn)棣耲=0，λ2=0，則gi=γdi+λ1Ni，從而有

其中，N=(Ni)=dt+(v·?)d +?ω·d，λ1＜0. 由于將方程(11)與向量d 做叉積可以得到

綜上所述，在k11=k22=k33＞0，k24=0，F(xiàn)i=0，μ1=μ5=μ6=0，λ2= -(μ2+μ3)=0，ρ1=0，βj=0，λ1＜0，有λ1=2μ2，而且，記λ =k22，μ=μ4/2，得到

進(jìn)一步地，忽略一些項(xiàng)并且記P-μ ?·v 為P，經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算，最后得到一個(gè)常用的簡(jiǎn)化方程組

情形二 LIN［6］在式(12)把約束進(jìn)行松弛，得到了一個(gè)更簡(jiǎn)化的且不失去液晶主要特性的懲罰模型

情形三 最近，HONG 等［7］研究了較一般的2維不可壓液晶流的Ericksen-Leslie 方程組

其中WE是Oseen-Frank 泛函(5)，w2由式(6)給出(s 為常數(shù)，ν=σ=0).

2.2 可壓縮液晶的發(fā)展型Ericksen-Leslie 模型

物理上關(guān)于可壓縮液晶的研究見文獻(xiàn)［8］、［9］.對(duì)于可壓縮液晶數(shù)學(xué)模型直到2011年才有嚴(yán)格的推導(dǎo).2011年，DING 等［10］從復(fù)雜流體角度出發(fā)，用極小功能原理、動(dòng)力學(xué)定律、變分原理和守恒率推導(dǎo)出可壓縮液晶的Ericksen-Leslie 方程:

文獻(xiàn)［11］、［12］分別從Ericksen-Leslie 理論出發(fā)，獨(dú)立地推導(dǎo)了小分子可壓縮液晶動(dòng)力學(xué)方程組(懲罰模型).

3 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及發(fā)展動(dòng)態(tài)

液晶數(shù)學(xué)模型的研究開始于上世紀(jì)80年代.到目前為止，對(duì)于變分問題主要結(jié)果是關(guān)于Ericksen能量泛函與Oseen-Frank 能量泛函極小元的存在性、正則性以及奇點(diǎn)集合的研究，其中對(duì)于Oseen-Frank能量泛函比較系統(tǒng)，關(guān)于Ericksen 理論的研究還不是很系統(tǒng). 關(guān)于Q-tensor 的Landau-de Gennes 理論研究近年來才剛剛起步.

3.1 Oseen-Frank 理論與Ericksen 理論

HARDT 等［13］在上世紀(jì)80年代中期最先開始研究Oseen-Frank 模型，對(duì)于解的奇性進(jìn)行了細(xì)致的分析［14］.他們證明，該泛函存在極小元，它在Ω 的一個(gè)相對(duì)閉集sing(d)之外是解析的，且H1-δ(sing(d))=0(對(duì)某個(gè)0 ＜δ ＜1).

對(duì)于Ericksen 模型的研究，考慮變分問題:

其中，w(s，?s，d，?d)由式(6)給定. 允許函數(shù)類A(d0，s0)定義為

對(duì)于該極小問題的研究主要有AMBROSIO［15-16］、AMBROSIO 等［17］、HARDT 等［18］以及LIN 等［19-20］.其中LIN 等［20］給出了最一般的結(jié)果:設(shè)(s0n0，s0)(?Ω，R3×R)，那么存在是變分問題(16)在A(d0，s0)中的極小元，而且有(ds，s)

由(ds，s)的H?lder 正則性，可見缺陷集(defects，即d 的奇點(diǎn)集合)sing(d)?s-1(0)，其中，s-1(0)={xΩ:s(x)=0}. 這與物理背景是相符的，也充分體現(xiàn)了Ericksen 模型在研究液晶“缺陷”集合中的作用.

對(duì)于一般的Ericksen 泛函(5)的研究，除上述結(jié)果之外，到目前為止還沒有進(jìn)一步的進(jìn)展.其極小元的正則性及s-1(0)的Hausdorff 維數(shù)和Hausdorff測(cè)度等都還是未知的. 但是，對(duì)于下面簡(jiǎn)單的Ericksen 模型

有稍微準(zhǔn)確一些的答案.

LIN 在文獻(xiàn)［6］中證明:

(2)當(dāng)0 ＜k ＜1 且(s0，u0)時(shí)，泛函(19)存在極小元(s，u)而且(s，u)在Ω 中是局部Lipschitz連續(xù)的，在(s-1(0))c中是解析的;

(3)設(shè)(s，u)是極小元，那么，如果s ≠0，則s-1(0)的Hausdorff 維數(shù)小于等于2;如果k ＞1，s≠0，那么s-1(0)的Hausdorff 維數(shù)小于等于1;

(4)對(duì)所有情況均有sing(d)=s-1(0).

在后來的研究中上述結(jié)論(3)被改進(jìn)為s-1(0)由孤立點(diǎn)組成，如果S2被RP2取代那么結(jié)論(3)是最優(yōu)的.HARDT 和LIN 對(duì)于線、面奇點(diǎn)集合進(jìn)行了進(jìn)一步的分類.帶有曲面奇性的具體的能量極小的例子可以參見文獻(xiàn)［17］.

3.2 相變問題

關(guān)于Oseen-Frank 理論中的相變問題，特別是從向列相到近晶相的相變，目前主要研究者為潘興斌教授等.PAN 等［21-22］提出了若干相變問題，證明了當(dāng)波數(shù)越過一個(gè)臨界波數(shù)時(shí)，液晶由向列相變?yōu)榻啵?1］，系統(tǒng)地研究了產(chǎn)生這種相變的臨界磁場(chǎng)［23］與臨界彈性系數(shù)［24］問題，提出表面近晶相猜想［21］并對(duì)一種逼近模型證明了從向列相變?yōu)楸砻娼嗟默F(xiàn)象［25］.現(xiàn)在人們感興趣的是，在Q-tensor框架下，如何提出Smectic(近晶)模型并研究各種情況下的相變問題.

3.3 Landau-de Gennes 理論

最近幾年，對(duì)于Q-tensor 的Landau-de Gennes理論的研究逐漸引起關(guān)注，成為一個(gè)新的發(fā)展趨勢(shì)［4，26-30］.但目前這些工作只是研究簡(jiǎn)單模型，即式(3)中L4=L5=0 甚至進(jìn)一步簡(jiǎn)化.這些研究充分運(yùn)用了Ginzburg-Landau 泛函、調(diào)和映照的研究思路.最初的研究者是MAJUMDAR 和ZARNESCU［27］，在L2=L3=0 的情況下討論了彈性系數(shù)L =L1→0時(shí)極小元Q(L)的漸近性態(tài)，證明了Q(L)要么處處是單軸的(可能在一個(gè)零測(cè)集上是各向同性流體)，要么處處是雙軸的(可能在一個(gè)零測(cè)集上是單軸的或是各向同性流體).他們還指出:只要特征值數(shù)目不變，那么特征向量與Q(L)具有相同正則性. 并且證明:特征向量是處處光滑的(可能除去一個(gè)零測(cè)集，在這個(gè)零測(cè)集上，不同的特征值的個(gè)數(shù)發(fā)生變化).可見，特征向量的任何不連續(xù)性一定發(fā)生在“單軸-各向同性”、“單軸- 雙軸”或者“雙軸- 各向同性”的交界面.

緊接著，BALL 等［29］研究了在L2=L3=0 時(shí)單軸Landau-de Gennes 理論與Oseen-Frank 理論的聯(lián)系與區(qū)別.MAJUMDAR［26］在L1固定，L2=L3=0 時(shí)，對(duì)于fB(Q)=ε-2fb(Q)研究了ε→0 時(shí)整體極小元在奇點(diǎn)集合之外的C1，α收斂性.文獻(xiàn)［30］(一般L1，L2，L3)研究了單軸模型的整體極小元在ε→0 時(shí)的有限條線狀奇性線的位置及其拓?fù)涠?

正如MAJUMDAR 等［27］所指出的，研究整體極小元的一定形態(tài)的光學(xué)缺陷(如果存在的話)的位置以及如何更好地描述特征值和特征向量的正則性、極小元在奇點(diǎn)附近的性態(tài)都是液晶工業(yè)生產(chǎn)中具有實(shí)際意義和具有挑戰(zhàn)性的問題. 特別是上面研究的模型尚有局限性，對(duì)于一般情形的研究還基本是空白.

3.4 不可壓縮液晶動(dòng)力學(xué)方程

關(guān)于動(dòng)力學(xué)方程的研究主要集中在簡(jiǎn)化的Ericksen-Leslie 模型.情形二將方程組(12)的第3個(gè)方程的進(jìn)行懲罰，可以視為Navier-Stokes 方程耦合Ginzburg-Landau 方程，第3個(gè)方程已經(jīng)被半線性化，從而降低研究的難度. 到目前為止，很多研究工作如弱解存在性、部分正則性等都是關(guān)于小參數(shù)ε 固定時(shí)的結(jié)果［6，11-12，31-36］.

LIN 等［33］用Galerkin 方法證明了二維和三維懲罰的Ericksen-Leslie 方程的Dirichlet 問題古典解的局部存在性和弱解的整體存在性. 對(duì)每一固定的懲罰參數(shù)，他們還證明了二維以及粘性系數(shù)充分大的情況下的三維懲罰問題古典解的整體存在唯一性.接著1995年的工作，LIN 等［34］證明了三維Dirichlet問題弱解的速度向量奇點(diǎn)集是一維時(shí)空Hausdorff零測(cè)集.這個(gè)結(jié)果是自然的，因?yàn)榈?個(gè)方程已被半線性化了.2000年，LIN 等［35］把上述結(jié)果推廣到更一般的Ericksen-Leslie 方程的懲罰問題，而且考慮了解的長(zhǎng)時(shí)間行為. 以上結(jié)果都是密度為常數(shù)的情形.對(duì)于密度不為常數(shù)的情況，LIU 等［36］在2009年證明了懲罰方程組的整體弱解的存在性(初始密度ρ0L2). JIANG 等［32］隨后做了推廣，即:只要求ρ0Lγ，γ ＞3/2.2006年，BLANCA 等［37］用Galerkin 方法研究了二維和三維問題整體弱解的存在性.ERICKSEN 等［31］則考慮了含能量方程的非等溫不可壓液晶懲罰模型的高維問題弱解的存在性. 上述結(jié)果都是對(duì)于懲罰問題的，都沒有得到ε→0 時(shí)的漸近行為. 如前所述，對(duì)于不進(jìn)行懲罰的不可壓Ericksen-Leslie 方程目前結(jié)果很少，困難主要在于同時(shí)處理強(qiáng)非線性項(xiàng)和第3個(gè)方程的梯度平方項(xiàng). 與懲罰方程組比較，情形一的方程組的難度是本質(zhì)的.

動(dòng)力學(xué)模型(12)的主要難點(diǎn)有2個(gè):其一是Navier-Stokes 方程中?·(?d??d)這一非線性項(xiàng)給研究帶來了極大困難，其二是第3個(gè)方程是調(diào)和映照熱流方程，其梯度的平方增長(zhǎng)使得在高維情形必將發(fā)展出奇性.直到現(xiàn)在，直接研究情形一的方程組的結(jié)果還很少.主要有:密度為常數(shù)的二維不可壓Ericksen-Leslie 方程Dirichlet 問題具有有限個(gè)時(shí)間層奇點(diǎn)的部分正則弱解的存在性［38］，相應(yīng)的Cauchy問題則由HONG［39］得到;此外還有一些二維和三維局部解的存在唯一性以及二維小初值整體解的存在性、唯一性［40］.

HONG 等［7］研 究 的 模 型(14)是 上 述 簡(jiǎn) 化Ericksen-Leslie 模型的一個(gè)很有趣的推廣.他們先證明dt=δWE/δd 的類似于調(diào)和映照熱流的Struwe 部分正則解的存在唯一性，再證明液晶流(14)除去有限個(gè)奇性時(shí)刻的部分正則解的存在性. 主要貢獻(xiàn)是克服了第2個(gè)方程不是拋物方程的困難.

關(guān)于具有非常數(shù)序s 的Ericksen-Leslie 模型的發(fā)展方程的研究參見文獻(xiàn)［41］.有關(guān)一般的Ericksen-Leslie 模型(7)的研究參考文獻(xiàn)［42］. 對(duì)于一般的Q-tensor 的不可壓動(dòng)力學(xué)模型還不見任何研究.

3.5 可壓縮液晶動(dòng)力學(xué)方程

關(guān)于可壓縮模型(15)的研究還很少.當(dāng)初始密度非負(fù)時(shí)，DING 等得到了一維強(qiáng)解的整體存在性［43］，并且用弱收斂方法證明了一維問題整體弱解存在性［44］.最近研究了小馬赫數(shù)極限［10］，證明了馬赫數(shù)趨于零時(shí)，在一定條件下可壓縮模型趨于不可壓縮模型.在文獻(xiàn)［45］中證明了幾乎不可壓模型在小初值和小擾動(dòng)情況下強(qiáng)解的整體存在性和唯一性.關(guān)于可壓縮懲罰模型解的存在性研究的其他結(jié)果以及非懲罰模型局部解的存在性、爆破準(zhǔn)則等可以參見文獻(xiàn)［11］-［12］、［46］-［48］.值得注意的是高維問題特別是非懲罰模型的研究還很不完善.

4 結(jié)束語

綜上所述，現(xiàn)在人們最為關(guān)注的是穩(wěn)態(tài)的和動(dòng)態(tài)的Landau-de Gennes 模型.重點(diǎn)在解的存在性、正則性和奇性分析以及液晶的相變理論. 同時(shí)，對(duì)于Ericksen 模型和Oseen-Frank 模型進(jìn)行更加深入的研究.關(guān)于2001年以前液晶數(shù)學(xué)模型的研究進(jìn)展情況，讀者可以參考文獻(xiàn)［49］. 本文綜合了2001—2012年的研究進(jìn)展.

［1］DE GENNES P G，PROST J.The physics of liquid crystals［M］. 2nd ed. Oxford:Oxford Univ Press，1995.

［2］ERICKSEN J.Equilibrium theory of liquid crystals［C］∥BROWN G H. Advances in liquid crystals. New York:Academic press，1976:233 -398.

［3］ERICKSEN J.Liquid crystals with variable degree of orientation［J］.Arch Rat Mech Anal，1991，113:97 -120.

［4］MOTTRAM N，NEWTON C. Introduction to Q-tensor theory［DB/OL］.［2012 -10 -15］.http://www.mathstat.strath.ac.uk/down loads/publications/.

［5］LESLIE F. Some constitutive equations for liquid crystals［J］. Arch Rat Mech Anal，1968，28:265 -283.

［6］LIN F H. Nonlinear theory of defects in nematic liquid crystals phase transitions and flow phenomena［J］.CPAM，1989，42:789 -814.

［7］HONG M C，XIN Z P.Global existence of solutions of the liquid crystal flow for the Oseen-Frank model in R2［J］.Adv Math，2012，231:1364 -1400.

［8］ZAKHAROV A V，VAKULENKO A A. Orientational dynamics of the compressible nematic liquid crystals induced by a temperature gradient［J］. Physical Review，2009，79:011708.

［9］MITSUMASA I，VAKULENKO A A，ZAKHAROV A V.Dissipation dynamics in the hybrid-oriented compressible liquid crystal cell［J］.Thin Solid Films，2009，518:771 -777.

［10］DING S，HUANG J，WEN H，et al.Incompressible limit of the compressible hydrodynamic flow of liquid crystals［J］.J Funct Anal，2013，264:1711 -1756.

［11］LIU X G，LIU L M，HAO Y H. A blow-up criterion of strong solutions to the compressible liquid crystals system［J］.Chin Ann Math:Ser A，2011，32:393 -406.

［12］WANG D，YU C. Global weak solution and large-time behavior for the compressible flow of liquid crystals［J］.Arch Rational Mech Anal，2012，204(3):881 -915.

［13］HARDT R，KINDERLEHRER D，LIN F H.Existence and partial regularity of static liquid crystal configurations［J］.Comm Math Phys，1986，105:547 -570.

［14］HARDT R，KINDERLEHRER D，LIN F H.Stable defects of minimizers of constrained variational principles［J］.Ann Inst H Poincare Anal Nonlineaire，1988，5:297-322.

［15］AMBROSIO L.Existence of minimal energy configurations of nematic liquid crystals with variable degree of orientations［J］. Manuscripta Math，1990，68:215 -228.

［16］AMBROSIO L. Regularity of solutions of degenerated elliptic variational problem［J］. Manuscripta Math，1990，68:309 -326.

［17］AMBROSIO L，VIRGA E. A boundary value problem for nematic liquid crystals with variable degree of orientation［J］. Arch Rational Mech Anal，1991，114(4):335 -347.

［18］HARDT R，LIN F H. Partially constrained boundary conditions with energy minimizing mappings［J］.Comm Pure Appl Math，1989，42:309 -334.

［19］LIN F H. On nematic liquid crystals with variable degree of orientation［J］. CPAM，1991，XLIV:453 -468.

［20］LIN F H，POON C C. On Ericksen's model for liquid crystals with variable degree of orientations［J］. J Geom Anal，1994，4(3):379 -392.

［21］PAN X B. Landau-de gennes model of liquid crystals and critical wave number［J］.Commun Math Phys，2003，239:343 -382.

［22］PAN X B，QI Y W. Asymptotics of minimizers of variational problems involving curl functional［J］. J Math Phys，2000，41(7):5033 -5063.

［23］LIN F H，PAN X B. Magnetic field-induced instability in liquid crystals［J］. SIAM J Math Anal，2007，38:1588 -1612.

［24］PAN X B. Critical elastic coefficient of liquid crystals and hysteresis［J］. Comm Math Phys，2008，280(1):77 -121.

［25］HELFFER B，PAN X B. Reduced Landau-de Gennes functional and surface smectic state of liquid crystals［J］.J Funct Anal，2008，255:3008 -3069.

［26］MAJUMDAR A. The Landau-de Gennes theory of nematic liquid crystals:uniaxiality versus biaxiality［DB/OL］.［2012 -10 -15］.http://eprints.math.ox.ac.uk/1000，2010.

［27］MAJUMDAR A，ZARNESCU A. Landau-de Gennes theory of nematic liquid crystals:The Oseen-Frank limit and beyond［J］.Arch Rational Mech Anal，2010，196:227 -280.

［28］BALL J M，MAJUMDAR A. Nematic liquid crystals:From Maier-Saupe to a continuum theory［J］. Mol Cryst Liq Cryst，2010，525:1 -11.

［29］BALL J M，ZARNESCU A.Orientability and energy minimization in liquid crystal models［J］. Arch Ration Mech Anal，2011，202(2):493 -535.

［30］BAUMAN P，PARK J，PHILLIPS D. Analysis of nematic liquid crystals with disclination lines［J］. Arch Rational Mech Anal，2012，205:795 -826.

［31］ERICKSEN J，F(xiàn)EIREISL E，ROCCA E，et al.On a nonisothermal model for nematic liquid crystals［J］. Nonlinearity，2011，24(1):243 -257.

［32］JIANG F，TAN Z. Global weak solution to the flow of liquid crystals system［J］. Math Meth Appl Sci，2009，32:2243 -2266.

［33］LIN F H，LIU C. Non-parabolic dissipative systems，modeling the flow of liquid crystals［J］.Comm Pure Appl Math，1995，XLVIII:501 -537.

［34］LIN F H，LIU C. Partial regularity of the dynamic system modeling the ow of liquid crystals［J］.Discrete and Continuous Dynamic Systems，1996，2:1 -22.

［35］LIN F H，LIU C. Global existence of solutions for the Ericksen-Leslie system［J］. Arch Ration Mech Anal，2000，154(2):135 -156.

［36］LIU X，ZHANG Z.Existence of the flow of liquid crystals system［J］. Chinese Annals of Mathematics，2009，30A(1):1 -20.

［37］BLANCA C E，F(xiàn)RANCISCO G G，MARKO R M. Reproductivity for a nematic liquid crystal model［J］.Z Angew Math Phys，2006，57(6):984 -998.

［38］LIN F H，LIN J Y，WANG C Y. Liquid crystal flows in two dimensions［J］.Arch Rational Mech Anal，2010，197(1):297 -336.

［39］HONG M C. Global existence of solutions of the simplified Ericksen-Leslie system in dimension two［J］. Cal Var，2011，40:15 -36.

［40］WEN H，DING S. Solutions of incompressible hydrodynamic flow of liquid crystals［J］. Nonlinear Anal:REAL，2011，12:1510 -1531.

［41］CALDERER M C，GOLOVATY D，LIN F H，et al.Time evolution of nematic liquid crystals with variable degree of orientation［J］.SIAM J Math Anal，2001，33(5):1033 -1047.

［42］COUTAND D，SHKOLLER S. Well-posedness of the full Ericksen-Leslie model of nematic liquid crystals［J］.C R Acad Sci Paris:Série I，2001，333:919 -924.

［43］DING S，LIN J Y，WANG C Y，et al.Compressible hydrodynamic flow of liquid crystals in 1-D［J］. DCDS，2012，32(2):539 -563.

［44］DING S，WANG C，WEN H Y.Weak solution to compressible hydrodynamic flow of liquid crystals in dimension one［J］.DCDS-B，2011，15(2):357 -371.

［45］DING S，HUANG J，LIN J. Global existence for slightly compressible hydrodynamic flow of liquid crystals in two dimensions［J/OL］.Science China:Mathematics，doi:10.1007/s11425 -013 -4620 -2.

［46］HUANG T，WANG C Y，WEN H Y. Blow up criterion for compressible nematic liquid crystal flows in dimension three［J］.Arch Rational Mech Anal，Digital Object Identifier，2012，204(1):285 -311

［47］HUANG T，WANG C，WEN H. Strong solutions of the compressible nematic liquid crystal flow［J］.J Differential Equations，2012，252:2222 -2265.

［48］LI J，XU Z，ZHANG J. Global well-posedness with large oscillations and vacuum to the three-dimensional equations of compressible nematic liquid crystal flows［DB/OL］.［2012 - 10 - 15］. http://arxiv. org/abs/1204.4966.

［49］LIN F，LIU C. Static and dynamic theories of liquid crystals［J］. J Partial Differential Equations，2001，14:289 -330.