賈國(guó)榮

（山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 文理學(xué)院，山西 太谷030801）

數(shù)學(xué)是創(chuàng)立和發(fā)展物理學(xué)理論的主要工具，它的高度抽象性，使它能夠概括物理世界的基本結(jié)構(gòu)［1］。數(shù)學(xué)中的高斯公式是分析大學(xué)物理中矢場(chǎng)問(wèn)題的重要工具［2］。電場(chǎng)中的高斯定理人人皆知，被廣泛應(yīng)用到求解具有高對(duì)稱性的帶電系周?chē)碾妶?chǎng)問(wèn)題中［3］，而與電場(chǎng)同屬于保守場(chǎng)的萬(wàn)有引力場(chǎng)［4］，其中，高斯定理在農(nóng)林院校大學(xué)物理課程中并未提及。由此，本文從數(shù)學(xué)中高斯公式和保守場(chǎng)的定義談起，推導(dǎo)出農(nóng)林類大學(xué)物理中兩個(gè)保守場(chǎng)：電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)。把高斯公式推廣到電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)中，得出各自場(chǎng)中的高斯定理，并分別舉例說(shuō)明高斯定理的運(yùn)用。

1 數(shù)學(xué)中高斯公式

高斯公式是數(shù)學(xué)中曲面積分的一個(gè)重要公式，它可以把高斯面上的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為所圍體的三重積分［5］。描述為：

設(shè)空間區(qū)域V的邊界曲面S是光滑的或分片光滑的，函數(shù) P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z），在Q及S上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，S的方向?yàn)橥夥ㄏ?，則

或

如果引入矢量函數(shù)，高斯公式又寫(xiě)為：

數(shù)學(xué)意義為：矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面S的流量等于此閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分。

2 保守場(chǎng)的推導(dǎo)

數(shù)學(xué)中，保守場(chǎng)的定義為：在矢量場(chǎng)α中，若曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，這種場(chǎng)稱為保守場(chǎng)。矢量場(chǎng)α為保守場(chǎng)的充要條件是：▽×α＝0

農(nóng)林院校大學(xué)物理課程中，電場(chǎng)力做功和萬(wàn)有引力做功都與路徑無(wú)關(guān)，即：

根據(jù)斯托克斯定理

得出：

由此從數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以知道電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)都是保守場(chǎng)。

3 高斯公式在電場(chǎng)中的運(yùn)用

把高斯公式運(yùn)用到大學(xué)物理的電場(chǎng)中，就是電場(chǎng)高斯定理。電場(chǎng)通量（即：閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分（即：為電荷體密度［4］）。

它可以表述為：通過(guò)一個(gè)任意閉合曲面S的電通量Φe等于該面所包圍的所有電量的代數(shù)和∑q除以ε0，與閉合面外的電荷無(wú)關(guān)。即：

在求解具有高對(duì)稱性帶電體系的電場(chǎng)分布時(shí)，電場(chǎng)高斯定理可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程［6］，還反映出電場(chǎng)的另一重要性質(zhì)：靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)。正電荷是靜電場(chǎng)的源頭，向四周輻射電場(chǎng)。

例：求一個(gè)均勻帶正電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，設(shè)球體帶電總量為Q，球體半徑為R，如圖1。

如果用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理，把帶電體系分割成無(wú)窮多個(gè)電荷元，其中每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，對(duì)無(wú)窮多個(gè)電荷元產(chǎn)生的電場(chǎng)積分求和，勢(shì)必涉及一個(gè)三重積分，顯然，這在數(shù)學(xué)計(jì)算中是比較復(fù)雜的。

如果應(yīng)用高斯定理，由于電荷Q均勻分布在球面上，其電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ性。在任何與帶電球面同心的球殼上的各點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均應(yīng)相等，方向沿各自的矢徑方向。

圖1 帶電量為Q的球體 （虛線為高斯面）Fig.1 The Sphere Charged of Q（The Dotted Line for Gaussian Surface）

在球面外任取一點(diǎn)P，設(shè)想過(guò)P點(diǎn)做一個(gè)半徑為r（r＞R）的球面，稱之為高斯面，因球面上各點(diǎn)的法線方向與場(chǎng)強(qiáng)方向一致，所以通過(guò)該球面的電通量為：

此時(shí)，該球面包圍的電荷為：

根據(jù)高斯定理可得：

P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

對(duì)于球內(nèi)任一點(diǎn)P′，同樣過(guò)P′作一半徑為r（r＜R）的球形高斯面，通過(guò)該球面的電通量為：

此時(shí)，該球面包圍包圍的電荷為：

由高斯定理可得：

此時(shí)必有：

4 高斯公式在萬(wàn)有引力場(chǎng)中的應(yīng)用

萬(wàn)有引力場(chǎng)和靜電場(chǎng)同屬于保守場(chǎng)，可以設(shè)想萬(wàn)有引力場(chǎng)如同電場(chǎng)一樣，是一種物理客觀存在。質(zhì)量為M的物體向四周輻射萬(wàn)有引力場(chǎng)，且萬(wàn)有引力定律F＝GM1M2／r2與庫(kù)侖定律F＝Q1Q2／4πε0r2相似，都服從平方反比定律。其中，G和1／4πε0類似，為常數(shù)；質(zhì)量M 和電量Q 類似。運(yùn)用類比思想［7］，把高斯公式應(yīng)用到萬(wàn)有引力場(chǎng)得，萬(wàn)有引力場(chǎng)通量（Φf＝?SEg·d S），等于閉合曲面所圍體V上每一點(diǎn)的散度在體V上的三重積分（－4πG?ρd v，ρ為質(zhì)量密度）。它可以表述為［8］：通過(guò)一個(gè)任意閉合曲面S的萬(wàn)有引力場(chǎng)通量Φf等于該面所包圍的所有質(zhì)量的代數(shù)和∑imi除以a0，負(fù)號(hào)表明萬(wàn)有引力場(chǎng)為匯聚場(chǎng)，穿入閉合曲面S。

電場(chǎng)高斯定理在求解具有高對(duì)稱性帶電體系的電場(chǎng)分布時(shí)有著十分重要的地位，同理，在求解具有高對(duì)稱性質(zhì)量體系的萬(wàn)有引力場(chǎng)分布時(shí)，用萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理會(huì)大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程［9］。

例：求均質(zhì)細(xì)棒中垂面上的受到的引力場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)棒長(zhǎng)為2l，如圖2。

圖2 質(zhì)量均勻的細(xì)棒（圓柱體為高斯面）Fig.2 The Thin Rods With Unifor m Quality（The Cylinder for Gaussian Surface）

如果用萬(wàn)有引力定律計(jì)算，選細(xì)棒中點(diǎn)O為原點(diǎn)，取坐標(biāo)軸z沿細(xì)棒向上，由于細(xì)棒具有軸對(duì)稱性，取紙平面作代表［10］，細(xì)棒的中垂面與紙面的交線為中垂線OP。

整個(gè)細(xì)棒可以分割成一對(duì)一對(duì)的線元，其中每對(duì)線元dz和dz′對(duì)于中垂線OP 對(duì)稱，這一對(duì)線質(zhì)元在中垂線上任一點(diǎn)P所產(chǎn)生的元引力場(chǎng)d Eg和d Eg′也對(duì)中垂線對(duì)稱。他們?cè)诖怪庇贠P方向的分量互相抵消，從而合成矢量d Eg＋d Eg′沿中垂線方向其大小為2d Egcosα，其中：

r表示距離OP，λ表示線質(zhì)量密度，則λd z是總質(zhì)量。

當(dāng)細(xì)棒為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，l→∞，這時(shí)的萬(wàn)有引力場(chǎng)強(qiáng)為：

如果用應(yīng)用萬(wàn)有引力場(chǎng)中高斯定理，因該體系具有軸對(duì)稱性，若以細(xì)棒為軸，在垂直于軸的平面內(nèi)，同一圓周上的萬(wàn)有引力場(chǎng)大小處處相等，方向垂直于棒，向內(nèi)匯聚。于是可選取以棒為軸，半徑為r，長(zhǎng)為l的封閉圓柱面為高斯面。圓柱的上、下兩個(gè)底面，Eg與d S的方向垂直；側(cè)面的Eg與d S的方向相反，所以通過(guò)封閉圓柱體的萬(wàn)有引力通量為：

根據(jù)高斯定理得：

得：

公式（19）與公式（22）是相等的，可以看出，比起用萬(wàn)用引力定律來(lái)說(shuō)，用萬(wàn)有引力高斯定理求解問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，省去了很多積分過(guò)程，并且體現(xiàn)出萬(wàn)有引力場(chǎng)是保守場(chǎng)的性質(zhì)。

5 結(jié)論

運(yùn)用數(shù)學(xué)中保守場(chǎng)定義，推導(dǎo)出農(nóng)林院校大學(xué)物理中兩個(gè)保守場(chǎng)：電場(chǎng)和萬(wàn)有引力場(chǎng)，把高斯公式運(yùn)用到這兩個(gè)保守場(chǎng)中，得到人們比較熟悉的電場(chǎng)中的高斯定理，同時(shí)，把高斯公式運(yùn)用到萬(wàn)有引力場(chǎng)中，結(jié)合類比思想，得到萬(wàn)有引力場(chǎng)中的高斯定理：

把萬(wàn)有引力場(chǎng)高斯定理運(yùn)用到實(shí)際解題過(guò)程中，可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，用很好的運(yùn)用價(jià)值。同時(shí)，也揭示了萬(wàn)有引力場(chǎng)如同電場(chǎng)一樣，是有源場(chǎng)，質(zhì)量為M的體系輻射萬(wàn)有引力場(chǎng)。

［1］陳修芳.從高斯公式到高斯定理［J］.科學(xué)之友，2010，5：11－13.

［2］籍延坤.高斯定理的數(shù)學(xué)證明［J］.大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，25（3）13－16.

［3］溫耐，王偉峰.高斯定理在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用問(wèn)題［J］.物理通報(bào)，2010（11）：9－11.

［4］宋克慧，龍文海.關(guān)于保守場(chǎng)判據(jù)的一點(diǎn)注記［J］.蒙自師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1993，10（2）：51－53.

［5］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.北京，高等教育出版社，1996：234－240.

［6］武秀榮，楊學(xué)工.大學(xué)物理［M］.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2009：97－102.

［7］蔡香民.萬(wàn)有引力與高斯定理——類比在物理學(xué)中的作用［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，25（2）：147－150.

［8］陳學(xué)文，李彥敏.萬(wàn)有引力場(chǎng)強(qiáng)度與萬(wàn)有引力場(chǎng)的高斯定理［J］.商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，2（5）：161－163.

［9］陳國(guó)云，駱成洪，辛勇，等.高斯定理和環(huán)路定理在萬(wàn)有引力場(chǎng)中的推廣［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)：工科版，2008（12）：354－358.

［10］趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2003：13－16.