魏英杰，何乾坤，王 聰，曹 偉，張嘉鐘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

1 概述

航行體在水下高速運(yùn)動時(shí)，航行體表面附近的水因低壓而發(fā)生相變，產(chǎn)生空化現(xiàn)象。當(dāng)航行體的運(yùn)動速度足夠高時(shí)，空泡將完全包裹航行體形成超空泡。超空泡減阻技術(shù)是一種可以使水下高速運(yùn)動航行體獲得90%減阻量的革命性減阻方法［1］。利用這種技術(shù)研制的超空泡射彈，可以顯著提高射彈的運(yùn)動速度，大大增加射彈的行程和殺傷力［2］。

超空泡射彈目前主要應(yīng)用于反水雷和反魚雷作戰(zhàn)，通常有2種作戰(zhàn)方式。一種是通過水面艦載或機(jī)載火炮發(fā)射，以高速入水打擊水下目標(biāo)，如美國的機(jī)載快速滅雷系統(tǒng)［3］(簡稱RAMICS，如圖1所示)主要裝備于直升機(jī)機(jī)載火炮系統(tǒng)中，用以消滅水下30 m深的淺水錨雷或漂雷，也可作為一種對付反艦魚雷的硬殺傷防御武器;另一種是全水下火炮系統(tǒng)，采用超空泡射彈密集發(fā)射的方式攔截來襲的敵方魚雷，如美國的自適應(yīng)高速水下彈藥系統(tǒng)(AHSUM)主要裝備在潛艇、水面艦或拖曳式反水雷器的水下船體內(nèi)。

圖1 RAMICS超空泡射彈示意圖Fig.1 Scheme of supercavitating projectile RAMICS

高速超空泡射彈在水下運(yùn)動過程中，任何小的擾動 (如發(fā)射時(shí)的擾動)都會使射彈尾部與空泡汽水界面發(fā)生連續(xù)的周期撞擊，即尾拍現(xiàn)象［4］。May［5］早在1975年的AD報(bào)告中就闡述了超空泡航行體尾拍現(xiàn)象形成的原因，并且分析了尾拍現(xiàn)象對穩(wěn)定航行體彈道起到的作用。高速超空泡射彈具有大長細(xì)比 (一般在1∶20左右)以及運(yùn)動速度高的特點(diǎn)［6-9］，因此射彈結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性必須予以考慮。高速運(yùn)動下的尾拍問題涉及流體動力學(xué)、結(jié)構(gòu)運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)問題，因此如何對尾拍問題進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)建模顯得非常重要。

本文綜述高速超空泡射彈尾拍問題的研究進(jìn)展，分析超空泡射彈尾拍研究中涉及的關(guān)鍵問題，并對超空泡射彈尾拍問題未來的研究方向進(jìn)行展望。

2 研究進(jìn)展

從上個(gè)世紀(jì)90年代末開始，針對超空泡射彈的尾拍問題，國內(nèi)外學(xué)者開展了一系列的理論和實(shí)驗(yàn)研究工作，在空泡形態(tài)、尾拍載荷及尾拍動力學(xué)模型方面取得了重要研究進(jìn)展。

2.1 國外研究進(jìn)展

Rand等［10-11］建立了射彈在垂直平面內(nèi)尾拍時(shí)的簡化模型，假設(shè)射彈頭部近似沿直線L運(yùn)動、空泡軸線與L重合 (見圖2)，考慮到超空泡射彈運(yùn)動速度較高，忽略重力對空泡形態(tài)的影響［5］。并且，假設(shè)射彈頭部受流體升力和阻力的合力沿射彈軸向，尾部受到尾拍阻力RD和升力RL作用，得到射彈剛體動力學(xué)方程。其中，尾拍過程表達(dá)為方程 (1)，尾拍結(jié)束后表達(dá)為方程 (2)。

根據(jù)式(1)和式(2)可以確定航行體在航行狀態(tài)中發(fā)生尾拍的振動方式。Rand在假設(shè)θ為小量的基礎(chǔ)上給出了超空泡射彈尾拍的角頻率ω和尾拍振動半周期τ的表達(dá)式為

式中:ρ為水密度;λ0=0.5為經(jīng)驗(yàn)常數(shù);d為射彈尾部直徑;h為射彈尾部處超空泡半徑。如圖3所示為角加速度振動，圖中T定義為航行體整體振動周期，τ定義為尾拍振動半周期。

Kulkarni［12］等研究了超空泡射彈的尾拍剛體動力學(xué)特性，基于Milwitzky［13］的水上飛機(jī)撞水受力方式分析了射彈尾拍受力并建立了超空泡射彈尾拍剛體動力學(xué)方程，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真計(jì)算。結(jié)果表明，盡管超空泡射彈的尾拍現(xiàn)象會影響射彈彈道，但射彈基本上保持直線飛行;射彈減速運(yùn)動過程中，尾拍撞擊的頻率先增加后減小;對于具有不同轉(zhuǎn)動慣量的超空泡射彈，尾拍頻率隨彈體轉(zhuǎn)動慣量的增加而變小。

Ruzzene［14］等將超空泡射彈考慮為繞空化器轉(zhuǎn)動的歐拉-伯努利梁，射彈具有俯仰、偏航2個(gè)剛體轉(zhuǎn)動自由度和2個(gè)徑向撓度，并基于哈密頓原理建立了超空泡射彈尾拍的柔性多體動力學(xué)方程，對射彈的彈性振動位移響應(yīng)與剛體轉(zhuǎn)動響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算分析。在此基礎(chǔ)上，Ruzzene還對超空泡射彈的加固模型進(jìn)行了分析，給出了環(huán)狀加強(qiáng)筋的厚度大小和安裝數(shù)量對彈性振動的影響。

Choi［15］利用模態(tài)單元法 (Modal-Based Elements)建立了超空泡航行體的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程，并解除了航行體空化器近似沿水平運(yùn)動的假設(shè)，分析了航行體尾拍或滑行過程中尾部撞水載荷，計(jì)算了超空泡航行體的剛體運(yùn)動及結(jié)構(gòu)振動，并對航行體彈道進(jìn)行了良好的控制。

Abe［16］使用顯式動力學(xué)有限元分析軟件AUTODYN對水下超音速自由飛行超空泡射彈初始時(shí)刻的偏航問題進(jìn)行了數(shù)值仿真研究。Abe建立了二維計(jì)算模型，研究了射彈高速入水后，可能導(dǎo)致彈體發(fā)生偏航的因素。仿真結(jié)果表明:彈體入水速度越大，彈體的偏航角越大，彈體速度衰減得越快;對于不同材料射彈入水，射彈的材料為鈦時(shí)比材料為鋼時(shí)發(fā)生偏航要早;彈體和水的周圍固體邊界對彈體的速度變化和偏航具有較為顯著的影響。

Putilin［17-18］對超空泡射彈入水及水下運(yùn)動進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，分析了超空泡射彈與空泡之間的間隙對超空泡射彈入水及水下減速過程中的尾拍運(yùn)動特性影響。而Kubenko［19］進(jìn)一步研究了細(xì)長超空泡航行體與超空泡壁面撞擊載荷計(jì)算。Kubenko將水考慮為可壓縮理想流體，并且分析了不同航行體與空泡間隙Δ下的撞擊載荷計(jì)算公式，其中Δ=1-r/Rc，r和Rc分別是航行體和空泡的半徑。對于不同的間隙Δ(分別為零間隙、小間隙及大間隙)，建立了描述圓柱形航行體尾部浸入空泡壁面的動力學(xué)方程，并利用漸進(jìn)法進(jìn)行簡化求解。

Ziraksaz［20］探討了在小型超空泡射彈上安裝微型固體燃料引擎來提高射彈飛行速度的可行性以及超空泡射彈在相應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上需要注意的問題。該研究工作為進(jìn)一步提高射彈飛行速度提供了一種途徑。

Kirschner［21-22］和 Hrubes［23］對不同發(fā)射速度下的超空泡射彈進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)分析，記錄了超空泡射彈在超音速自由飛行過程中的空泡形態(tài)和尾拍特性 (見圖4)。Kirschner［22］還在高速超空泡射彈動力學(xué)控制方面引入了空泡延遲效應(yīng)，分析了空泡延遲對超空泡航行體的流體動力影響。

Vlasenko［24］對跨音速和超音速階段的超空泡射彈進(jìn)行了自由飛行實(shí)驗(yàn)，分析了水的可壓縮性對空泡形態(tài)的影響。

Logvinovich［25］對超空泡射彈自由飛行進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，記錄了射彈在尾拍過程中頭部坐標(biāo)，描繪了除了射彈S形運(yùn)動軌跡 (見圖5)。

2.2 國內(nèi)研究進(jìn)展

國內(nèi)方面，孟慶昌等［26］對超空泡射彈進(jìn)行了剛體動力學(xué)分析，參考了Kulkarni［12］的文章中有關(guān)超空泡形態(tài)以及受力模型的推導(dǎo)結(jié)果，建立了描述彈體動力學(xué)行為的微分方程組?；谠摲匠探M，分析了超空泡射彈的轉(zhuǎn)動慣量、發(fā)射速度、初始擾動角速度和水深對超空泡射彈尾拍彈道的影響。研究結(jié)果表明:射彈尾拍過程中的角速度大小呈現(xiàn)周期性的往復(fù)變化;射彈轉(zhuǎn)動慣量越小，角速度變化幅值增減越小，尾拍撞擊頻率越小;射彈發(fā)射深度或發(fā)射速度越大，尾拍最大轉(zhuǎn)角衰減得越快;較大的初始角速度會使射彈角速度發(fā)生快速的衰減。

潘展程等［27］針對超空泡航行體縱向振蕩時(shí)，流場及阻力系數(shù)的變化，進(jìn)行仿真研究。采用二維軸對稱計(jì)算模型，航行體做正弦規(guī)律的受迫縱蕩，利用有限體積法求解Reynolds平均N-S方程組，基于Mixture多相流模型，分別采用非慣性系法、動計(jì)算域法、滑移網(wǎng)格法以及網(wǎng)格重構(gòu)法對該種情況下的通氣超空泡流場進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果表明:阻力系數(shù)在周期縱蕩運(yùn)動過程中也出現(xiàn)了周期性的振蕩。同時(shí)，經(jīng)過對各種方法的比較，發(fā)現(xiàn)動計(jì)算域法的計(jì)算量小，收斂性好，精度高，最適合用來對帶超空泡航行體做非定常運(yùn)動進(jìn)行模擬。

張鵬［28］使用Fluent 6.3的UDF功能，研究了射彈在水中跨超音速下產(chǎn)生的超空泡流場。在Mixture模型下分別計(jì)算了水不可壓和可壓2種狀態(tài)下超空泡射彈的流場，并對2種狀態(tài)下流場做了對比分析，表明在跨超音速下，水的可壓縮性會增加射彈的阻力。另外，模擬了可壓單相流的射彈流場，得出射彈周圍溫度場的分布，結(jié)果表明射彈運(yùn)行的結(jié)果會產(chǎn)生大量的熱。

楊傳武等［29-30］針對勻速直線運(yùn)動的超空泡航行體 (以直徑210 mm魚雷為參照)的尾拍結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)問題進(jìn)行了有限元仿真研究，將航行體考慮為殼模型，對尾部的尾拍沖擊載荷形式采用Ruzzene［14］的理論結(jié)果。作者對航行體尾部位置的加速度響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，并進(jìn)行了頻響分析。結(jié)果表明:沖擊載荷作用方向引起的過載非常大，達(dá)到了30 g;超空泡航行體垂向振動頻率在20 Hz以內(nèi)時(shí)引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)最為顯著，隨著頻率的升高加速度響應(yīng)的幅值有減小的趨勢。

張勁生［31-32］、何乾坤等［33］對超空泡射彈在尾拍過程中的載荷以及動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了射彈長徑比對射彈彈性振動過程中的應(yīng)力、應(yīng)變影響。研究結(jié)果表明:航行體與空泡碰撞期間，航行體尾部變形最大;當(dāng)航行體脫離空泡壁面，做高頻振動期間，其頭部和柱體中部變形最大;在不同速度條件下，航行體的最大主應(yīng)變和最大剪應(yīng)變都隨著速度的增加而呈上升趨勢，最小主應(yīng)變值(壓應(yīng)變)也隨著速度的增加而變得更小。

曹偉等［34］開展了水下超空泡射彈運(yùn)動的模型試驗(yàn)，射彈最大速度為70 m/s，最小空化數(shù)可達(dá)0.04，獲得了水下航行體的自然超空泡形態(tài)參數(shù)隨空化數(shù)變化的規(guī)律，并與相關(guān)文獻(xiàn)中使用的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了對比。

3 超空泡射彈尾拍問題涉及的關(guān)鍵問題

超空泡射彈尾拍分析涉及流體動力學(xué)、結(jié)構(gòu)運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)等多方面內(nèi)容。在流體動力學(xué)分析方面，涉及超空泡形態(tài)以及尾拍撞擊載荷的確定;在尾拍剛體動力學(xué)和結(jié)構(gòu)動力學(xué)方面，超空泡射彈的運(yùn)動是剛體運(yùn)動與彈性體運(yùn)動的耦合問題，可以看作是柔性多體動力學(xué)問題，該問題與流體動力學(xué)分析結(jié)合在一起，將更加復(fù)雜。

3.1 超空泡形態(tài)分析

超空泡形態(tài)分析作為超空泡射彈尾拍問題的一部分，將直接影響超空泡射彈尾拍計(jì)算。以往的超空泡射彈尾拍文獻(xiàn)中對空泡形態(tài)的確定往往采用經(jīng)驗(yàn)公式。如 Kulkarni［12］和 Choi［15］利用橢圓形空泡半經(jīng)驗(yàn)漸進(jìn)解公式

式中，空泡最大截面直徑Dc及空泡長度Lc表達(dá)為

式中:σ為空化數(shù);Dn為空化器直徑;Cx0為σ=0時(shí)的阻力系數(shù)。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［35］，式(5)對于圓盤空化器的適用范圍在300～1 300 m/s。

對于非定常超空泡形態(tài)的確定可以利用Logvinovich 獨(dú)立膨脹原理［36-37］，即

其中:

式中:S0為空泡截面的初始面積;p∞為無窮遠(yuǎn)處環(huán)境壓力;pc為空泡內(nèi)壓力;Cx為阻力系數(shù);Rn為空化器半徑;V(0)為t=0時(shí)刻的空化器速度;a為常數(shù)，會略微受到空泡數(shù)的影響，通常的取值范圍為1.5～2。

超空泡射彈在水中以高速 (接近跨音速甚至達(dá)到超音速)運(yùn)動時(shí)，水的可壓縮性成為空泡形態(tài)的重要影響因素之一［38-39］。超空泡射彈一般具有大長細(xì)比的特征。對此類細(xì)長形超空泡射彈，可以假定它引起的流場為小擾動，并采用細(xì)長體小擾動理論進(jìn)行研究［40］。Serebryakov［41-43］和 Vasin［44-45］對該理論進(jìn)行了詳細(xì)的研究，并采用漸進(jìn)法進(jìn)行求解 (利用Riabushinsky閉合模型)，并將計(jì)算結(jié)果與大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，得到了超空泡射彈在可壓縮流體中的空泡形態(tài)表達(dá)公式，一階漸進(jìn)解的表達(dá)式為［46］

式中:Rc為空泡半徑;Rn為錐形體底面半徑;l為錐形體長度;L=2l+Lc;x為空泡截面沿空泡長度方向距離錐形體頂點(diǎn)距離。

當(dāng)空化器半徑遠(yuǎn)小于空泡半徑時(shí)，忽略空泡半徑即可得空泡形態(tài)的二階漸進(jìn)解表達(dá)式［46］，即

3.2 超空泡射彈受力分析

超空泡射彈在超空泡中運(yùn)動受到的主要作用力有3部分:①超空泡射彈自身具有的重力;②超空泡射彈頭部所受的阻力和升力;③超空泡射彈尾部與空泡壁撞擊作用產(chǎn)生的撞擊力 (在尾拍研究中將其定義為尾拍力)。

由于超空泡射彈在水中沒有固定約束，在建立力矩方程時(shí)，一般將轉(zhuǎn)動中心建立在質(zhì)心位置，重力力矩為0，因此在尾拍分析中一般不考慮重力作用。

對于超空泡射彈頭部所受的阻力和升力一般采用下式進(jìn)行確定。

式中:A為空化器截面面積;V為射彈速度;CD和CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)［5］。

尾拍力的確定目前主要有2種方法，一種是基于動量守恒，利用Von Karman提出的虛擬質(zhì)量法［47］，求解出尾拍作用的升力RL、阻力RD，例如Rand［11］，Ruzzene［14］和 Kulkarni［12］在處理尾拍作用力時(shí)利用該方法。另一種是根據(jù)勢流理論求解出浸入水中固體邊界受到壓強(qiáng)，然后進(jìn)行積分得到尾拍作用力RL，例如Kubenko［48］在分析航行體與空泡間隙對尾拍作用力的影響時(shí)利用該方法。

3.2.1 基于虛擬質(zhì)量法的尾拍受力計(jì)算

式中:A1=λδd為射彈尾部浸入液體邊界層的特征面積;δ為射彈尾部侵入液體的深度。因此結(jié)構(gòu)發(fā)生尾拍時(shí)所受阻力和升力可表達(dá)為式(13)。Ruzzene［14］采用的方法與 Rand［11］的方法類似，在此不再贅述。

圖6 動量傳遞示意圖Fig.6 Scheme of momentum transfer

Kulkarni［12］分析了射彈尾部浸入空泡壁的切片受力，并將切片受力對浸水長度lk積分得到尾拍作用力。假設(shè)射彈距尾部底面處在z1向速度Wξ，根據(jù)動量守恒可得

式中:mapp為射彈切片對應(yīng)的虛擬質(zhì)量，可表達(dá)為mapp=Kρdζ;K為常數(shù)，當(dāng)射彈截面為圓時(shí)K=2π;d為射彈尾部直徑;ζ為射彈切片浸入水深度(如圖7所示)。射彈切片z1向速度Wξ可以表達(dá)為

式中:W為射彈切片在z向速度;Lm為射彈長度;Q為射彈轉(zhuǎn)動角速度。將式(15)代入式(14)，并結(jié)合ζ·=Wξ和ζ=tan θ(lk-ζ)，可得切片尾拍升力為

式中:

切片阻力與浸入水的截面積(如圖7所示)有關(guān)，可分解為x1和z1兩個(gè)方向的分力:

式中:Ck為阻力系數(shù)，取值范圍為0.5～0.95;Area(XYNX)和Ap分別為射彈尾部切片浸入水在x1和z1方向的投影面積，表達(dá)為

將式(19)代入式(18)，可得:

式中，

將式(18)及式(20)沿射彈尾部浸水長度lk積分即可得到尾拍作用力。

圖7 超空泡射彈尾部切片浸入示意圖Fig.7 Scheme of immersion of supercavitating projectile tail into water

3.2.2 基于勢流理論的尾拍受力計(jì)算

Rand等人求解尾拍力所利用的方法雖然從形式上來說比較簡單，但其過分簡化了物體的受力情況。Kubenko［48］根據(jù)勢流理論求解出浸入水中固體邊界受到壓強(qiáng)，然后進(jìn)行積分得到尾拍作用力RL。該方法雖然較為復(fù)雜，但得出的超空泡射彈尾部撞擊力更為完善。

當(dāng)射彈與空泡壁面相互作用時(shí)，由于射彈與空泡都是細(xì)長體，可以對整個(gè)射彈浸入水的沾濕部分采用切片法處理。射彈尾部切片在浸入空泡壁內(nèi)的流動問題都可以簡化為圓柱體浸入圓柱形水面的平面出入水問題，可以應(yīng)用切片法結(jié)算每個(gè)切片的平面受力。對于射彈尾部切面與空泡之間間隙為小間隙下，受力可表達(dá)為［19］

其中θ*如圖8所示，可表達(dá)為

式中，Vζ為射彈切片入水速度;ζ為切片浸水最大深度;Δ為切片出空泡半徑Rc與射彈切片半徑r之間的間隙，表達(dá)為Δ=Rc-r。

將式(21)沿射彈尾部浸水長度lk積分即可得到尾拍作用力。

圖8 超空泡射彈切片與空泡壁面接觸示意圖Fig.8 Scheme of impact of supercavitating projectile tail with cavity wall

3.3 超空泡射彈尾拍動力學(xué)模型建立

超空泡射彈在高速運(yùn)動過程中的尾拍現(xiàn)象在涉及剛體運(yùn)動的同時(shí)還會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性振動，影響超空泡射彈的彈道以及結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，因此超空泡射彈的運(yùn)動是剛體運(yùn)動與彈性振動的耦合問 題。 早 期 的 尾 拍 問 題 研 究 (如 Rand［11］，Kulkarni［12］等)主要研究其剛體運(yùn)動即彈道問題，但隨著對尾拍研究的深入了解后，超空泡射彈尾拍涉及的結(jié)構(gòu)振動問題越來越受到關(guān)注(如Ruzzene［14］，Choi［15］等)。

以Ruzzene［14］文獻(xiàn)為例，其建立的尾拍動力學(xué)方程為混合動力學(xué)方程。其文獻(xiàn)中假設(shè)超空泡軸線不變，超空泡射彈繞空化器轉(zhuǎn)動，且不計(jì)軸向伸縮形變，只考慮俯仰角θ和偏航角φ方向的撓度，利用哈密頓原理給出混合動力學(xué)方程的變分形式

式中:T為系統(tǒng)動能;U為系統(tǒng)彈性勢能;W為外力做功。超空泡射彈分別受到頭部流體阻力和升力(合力Fa沿軸向)以及尾部尾拍力F1，其中尾拍力表達(dá)形式為

式中:K(θ)為俯仰角θ的函數(shù);rI(l)為射彈尾部與空泡壁面接觸的臨界坐標(biāo)。

圖9給出超空泡射彈坐標(biāo)系定義及變形示意圖。定系O(x0，y0，z0)，原點(diǎn)在超空泡射彈頭部，空泡軸線坐落在x0軸上;動系為彈體坐標(biāo)系Or(x，y，z)。當(dāng)射彈做彈性運(yùn)動時(shí)，泛點(diǎn)y方向撓度定義為v(x，t)，z向撓度定義為w(x，t)，泛點(diǎn)坐標(biāo)可以定義為

式(25)對時(shí)間t微分可得泛點(diǎn)速度

圖9 坐標(biāo)系定義及變形示意圖Fig.9 Scheme of coordinate system and its deformation

由于超空泡射彈一般具有較大的長細(xì)比，將其考慮為歐拉-伯努利梁模型處理。當(dāng)超空泡射彈發(fā)生彈性變形時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有4個(gè)自由度分別描述y向和z向的位移和轉(zhuǎn)角。因此，射彈單元位移定義為

式中:i，j分別為單元的起點(diǎn)和終點(diǎn)編號;vx，wx分別為y向和z向轉(zhuǎn)角。因此，射彈撓度可表達(dá)為

式中［N1(x)］和［N2(x)］為形函數(shù)。

動力學(xué)系統(tǒng)的動能T、彈性勢能U和尾拍力做功WI分別為:

式中:ρm為射彈材料密度;E為彈性模量;Iy和Iz分別為y向和z向慣性矩;Fa為射彈頭部受到的流體阻力。

將式(25)～式(28)代入式(29)～式(31)，最終可得系統(tǒng)動力學(xué)微分方程有限元形式為

式中:［M］，［K］和［Kg］分別為系統(tǒng)單元質(zhì)量矩陣、單元剛度矩陣和幾何剛度矩陣［49］;［G(θ)］為與K(θ)相關(guān)的矩陣;{q}為射彈彈性位移矩陣;{Φ}={θ φ}T為射彈剛體運(yùn)動自由度矩陣;{F}為廣義力;［J(θ)］和［a(θ)］分別為射彈剛體轉(zhuǎn)動慣量和耦合慣性距，可表示為

式中Jy0和Jz0分別為超空泡射彈繞頭部的轉(zhuǎn)動慣量。It表達(dá)為

4 結(jié)語

高速超空泡射彈理論及數(shù)值分析技術(shù)尚未完善，有待于進(jìn)一步發(fā)展。利用基于N-S求解、考慮空化、湍動和流體可壓縮性的CFD方法，準(zhǔn)確描述非定常、跨聲速及超聲速狀態(tài)下的空泡形態(tài)以及高速射彈尾拍載荷等問題，是超空泡射彈尾拍流體動力學(xué)研究的努力方向。

隨著流固耦合技術(shù)的不斷發(fā)展，結(jié)構(gòu)有限元將能夠更好地和上述CFD技術(shù)結(jié)合進(jìn)行耦合運(yùn)算，建立更準(zhǔn)確的超空泡射彈尾拍動力學(xué)模型，進(jìn)一步發(fā)展超空泡射彈運(yùn)動的流固耦合方法是超空泡射拍尾拍結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究的努力方向。

高速超空泡射彈自由飛行的實(shí)驗(yàn)對于超空泡射彈尾拍的研究也具有重要意義，目前實(shí)驗(yàn)研究受實(shí)驗(yàn)條件的限制較大，需要進(jìn)一步提高實(shí)驗(yàn)測試能力，改進(jìn)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。超空泡射彈真實(shí)擾動的實(shí)驗(yàn)?zāi)M，不同發(fā)射速度、不同擾動角速度以及射彈裝配匹配等問題將是今后實(shí)驗(yàn)研究的主要方向。

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