倪春光

(91388部隊(duì)，廣東 湛江524022)

0 引言

對(duì)于非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，當(dāng)噪聲是高斯時(shí)，傳統(tǒng)的解決方法是擴(kuò)展卡爾曼濾波 (EKF)和無(wú)跡卡爾曼濾波 (UKF)。當(dāng)噪聲是非高斯時(shí)，人們提出了粒子濾波 (PF)、無(wú)跡粒子濾波 (UPF)等。PF是一種基于蒙特卡羅方法的貝葉斯?fàn)顟B(tài)估計(jì)算法，通過(guò)一組歸一化權(quán)值的粒子來(lái)近似表示后驗(yàn)概率密度，其建議分布是先驗(yàn)概率密度，具有計(jì)算簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，但由于其建議分布沒(méi)有包含新的測(cè)量信息，其粒子的使用效率不高。而UPF采用UKF來(lái)計(jì)算建議分布，其中UKF對(duì)高斯隨機(jī)變量的均值和方差可以精確到三階，并結(jié)合新的測(cè)量信息，可以使建議分布更好地逼近后驗(yàn)概率密度，但是運(yùn)算量很大。

本文提出一種新的粒子濾波 (MUPF)，與傳統(tǒng)的UPF相比，它介紹了一種輔助模型并且利用輔助模型和UKF來(lái)產(chǎn)生粒子的建議分布，從而提高計(jì)算的精確度。

1 粒子濾波

1.1 貝葉斯估計(jì)原理

假定動(dòng)態(tài)時(shí)變系統(tǒng)可描述為

系統(tǒng)方程:

量測(cè)方程:

若已知狀態(tài)的初始概率密度函數(shù)p(x0|y0)=p(x0)，則狀態(tài)預(yù)測(cè)方程和狀態(tài)更新方程分別為

其中 p(yk|y0:k－1)=∫p(yk|xk)p(xk|y0:k－1)dxk，由于其積分的復(fù)雜貝葉斯遞歸濾波很難實(shí)現(xiàn)，如果系統(tǒng)為高斯線性空間模型，可以通過(guò)卡爾曼濾波得到最優(yōu)的狀態(tài)估計(jì)。對(duì)于非高斯非線性系統(tǒng)，如何快速計(jì)算積分是研究濾波算法的核心問(wèn)題。

1.2 粒子濾波算法

當(dāng)無(wú)法從后驗(yàn)分布p(x0:k|y0:k)中直接采樣時(shí)，可以找一個(gè)容易采樣的密度分布函數(shù)q(x0:k|y0:k)(建議分布)中采樣。

令w(x0:k)為重要性權(quán)值:

對(duì)任何可積函數(shù)的期望可以近似為

PF的實(shí)現(xiàn)步驟如下:

1)初始化k=0

2)計(jì)算重要性權(quán)值

粒子權(quán)值更新方程:

3)歸一化重要性權(quán)值

4)重采樣

5)返回狀態(tài)估計(jì)值

隨著迭代次數(shù)的增加，重要性權(quán)值的分布變得越來(lái)越傾斜，有可能出現(xiàn)粒子匱乏現(xiàn)象，為了避免粒子匱乏，Goden等提出了重采樣方法，其主要思想就是去掉那些權(quán)值小的粒子，復(fù)制權(quán)值大的粒子。

2 UPF原理

3 一種新的UPF濾波算法

稱式(1)和式(2)為主模型，這里主要介紹一種輔助模型并使用UKF和它共同來(lái)產(chǎn)生建議分布。

3.1 輔助模型

定義輔助模型為

其中:mk為一個(gè)小方差高斯噪聲，觀測(cè)噪聲nk和式 (2)中的vk認(rèn)為是一樣的。如果h(·)是線性的，nk是高斯噪聲，卡爾曼濾波就可以對(duì)rk進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。在實(shí)際環(huán)境中，h(·)往往是非線性的，可以使用UKF來(lái)對(duì)rk進(jìn)行估計(jì)。

3.2 MUPF算法

MUPF的算法步驟如下:

1)初始化

2)重要性采樣

3)重要性權(quán)值

當(dāng)i=2，…，N時(shí)，

歸一化權(quán)值

4)重采樣

4 仿真試驗(yàn)

為了證明MUPF的性能，考慮一個(gè)非線性非高斯模型。

其中，w=4e-2，uk服從Gamma(3，2)分布，觀測(cè)噪聲vk服從高斯分布N(0，10-5)，目標(biāo)的初始狀態(tài)x0=1，經(jīng)過(guò)100次蒙特卡羅仿真，每次仿真時(shí)間是60 s，采樣間隔為1 s。1次獨(dú)立試驗(yàn)的均方根誤差定義為

圖1表示MUPF使用20個(gè)粒子與其他濾波器對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，圖2為采用EKF，UKF，PF，UPF及MUPF濾波算法對(duì)狀態(tài)估計(jì)的均方根誤差曲線圖。

表1給出了粒子數(shù)為20的時(shí)候，各個(gè)濾波器的RMSE。

表1 RMSE的均值和方差Tab.1 Mean value and variance of RMSE

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新的粒子濾波算法 (MUPF)用來(lái)估計(jì)非線性非高斯系統(tǒng)的狀態(tài)。一般情況下，粒子濾波的主要問(wèn)題是對(duì)建議分布的選擇，它很大程度上決定著濾波的性能。UPF通過(guò)UKF的一步預(yù)測(cè)來(lái)構(gòu)建建議分布，由于UKF存在缺陷，使得建議分布不能與后驗(yàn)概率密度得到很好的近似。MUPF通過(guò)使用輔助模型與UKF來(lái)構(gòu)造建議分布，更好地逼近了后驗(yàn)概率密度。仿真結(jié)果表明，新的粒子濾波算法使用很少的粒子就可以達(dá)到很高的精度。

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