王 鵬, 高鵬程

(1. 西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 中國(guó)支付體系研究中心, 成都 611130； 2. 浙江淘寶商城技術(shù)有限公司, 杭州 311121)

0 引 言

大額實(shí)時(shí)支付系統(tǒng)是我國(guó)現(xiàn)代化支付系統(tǒng)的重要組成部分, 采取逐筆實(shí)時(shí)方式處理支付業(yè)務(wù), 全額清算資金。它是連接社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)及其資金運(yùn)行的“大動(dòng)脈”, 在金融基礎(chǔ)設(shè)施中處于核心地位。毋庸置疑, 大額系統(tǒng)是典型的復(fù)雜系統(tǒng)。近些年來(lái), 對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的研究涌現(xiàn)出了一些新理論、 新方法, 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無(wú)疑是其中最卓有成效的理論之一[1]。由于大額系統(tǒng)具有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的3個(gè)典型特征： 總體結(jié)構(gòu)復(fù)雜、 節(jié)點(diǎn)行為復(fù)雜和各種復(fù)雜因素相互影響[2]。因此, 用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究支付系統(tǒng), 不僅是可行的, 而且有可能獲得很多傳統(tǒng)方法無(wú)法得到的結(jié)果, 這已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界和業(yè)界的共識(shí)[3,4], 并且產(chǎn)生了一大批成果[5-9]。

在現(xiàn)有的成果中, 有很大一部分工作集中于支付網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)的研究。這是因?yàn)榱私庵Ц毒W(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是進(jìn)一步工作的基礎(chǔ)。而在支付網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)中, 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布又是最重要的。筆者主要研究我國(guó)2006～2009年間大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布問(wèn)題。以地區(qū)為頂點(diǎn), 以地區(qū)之間的交易金額和交易筆數(shù)為邊權(quán)重, 建立交易金額復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型和交易筆數(shù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。這是將大額支付系統(tǒng)的交易數(shù)據(jù)按照其地區(qū)的屬性重新組織, 從地區(qū)角度研究支付系統(tǒng)交易資金流, 更加強(qiáng)調(diào)支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟(jì)意義。大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流網(wǎng)絡(luò)所反映的不是支付系統(tǒng)本身的風(fēng)險(xiǎn)、 擁塞等問(wèn)題, 也不是對(duì)直接參與者的流動(dòng)性研究, 而是反映區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展、 地區(qū)間經(jīng)濟(jì)往來(lái)、 資金流量等方面的問(wèn)題, 從宏觀的角度為區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展策略、 國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略提供更有價(jià)值的參考信息。

1 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布及其估計(jì)方法

從邊是否被賦權(quán)的角度看, 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可被分為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)和有權(quán)網(wǎng)絡(luò)兩類(lèi)。對(duì)于無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)而言, 度分布、 平均路徑長(zhǎng)度和聚集系數(shù)等都是描述其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要參數(shù)。其中度分布在多數(shù)情況下是最重要的。因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)重要性的刻畫(huà)、 確定是否為同構(gòu)圖等問(wèn)題上, 都要以度分布函數(shù)為依據(jù)[1,2]。而對(duì)于有權(quán)網(wǎng)絡(luò)而言, 由于各條邊都是帶權(quán)的, 因此度分布的概念就變?yōu)楣?jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布?？梢哉f(shuō)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布是度分布概念的推廣。

1.1 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的概念

節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)區(qū)別于無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)的重要幾何量, 它類(lèi)似于無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)中度的概念, 也是一個(gè)測(cè)量節(jié)點(diǎn)重要程度的拓?fù)鋮?shù)。一個(gè)節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)度si是指與其所連接的所有邊的權(quán)重之和, 即

(1)

其中Γi為i的鄰居節(jié)點(diǎn)集合。在不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中, 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度有著不同的含義。如, 在航空網(wǎng)絡(luò)中, 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度表示一個(gè)站點(diǎn)的運(yùn)輸能力； 而科研合作網(wǎng)絡(luò)中, 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度表示一個(gè)科研學(xué)者科研能力的強(qiáng)弱。與度分布的概念類(lèi)似, 在有權(quán)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度也有自己的分布。

1.2 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的估計(jì)方法

大量的研究表明, 多數(shù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò), 包括支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)分布服從冪律分布[1,10-14]。冪律(Power Law)分布是一種特殊的數(shù)量關(guān)系, 當(dāng)一個(gè)事件的發(fā)生頻率與該事件的某個(gè)屬性之間是一種冪函數(shù)的關(guān)系時(shí), 稱(chēng)該事件的發(fā)生頻率服從冪律分布?？衫斫鉃樵谝粋€(gè)系統(tǒng)中, 規(guī)模較小的事件會(huì)經(jīng)常發(fā)生, 但規(guī)模很大的事件卻極少發(fā)生。冪律分布有一個(gè)獨(dú)特的現(xiàn)象, 被稱(chēng)為“長(zhǎng)尾現(xiàn)象”, 就像一個(gè)國(guó)家的國(guó)民收入, 少部分人掌握著國(guó)家的大部分財(cái)富, 而大部分人只擁有很少財(cái)富, 即經(jīng)常說(shuō)的“二八定律”, 實(shí)際上二八定律也是對(duì)長(zhǎng)尾理論的粗略描述。冪律分布的一般表達(dá)式可以表示為：p(x)=Cx-α。

當(dāng)發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)具有冪律分布性質(zhì)時(shí), 為精確掌握數(shù)據(jù)的分布, 需要對(duì)冪律分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。通常情況下使用最小二乘法對(duì)冪指數(shù)進(jìn)行估計(jì), 但最小二乘對(duì)冪指數(shù)的估計(jì)有可能產(chǎn)生不準(zhǔn)確的結(jié)果[15], 因此筆者選擇了極大似然估計(jì)方法。

在冪律分布的分布函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)需要估計(jì)： 冪指數(shù)α和分布下界xmin。雖然在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中有大量服從冪律分布的現(xiàn)象存在, 但是, 大部分樣本都不完全服從冪律分布, 一般的情況是大于某一個(gè)最小值xmin的數(shù)據(jù)服從冪律分布, 這時(shí)稱(chēng)xmin為冪律分布的下界, 在估計(jì)α?xí)r假設(shè)xmin已知, 并來(lái)自樣本。極大似然估計(jì)法的基本思想是： 在一次觀測(cè)中某一事件出現(xiàn)了, 則認(rèn)為此事件出現(xiàn)的可能性很大。在概率論中, 密度函數(shù)p(x,α)扮演了重要角色。當(dāng)α已知時(shí),p(x,α)顯示概率密度函數(shù)隨x變化的情況。而當(dāng)有了樣本數(shù)據(jù)x后, 則可考慮對(duì)不同的α, 概率密度的變化情況, 它反映了對(duì)x的解釋能力, 這便是似然。極大似然估計(jì)就是要尋找使這種可能性或似然達(dá)到最大的未知參數(shù)α。

進(jìn)行極大似然估計(jì)要得到樣本的聯(lián)合密度函數(shù), 即似然函數(shù)為

(2)

對(duì)式(2)兩邊同時(shí)求對(duì)數(shù)得

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為求P(x)的最大值, 即求L(α)的最大值, 令

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其中xi∈{xi≥xmin(i=1,2,3,…,n)}, 標(biāo)準(zhǔn)差為

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在進(jìn)行極大似然估計(jì)時(shí), 首先假定樣本服從冪律分布, 然后求出似然函數(shù)和使似然函數(shù)值最大的參數(shù)做為冪指數(shù)的估計(jì)。極大似然估計(jì)并不會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)是否服從冪律分布進(jìn)行檢驗(yàn), 其估計(jì)值是擬合極大似然估計(jì)最好的值。所以, 在參數(shù)估計(jì)之后需要對(duì)樣本是否服從冪律分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

對(duì)樣本是否服從冪律分布進(jìn)行檢驗(yàn)的一個(gè)可行的辦法是檢驗(yàn)樣本和冪律分布數(shù)據(jù)的距離, 如果距離很大, 則樣本不服從冪律分布； 反之, 則服從冪律分布。由于KS檢驗(yàn)對(duì)非正態(tài)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)非常有效, 所以在檢驗(yàn)冪指數(shù)時(shí)選擇了KS檢驗(yàn)。KS檢驗(yàn)計(jì)算距離的公式為

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其中S(x)為樣本中大于xmin的數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù),P(x)為x>xmin的冪律分布的累積分布函數(shù)。

生成服從某種分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)有很多種方法, 筆者采用簡(jiǎn)單而有效的轉(zhuǎn)換法[16]。設(shè)p(x)為x>xmin的概率密度函數(shù),r為(0,1)上服從均勻分布的隨機(jī)變量, 概率密度函數(shù)p(x)和p(r)關(guān)系如下

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根據(jù)x的累積分布函數(shù)可得

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求得

x=xmin(1-r)-1/(α-1)

(10)

根據(jù)冪律分布的生成規(guī)則進(jìn)行KS檢驗(yàn)。首先, 估計(jì)原始數(shù)據(jù)的冪指數(shù)α, 然后根據(jù)生成規(guī)則生成大量服從冪指數(shù)為α、 下界為xmin的冪律分布數(shù)據(jù), 最后用原始數(shù)據(jù)和生成的數(shù)據(jù)做KS檢驗(yàn)。為得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果, 在生成的測(cè)試數(shù)據(jù)中, 大于xmin部分的應(yīng)該服從冪律分布, 小于xmin的部分的分布應(yīng)該和原始數(shù)據(jù)相同。假設(shè)原始數(shù)據(jù)樣本量為n,x>xmin的樣本量為ntail, 服從冪指數(shù)為α、 下界為xmin的冪律分布數(shù)據(jù)為xpl, 原始數(shù)據(jù)中x

2 數(shù)據(jù)描述和網(wǎng)絡(luò)生成

筆者的研究對(duì)象是2006～2009年大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流, 時(shí)間單位為年, 包括北京、 天津、 河北、 山西、 內(nèi)蒙古、 遼寧、 吉林、 黑龍江、 上海、 江蘇、 浙江、 安徽、 福建、 江西、 山東、 河南、 湖北、 湖南、 廣東、 深圳、 海南、 廣西、 重慶、 四川、 貴州、 云南、 西藏、 陜西、 甘肅、 青海、 寧夏、 新疆共32個(gè)地區(qū), 其中深圳為單獨(dú)樣本, 不從屬于廣東。數(shù)據(jù)來(lái)源于《中國(guó)支付體系發(fā)展報(bào)告》(2006～2009)公布的大額支付系統(tǒng)地區(qū)間資金流量流向情況年報(bào)表, 包括交易金額和交易筆數(shù)兩個(gè)方面。

如果使用原始數(shù)據(jù), 則資金流網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該是一個(gè)有向加權(quán)帶環(huán)的完全網(wǎng)絡(luò)。為把要研究的問(wèn)題簡(jiǎn)單化并盡量保持原有數(shù)據(jù)的信息, 將每?jī)蓚€(gè)地區(qū)間的資金往來(lái)加總, 把有向的資金流網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成無(wú)向資金流網(wǎng)絡(luò), 消除資金往來(lái)的方向性, 這樣在保持了數(shù)據(jù)的原有信息下更方便觀察網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。同時(shí), 筆者要研究的是地區(qū)間的資金流網(wǎng)絡(luò), 所以不考慮地區(qū)內(nèi)部的資金流轉(zhuǎn), 體現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上是一個(gè)去環(huán)的過(guò)程。至此, 研究對(duì)象就成為一個(gè)具有32個(gè)節(jié)點(diǎn)、 496條邊的無(wú)向無(wú)環(huán)加權(quán)的完全網(wǎng)絡(luò)。

觀察網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的最直觀的方法是以圖形的方式畫(huà)出其結(jié)構(gòu)。這里選取了2006年的交易金額和交易筆數(shù)的網(wǎng)絡(luò)圖做為例子進(jìn)行展現(xiàn), 如圖1所示。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3 大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布研究

筆者所研究的大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)固定、 完全連通的網(wǎng)絡(luò), 節(jié)點(diǎn)的度均相同, 對(duì)節(jié)點(diǎn)度分布的研究的現(xiàn)實(shí)意義不大, 因此研究的重點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的分布。大量對(duì)其他國(guó)家支付系統(tǒng)的實(shí)證研究顯示, 支付網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布普遍具有冪律分布的性質(zhì)[10-12]。

3.1 大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布

通過(guò)使用極大似然估計(jì)方法, 同時(shí)進(jìn)行KS檢驗(yàn), 進(jìn)行了多次估計(jì)取均值的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度擬合, 效果如圖2所示。

a 2006年 b 2007年

c 2008年 d 2009年

從擬合圖上發(fā)現(xiàn)交易金額網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度并不完全服從冪律分布, 在每個(gè)分布圖的前部都會(huì)有垂頭的現(xiàn)象存在, 這部分?jǐn)?shù)據(jù)不符合冪律分布, 而之后的大部分?jǐn)?shù)據(jù)具有較好的擬合效果, 都分布在擬合直線的周?chē)?。具體的估計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 交易金額網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布擬合結(jié)果

其中mlea為冪指數(shù)α的估計(jì)結(jié)果, std為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差, l_xmin為冪律分布下界位置比例。首先從分布下界的位置比例來(lái)看, 除了頭部的幾個(gè)數(shù)據(jù), 樣本基本服從冪律分布, 其均值為1.418, 交易金額網(wǎng)絡(luò)邊權(quán)分布的冪指數(shù)均值為1.4, 二者幾乎相等。某節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)度是與其相連的邊的權(quán)重之和, 這就決定了節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的分布和邊的權(quán)重有很大關(guān)系, 它與通常度所代表的含義有很大區(qū)別。

交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布擬合圖如圖3所示。

a 2006年 b 2007年

c 2008年 d 2009年

交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布和交易金額網(wǎng)絡(luò)一樣, 不完全服從冪律分布。其節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的前部和交易金額略有不同, 每年節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的前部都有一個(gè)小的波動(dòng), 交易金額節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布前部雖然有垂頭現(xiàn)象, 但整體上沒(méi)有波動(dòng)。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度除了小部分的前部數(shù)據(jù)不符合冪律分布外, 大部分?jǐn)?shù)據(jù)都服從冪律分布, 并且其節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布中處于冪律分布下界之上的數(shù)據(jù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下更接近于直線。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的冪律分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布擬合結(jié)果

冪律分布下界位置比例顯示, 只有少數(shù)樣本不服從冪律分布, 大部分的樣本服從冪律分布, 其均值為1.5, 與交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)邊權(quán)分布的冪指數(shù)估計(jì)值有所區(qū)別, 但差距不大。

圖4 節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布冪指數(shù)趨勢(shì)圖

雖然交易金額網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度和交易筆數(shù)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度在各自的冪律分布下界之上都服從冪律分布, 但其冪律分布的冪指數(shù)有區(qū)別。從圖4中可看出, 2006～2009年交易筆數(shù)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的冪指數(shù)始終大于交易金額網(wǎng)絡(luò)。盡管兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的冪指數(shù)的大小不同, 但其變化趨勢(shì)十分一致。

3.2 閾值變化對(duì)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布參數(shù)的影響

驗(yàn)大額支付系統(tǒng)的地區(qū)間資金流網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)加權(quán)的完全網(wǎng)絡(luò), 雖然節(jié)點(diǎn)之間完全連通, 節(jié)點(diǎn)度都相同, 但節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度卻因?yàn)檫厵?quán)的不同而有很大差異。無(wú)論是交易金額網(wǎng)絡(luò)還是交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò), 其邊權(quán)的分布具有右偏態(tài)特征和長(zhǎng)尾特性。鑒于邊權(quán)的這種特征, 必將關(guān)注權(quán)重對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響。為了研究這種影響筆者也采用了設(shè)置閾值的方法。在研究權(quán)重較小的邊對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響時(shí), 設(shè)置閾值從最小值開(kāi)始變化到最大值, 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)重小于設(shè)定的閾值時(shí), 則認(rèn)為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)有連接； 在研究權(quán)重很大的邊對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響時(shí), 設(shè)置閾值從最大值開(kāi)始變化到最小值, 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)重大于設(shè)定的閾值時(shí), 則認(rèn)為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)沒(méi)有連接。閾值每變化一次都會(huì)通過(guò)極大似然估計(jì)和KS檢驗(yàn)求得節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的冪指數(shù)。

為減小計(jì)算量, 設(shè)置閾值時(shí)采取了不等步長(zhǎng)的變化方法, 即在邊權(quán)較小時(shí), 閾值變化的步長(zhǎng)也小, 當(dāng)邊權(quán)較大時(shí), 閾值變化的步長(zhǎng)也大。閾值從小到大變化時(shí)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布冪指數(shù)變化如圖5所示。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢(shì) b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢(shì)

圖5中4條曲線分別代表4年的變化趨勢(shì)。交易金額網(wǎng)絡(luò)每年的變化趨勢(shì)基本相同, 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)也相同。兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布的冪指數(shù)都會(huì)隨著閾值的變大而變大, 但交易金額網(wǎng)絡(luò)的變化十分迅速, 其速度要遠(yuǎn)大于交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)。交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)從1.4左右開(kāi)始直線上升到1.8左右, 之后有一個(gè)相對(duì)平穩(wěn)的階段。隨著閾值變化到一個(gè)臨界值后, 其冪指數(shù)從1.8再次直線上升到3.0左右, 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生了較大的變化。而交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)則從1.5左右開(kāi)始隨著閾值的增長(zhǎng)緩慢增長(zhǎng), 在增長(zhǎng)過(guò)程中并沒(méi)有出現(xiàn)相對(duì)平穩(wěn)的階段, 而且其冪指數(shù)始終大于交易金額網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)閾值從大到小變化時(shí), 冪指數(shù)的變化也不相同, 如圖6所示。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)和交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)隨著閾值由大到小變化都經(jīng)歷了3個(gè)階段, 1) 平穩(wěn)變化期; 2) 快速上漲期; 3) 震蕩下降期。當(dāng)閾值較大時(shí), 交易金額網(wǎng)絡(luò)和交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)的變化都十分平穩(wěn), 去掉權(quán)重較大的邊不會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生太大的影響。閾值變化超過(guò)某個(gè)臨界值后, 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)都進(jìn)入了快速上漲期。交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)每年的冪指數(shù)增長(zhǎng)速度基本相同, 臨界值也基本相同, 但交易金額網(wǎng)絡(luò)則不相同, 2006年和2009年的網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)上升速度很大, 2007年和2008年基本上沒(méi)有太大的上升就進(jìn)入了震蕩下降期。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢(shì) b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)冪指數(shù)變化趨勢(shì)

從整體上看, 閾值從小到大變化和從大到小變化對(duì)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)影響的區(qū)間是相同的, 交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)變化區(qū)間在1.4～3.0之間, 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)變化在1.5～4.0之間。但是, 權(quán)重小的邊對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響大于權(quán)重大的邊。無(wú)論閾值從小到大變化還是從大到小變化, 當(dāng)閾值較小時(shí), 冪指數(shù)都會(huì)有相對(duì)強(qiáng)烈的震蕩, 而當(dāng)閾值較大時(shí), 冪指數(shù)則趨于穩(wěn)定。同時(shí), 交易金額網(wǎng)絡(luò)各年冪指數(shù)變化的臨界值也不相同。

4 支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)是近年來(lái)一個(gè)研究熱點(diǎn)[1], 探討網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)也成為必做的工作。通常, 人們用兩個(gè)指標(biāo)說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)： 聚集系數(shù)(Clustering Coefficients)和平均路徑長(zhǎng)度(Average Path Length)。根據(jù)Barrat算法, 節(jié)點(diǎn)i的聚集系數(shù)

(11)

其中ki為節(jié)點(diǎn)度,Ei為與節(jié)點(diǎn)i相鄰的節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)。整個(gè)網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)就是所有結(jié)點(diǎn)聚集系數(shù)的平均值。

平均路徑長(zhǎng)度

(12)

其中N是網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)總數(shù),dij是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑的邊數(shù)。

一個(gè)具有小世界特性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò), 應(yīng)該是同時(shí)具有較高聚集系數(shù)和較低的平均路徑長(zhǎng)度[1]。為進(jìn)一步說(shuō)明支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣? 按交易金額(單位： 億元)和筆數(shù)(單位： 萬(wàn)筆)兩個(gè)指標(biāo), 計(jì)算了對(duì)應(yīng)的聚集系數(shù)和平均路徑長(zhǎng)度, 以此來(lái)說(shuō)明支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的小世界特性。限于篇幅, 只給出2009年支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算結(jié)果(見(jiàn)圖7)。圖7中, 在相同的閾值下, 無(wú)論是對(duì)交易金額還是交易筆數(shù), 支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)同時(shí)具有較低的聚集系數(shù)和較高的平均路徑長(zhǎng)度。這些計(jì)算結(jié)果說(shuō)明大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不具有小世界特性。

a 交易金額網(wǎng)絡(luò) b 交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)

5 結(jié) 語(yǔ)

以地區(qū)為節(jié)點(diǎn), 以交易金額和交易筆數(shù)為邊建立的大額支付系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度分布基本都服從冪律分布。另外, 兩個(gè)冪指數(shù)有所不同, 交易金額網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)總是大于交易筆數(shù)網(wǎng)絡(luò)的冪指數(shù)。通過(guò)改變邊權(quán)的閾值也會(huì)改變網(wǎng)絡(luò)到冪指數(shù)。冪指數(shù)的變化還有一個(gè)臨界現(xiàn)象存在, 當(dāng)閾值大于某個(gè)臨界值時(shí), 冪指數(shù)就會(huì)趨于穩(wěn)定, 而小于該臨界值時(shí), 冪指數(shù)就會(huì)強(qiáng)烈的波動(dòng), 該臨界值還會(huì)使網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大的變化。最后, 探討了支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì), 指出大額支付系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有小世界特性。

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