王 芳, 袁 哲

(白城師范學(xué)院 傳媒學(xué)院, 吉林 白城 137000； 吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院, 長春 130022)

0 引 言

公鑰密碼是信息安全和可信計(jì)算的精髓和核心。到目前為止, 已經(jīng)提出了很多種不同的公鑰密碼體制, 其可分成兩大類： 1) 基于大整數(shù)因子分解的公鑰密碼, 如RSA公鑰密碼體制； 2) 基于離散對(duì)數(shù)問題的公鑰密碼, 如ECC(Error Correcting Code)公鑰密碼體制。隨著科技的進(jìn)步, 量子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)對(duì)RSA和ECC公鑰密碼構(gòu)成了巨大威脅。因此, 急需尋找一種新的公鑰密碼替代這些安全性受到威脅的公鑰密碼[1-4]。

隨著密碼技術(shù)的快速發(fā)展, 20世紀(jì)數(shù)學(xué)將成為下一代公鑰密碼的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。有限域中的多變?cè)畏匠探M問題(MQ: Multivariate Quadratic)是被廣泛認(rèn)可的一種替代方案。目前人們已經(jīng)研究出了一些基于MQ問題比較成型的方案, 其中主要方案有隱藏域方程(HFE: Hidden Field Equations)、 UOV(Unbalanced Oil and Vinegar Scheme)、 STS (Stepwise Triangular Systems)、 MIC*(Matsumoto-Imai Scheme)、 ιIC(ι-Invertible Cycles)。雖然有人經(jīng)過深入研究, 提出了一些對(duì)MQ問題的攻擊方案[1], 但人們針對(duì)這些攻擊方案, 已將這些基本方案進(jìn)行了變形, 如(HFEv-)、 STS(UOV)、 (ιICi+)等[5,6]。

基于MQ問題的公鑰密碼具有較好的發(fā)展前景, 具有加密速度和驗(yàn)證簽名速度快, 抵御量子攻擊潛力大等優(yōu)點(diǎn)。筆者借鑒了HFE公鑰密碼的設(shè)計(jì)思想[7-13], 構(gòu)造出一種應(yīng)用靈活, 安全性更高的函數(shù), 即單向殼核函數(shù)。

1 HFE公鑰密碼原理

此求解問題是基于解有限域上的MQ問題, 是NP困難問題[5-13]。HFE公鑰密碼體制正屬于這樣的MQ問題, 其加密/解密過程如圖1所示。

圖1 HFE公鑰密碼加密/解密過程

1) 確定參數(shù)。① 確定基本有限域Fq和元組n； ② 構(gòu)造的可逆線性變換S, 可逆非線性變換P以及可逆線性變換T； ③ 根據(jù)第②步所得, 計(jì)算公鑰Kθ=T°P°S, 用于加密； ④ 把S、P、T的逆函數(shù)(S-1,P-1,T-1)作為私鑰Kd, 用于解密。

2) 加密過程。利用公鑰Kθ, 加密明文x, 得到密文y=EKθ(x)=T(P(S(x)))。

3) 解密過程。利用私鑰Kd, 解密所得的密文y, 對(duì)密文先做T-1(y)運(yùn)算, 然后做P-1(T-1(y))運(yùn)算, 最后做S-1(P-1(T-1(y)))得到明文x。

2 單向殼核函數(shù)的構(gòu)造

2.1 單向殼核函數(shù)的引入

圖2 單向函數(shù)結(jié)構(gòu) 圖3 單向陷門函數(shù)結(jié)構(gòu)

由單向函數(shù)的定義可知, 當(dāng)x已知時(shí), 計(jì)算y=f(x)非常容易, 而當(dāng)y已知, 求解x滿足y=f(x), 則非常困難。所以, 單向函數(shù)類似于將已知的x放入封閉的盒子里(見圖2)。

已知陷門k的條件下, 求解x, 使y=f(x)是非常容易的。由此可見, 單向陷門函數(shù)類似于將已知的x放入到帶有暗門的盒子里(見圖3)。

結(jié)合單向函數(shù)及單向陷門函數(shù)各自的結(jié)構(gòu)特點(diǎn), 筆者提出了一種特點(diǎn)更鮮明的單向殼核函數(shù), 這種函數(shù)的兩種結(jié)構(gòu)如圖4所示。

a 第1種結(jié)構(gòu) b 第2種結(jié)構(gòu)

圖4引入了殼函數(shù)S、 核函數(shù)C、 剝殼函數(shù)S-1與剝核函數(shù)C-1。其中, 單向殼核函數(shù)SC(x)=S°C(x)=S(C(x)), 即殼函數(shù)S及核函數(shù)C二者的復(fù)合計(jì)算。

2.2 基于HFE公鑰密碼體制的構(gòu)造方案

圖5 基于HFE思想所構(gòu)造的單向殼核函數(shù)的原理圖

單向殼核函數(shù)的概念以及兩種結(jié)構(gòu)已經(jīng)被引入, 下面將利用HFE公鑰密碼的設(shè)計(jì)思想構(gòu)造單向殼核函數(shù)的第1種結(jié)構(gòu), 即殼函數(shù)S與核函數(shù)C同為單向函數(shù)?；贖FE公鑰密碼所構(gòu)造的單向殼核函數(shù)的原理如圖5所示。

殼函數(shù)S和核函數(shù)C具有相同的構(gòu)造形式, 類似于HFE公鑰密碼變換過程中的函數(shù)P(x)。它們的相同點(diǎn)是： 具有相似的結(jié)構(gòu), 又都是在F的擴(kuò)展域E上進(jìn)行運(yùn)算。不同點(diǎn)是： HFE中的P(x)是可逆變換, 為了確保P(x)可逆, 其中常數(shù)r不能太大； 而單向殼核函數(shù)中的殼函數(shù)S與核函數(shù)C都是單向函數(shù), 無需滿足可逆性, 其中常數(shù)r可以很大。

2.3 安全分析

1) GB方法與XL方法。由于XL方法可以看成是GB方法的一個(gè)特例, 只需說明單向殼核函數(shù)可以抵抗GB攻擊即可。對(duì)于隨機(jī)選取的MQ方程組, 當(dāng)m≤n時(shí), 計(jì)算GB時(shí)所產(chǎn)生的中間多項(xiàng)式的次數(shù)往往增長快速, 為O(2n)。所以, 當(dāng)n取值較大時(shí), 此類算法在空間和時(shí)間上不可行。當(dāng)選取的單向殼核函數(shù)的MQ方程組具有真隨機(jī)性, 在m≤n時(shí), 計(jì)算GB時(shí)所產(chǎn)生的中間多項(xiàng)式的次數(shù)增長快速, 當(dāng)n取值很大時(shí), 此類算法在空間和時(shí)間上不可行。單向殼核函數(shù)的殼函數(shù)S(x)和核函數(shù)C(x)是單向不可逆的, 導(dǎo)致多項(xiàng)式的次數(shù)會(huì)很大。因此, GB方法與XL方法對(duì)單向殼核函數(shù)無法進(jìn)行有效的攻擊。

2) 重線性化方法。重線性化次數(shù)的增大, 導(dǎo)致線性相關(guān)方程數(shù)量也在迅速增加, 且這種方法僅適用于超定義的MQ方程組。對(duì)于HFE公鑰密碼的攻擊, 重線性化方法主要利用P(x)變換的可逆性(常數(shù)r不能太大)這個(gè)弱點(diǎn)進(jìn)行攻擊的。這種攻擊方法對(duì)HFE的攻擊有效, 但對(duì)單向殼核函數(shù)卻毫無作用。因?yàn)閱蜗驓ず撕瘮?shù)的殼函數(shù)S(x)與核函數(shù)C(x)都為單向函數(shù), 不可逆, 要求r很大。但r的不斷增大, 導(dǎo)致線性相關(guān)的方程數(shù)量迅速增長, 次數(shù)也隨之變大。因此, 重線性化方法對(duì)單向殼核函數(shù)無法進(jìn)行有效的攻擊。

3) DR方法。DR方法只是對(duì)E(x1,…,xn)稀疏時(shí)有效, 否則Dixon矩陣的尺寸至少為O(2n), 易知DR方法對(duì)于求解一般MQ方程組的實(shí)際意義不大。在選取單向殼核函數(shù)的MQ方程組時(shí), 可以選擇具有真隨機(jī)性的MQ方程組。因此, DR方法對(duì)單向殼核函數(shù)無法進(jìn)行有效攻擊。

4) 指定變?cè)ā＜偃鐀較小, 則可任意給定r個(gè)變?cè)? 使m>(n-r), 倘若m個(gè)方程和n-r個(gè)變?cè)腗Q問題可解, 可以用GB、 XL等方法求解。但由于可選具有真隨機(jī)性的單向殼核函數(shù)MQ方程組, 函數(shù)具有單向性的特征, 指定變?cè)▽?duì)單向殼核函數(shù)的攻擊仍然無用。

3 結(jié) 語

筆者引入了單向殼核函數(shù)公鑰密碼體制, 根據(jù)HFE公鑰密碼的設(shè)計(jì)思想, 構(gòu)造了單向殼核函數(shù), 并給予了安全性分析, 證明了該新型的公鑰密碼具有很強(qiáng)的安全性。單向殼核函數(shù)的提出, 給出了一種新型的公鑰密碼體制, 經(jīng)過深入研究, 將會(huì)具有更廣闊的應(yīng)用前景。

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