江蘇省豐縣中學(xué) 曹 軍 （郵編：221700）

向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)好幾年了.關(guān)于向量法，近幾年數(shù)學(xué)期刊上的文章很多，但仔細(xì)品味所見(jiàn)諸例的解法，卻不免困惑：解題過(guò)于注重代數(shù)形式，忽視幾何性質(zhì)，以致運(yùn)用向量法解題時(shí)包含了大量的運(yùn)算，自然較為繁瑣.向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”是將向量引入中學(xué)教材的一個(gè)重要原因.既然教材引入了向量法，所謂用人用其長(zhǎng)處，那我們就要把向量的特點(diǎn)充分發(fā)揮出來(lái)，而不是穿新鞋走老路.筆者借此機(jī)會(huì)提供高三復(fù)習(xí)過(guò)程中處理的兩個(gè)教學(xué)片斷，供同行借鑒乃至有所啟迪.

片斷1 文［1］在第77頁(yè)有：如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，AE交BD于M，試用向量的方法證明：M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn).

教參和很多輔導(dǎo)書(shū)都給出了上述解法或者類(lèi)似的解題思路.筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)也是采用了上述解法.意料之外的是，看似簡(jiǎn)單常規(guī)的向量題目，卻在教學(xué)過(guò)程中發(fā)生了不小的意外.

師：很好，簡(jiǎn)潔明快，但請(qǐng)你注意本題的要求是用向量法證明.

事實(shí)上，生1提供的方法比向量法更簡(jiǎn)潔、更容易理解.初中生很容易解決的題目，到了高中反而越來(lái)越復(fù)雜了.此刻，如何向?qū)W生解釋向量法的先進(jìn)性就顯得尤為重要.否則，會(huì)給學(xué)生帶來(lái)向量法不如綜合幾何法的數(shù)學(xué)印象，也極有可能扼殺學(xué)生探索向量的欲望.

師：能否利用向量法非常簡(jiǎn)單地證明此題呢？

學(xué)生都陷入深深的思考中.

師：我們知道，平面向量基本定理的重要前提是兩向量e1、e2不共線(xiàn)，而結(jié)論有兩點(diǎn)：一是存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ1和λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2；二是這對(duì)實(shí)數(shù)是惟一的.這惟一性是說(shuō)：a＝λ1e1＋λ2e2＝k1e1＋k2e2，則必有λ1＝k1，λ2＝k2.在解題中常常用到這個(gè)惟一性，看似新事物，但仔細(xì)一琢磨不過(guò)是向量共線(xiàn)概念的直接推論.事實(shí)上，因?yàn)椋é?－k1）e1＝（λ2－k2）e2，而e1和e2不共線(xiàn)，兩端必然都是零向量，從而兩端的系數(shù)都是0，必有λ1＝k1，λ2＝k2.如果簡(jiǎn)明一點(diǎn)可以這樣說(shuō)，若向量a和b共線(xiàn)且c和d共線(xiàn)，但a和c不共線(xiàn)，則從a＋c＝b＋d可推出a＝b和c＝d.這種由一個(gè)等式獲取兩個(gè)等式的法則，在解題中帶來(lái)的好處是不言而喻的（如果是空間向量，則可以從一個(gè)等式獲取三個(gè)等式）.聯(lián)系這個(gè)結(jié)論你能解決此題嗎？

要讓學(xué)生掌握和熟練運(yùn)用某個(gè)知識(shí)，教師就要有意識(shí)地給學(xué)生提供該知識(shí)應(yīng)用的不同背景，學(xué)生只有在不同的背景中，形成了自覺(jué)運(yùn)用該知識(shí)的“思維定勢(shì)”時(shí)，才可以說(shuō)是真正掌握了知識(shí).為此，筆者又提供了一個(gè)問(wèn)題，供學(xué)生思考.

如圖2所示，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求證：AE＝CF.

筆者認(rèn)為引入向量法，首先要讓中學(xué)老師能夠感受到向量法的優(yōu)勢(shì)，而不是可有可無(wú)，更不是增加負(fù)擔(dān).單墫教授認(rèn)為，同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同解法，可以有美丑之分.簡(jiǎn)潔明快是一種數(shù)學(xué)美.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)然引導(dǎo)學(xué)生尋求更美的解題方法.解題及其教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，跟著學(xué)生的感覺(jué)走，努力尋求自然的解法，這才是最真實(shí)和最寶貴的.因此，我們要尋找向量法解題的自然解法：用向量法處理涉及交點(diǎn)問(wèn)題，其訣竅在于從一個(gè)涉及解題目標(biāo)的向量等式出發(fā)，利用題設(shè)條件和向量等式代換，盡量把等式中的向量都轉(zhuǎn)化到相交直線(xiàn)上，從而應(yīng)用平面向量基本定理獲取關(guān)鍵信息.心中只要有這個(gè)主見(jiàn)，絕大多數(shù)問(wèn)題都能迎刃而解.所以，教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生領(lǐng)略解題的核心方法，領(lǐng)略對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，領(lǐng)略對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).這些認(rèn)識(shí)在活動(dòng)中被反復(fù)利用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.

以下方法在教學(xué)中比教普遍（此處省略教學(xué)的探索過(guò)程）：

事實(shí)上，構(gòu)造數(shù)量積、建立坐標(biāo)系是向量問(wèn)題代數(shù)化的常用方法，這種思維方式學(xué)生已經(jīng)掌握.思路2對(duì)已知等式兩邊平方，實(shí)際上是兩個(gè)向量自身作了一次“點(diǎn)乘”.此題如果固步于以上解題思維，未在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生“探一探”，就會(huì)錯(cuò)失向量所具有的幾何形式.

師：還有別的解題思路嗎？

學(xué)生陷入了沉思.

在筆者的啟發(fā)下，同學(xué)們躍躍欲試.

生5：老師，我從上述解答中似乎看到了一個(gè)定值，但還不確定.

師：你說(shuō)說(shuō)看（此時(shí)，筆者的心還是比較忐忑的，按照教學(xué)設(shè)計(jì)該問(wèn)題已經(jīng)結(jié)束，筆者無(wú)法預(yù)測(cè)接下來(lái)會(huì)出現(xiàn)什么狀況.）.

師：此結(jié)論說(shuō)明：當(dāng)F在直線(xiàn)DE上的任意位置時(shí)，λ＋μ為定值t.你能聯(lián)系這一結(jié)論解決此題嗎？

至此，學(xué)生們都對(duì)生5的獨(dú)到見(jiàn)解給予肯定并給出熱烈的掌聲.

為使這種數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用更加深入人心，對(duì)它的應(yīng)用規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)更加豐富深刻，筆者又創(chuàng)設(shè)了如下的問(wèn)題情境，供學(xué)生思考：

從上面的兩個(gè)教學(xué)片斷來(lái)看，向量解題方法朝著更高的目標(biāo)提升，還有很大的空間.同時(shí)，從這里也可看出，不是向量法本身有問(wèn)題，而是沒(méi)有正確使用向量法來(lái)解題.因此，在使用向量法解決問(wèn)題的時(shí)候，無(wú)需死守套路，完全可以根據(jù)幾何意義列出等式，計(jì)算與圖形融為一體.關(guān)鍵在于領(lǐng)會(huì)向量幾何，其運(yùn)算不僅僅是數(shù)的運(yùn)算，還包括圖形的運(yùn)算，這是向量法解題的特點(diǎn).

基于以上兩個(gè)教學(xué)片斷，筆者認(rèn)為有以下幾點(diǎn)感悟：

第二，教師要注重閱讀.葉瀾教授說(shuō)過(guò)：“課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，再好的預(yù)設(shè)，也無(wú)法預(yù)知課堂教學(xué)中的全部細(xì)節(jié).”課堂的立足點(diǎn)是學(xué)生，教學(xué)的思路應(yīng)依照學(xué)生的思維和理解做出微調(diào)，只有這樣，在課堂上才會(huì)“撞出”智慧的火花.扎實(shí)、深厚的專(zhuān)業(yè)知識(shí)是進(jìn)行課堂微調(diào)的重要前提之一，而教師的專(zhuān)業(yè)知識(shí)的提高和閱讀是分不開(kāi)的.通過(guò)閱讀，教師一方面可以接觸數(shù)學(xué)的新思想、新思維、汲取先進(jìn)的教育理念為我所用；另一方面可以提高自身的解題能力.如果筆者沒(méi)有閱讀過(guò)文［2］、文［3］的話(huà)，在面對(duì)片斷1中生1的解答就不會(huì)“撞出”如此精彩的火花，而是平平淡淡的結(jié)束該問(wèn)題的解答，與此同時(shí)也會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.因此，閱讀對(duì)于教師而言至關(guān)重要.

第三，重視數(shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)，給學(xué)生提供高質(zhì)量的題目.中國(guó)有句古話(huà)說(shuō)：“授人以魚(yú)，不如授之以漁”，課堂上幫助學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法和思維方法非常重要，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).若教師總想按照自己的思路走，生怕學(xué)生不符合標(biāo)準(zhǔn)答案，而常常越俎代庖，學(xué)生只能被牽著鼻子走，學(xué)生根本也沒(méi)有從內(nèi)心真正接受這些知識(shí)，想要再讓他們能活用這些知識(shí)，就只能是一種奢望了.而數(shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)少不了高質(zhì)量的例題，按照波利亞的思想，要做一些“通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”的題目.要集中力量于某幾個(gè)真正有意義的問(wèn)題，通過(guò)發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，從容不迫且徹底地討論它們.

1 單墫等.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)4［M］.南京：江蘇教育出版社，2012

2 張景中，彭翕成.向量教學(xué)存在的問(wèn)題及對(duì)策［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（8）

3 張景中，彭翕成.繞來(lái)繞去的向量法［M］.北京：科學(xué)出版社，2010