河北省晉州市實驗中學 苑建廣 （郵編：052260）

《全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用”，數(shù)學教學要“重視直觀，處理好直觀與抽象的關系”.多年的教學實踐，對幾何直觀教學有些許感悟，今作梳理，希能對同仁有所啟示.

1 幾何直觀的內涵分析

“幾何直觀”是以圖形和直觀符號為活動要件，以直觀化的信息加工過程為形態(tài)的一種認知方式，能給數(shù)學探究提供有益、有趣的啟示，在數(shù)學活動中常常起著關鍵作用.學生形成和使用幾何直觀是有水平和層次差異的.

層次Ⅰ 建立和形成敏捷準確的幾何直覺——感覺與圖形相隨

在這一層次，幾何直觀能力表現(xiàn)在開始形成和使用數(shù)學概念、法則、問題的幾何表征或圖表的過程，呈現(xiàn)出以下特征：

（2）能根據(jù)需要畫出圖形，輔助思考.作圖是建立直觀形象的思維支柱.能根據(jù)幾何或自然語言想象并畫出圖形，通過視覺或操作圖形構成要素（線與角），感知圖形的結構、位置關系、數(shù)量關系與幾何特征，形成印象，進行分類，使頭腦內的形象與外在可感覺到的物體建立有力連接.直觀推理是幾何直觀的精髓，其基本要素是直觀判斷.我國古代數(shù)學家趙爽采用構造雙圖的方法，“看（證明）”出了勾股定理.幾何直觀雖然以直接觀察為基礎得到結論，但并不是無意識的，在視覺結構中的見解和推理思考一樣可靠.

（3）能結合實際完善圖形，發(fā)現(xiàn)思路.在視覺與分析的基礎上，反思、抽象、調整并逐漸完善成包含眾多要素及其結構關系的幾何模型，這種模型往往是深度“壓縮”的結果，能在應用時通過其中的部分成分快速觸發(fā)其它成分，分離或完善出相關模型，整體的發(fā)現(xiàn)、分析與思考問題，實現(xiàn)圖形推理.

通常一個圖形都是由幾個基本的子圖形組成的.解題的關鍵是依賴視覺直觀把其中關鍵的子結構區(qū)分出來.觀察圖形和分離子結構時，不需要明顯的知識（定義、定理），其中包含了視覺理解和推理.視覺導致了觀察方向和重心的變化.

案例1 在相似形的學習中，常遇到圖1－1所示兩個基本圖形（結合其形狀特征分別命名為“A形圖”和“Z形圖”），用來解決“線段之比”問題.

問題 （2013年河北·晉州一模）如圖1－2所示，△ABC中，AD∶DC＝1∶3，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F.求BF∶FC的值.

分析 觀察題、圖特征，由于BF∶FC是同一直線上的兩線段之比，可考慮過A、B、C、D、E、F這些點作平行線，完善出上述基本圖，從而使問題順利獲解.

點評 法1完善并分離出兩個“A形圖”，法2完善并分離出兩個“Z形圖”，法3完善并分離出一個“A形圖”和一個“Z形圖”.幾何直觀的視覺選擇與推理功不可沒.

案例2 （2013年江西·南昌中考）某數(shù)學活動小組在作三角形拓展圖形與研究時，經(jīng)歷了如下過程：

操作發(fā)現(xiàn)

在等腰△ABC中，AB＝AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2－1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是________

①AF＝AG＝AB； ②MD＝ME；

③整個圖形是軸對稱圖形； ④∠DAB＝∠DMB.

數(shù)學思考

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2－2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關系？請給出證明過程.

類比探索

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖2－3所示，M是BC的中點，連接MD和ME， 試 判 斷 △MED的形狀.

分析 常規(guī)思路自然是按部就班，依次完成題目設問，且通常是分別對MD和ME的數(shù)量關系和位置關系予以說明.換一個路子，從視覺上看，探究“MD和ME的數(shù)量和位置關系”相當于探究“△DME的形狀”，而看上去 △DME象是“等腰直角三角形”，若能證出“∠MDE＝∠MED＝45°”，則問題得以突破.

如圖2－2，取AB、AC的中點F、G，連結DF、FM、EG、GM、DE.由于∠FDA＝∠GEA＝45°，于是轉為證 ∠ADE＝ ∠FDM，∠AED＝∠GEM.設AB＝2a，AC＝2b，易得MG＝DF＝a，MF＝EG＝b，AD＝，AE＝，于是.又易證∠DAE＝270°－∠BAC＝（180°－∠BAC）＋90°＝∠AFM＋∠AFD＝∠DFM，于是△DAE∽ △DFM，故 ∠ADE＝ ∠FDM.同理可證∠AED＝∠GEM.到此，思路被打通.將條件作此深化，則第（1）問自然得證.

將之遷移到圖2－3中，易知 ∠FDA＝∠GEA＝45°，于是轉為證 ∠ADE＝ ∠FDM，∠AED＝∠GEM.仍設AB＝2a，AC＝2b，可得MG＝DF＝a，MF＝EG＝b，AD＝，AE＝，于是.又易證∠DAE＝（∠DAB＋∠EAC）－ ∠BAC＝90°－ ∠BAC＝90°－∠MFB＝ ∠DFM，于是 △DAE∽ △DFM，故∠ADE＝∠FDM.同理可證∠AED＝∠GEM.思路再次被打通.

點評 如此處理，顯然超出了命題人所料，是極具創(chuàng)新味道的.其中到處都是角和線段關系的轉化，能夠順利打開思路完全是運用幾何直觀的結果，圖形推理的價值由此可見一斑.

層次Ⅱ 實施和進行深入靈活的幾何探索——視覺與思維共行

此時，幾何直觀活動過程已經(jīng)從以視覺直觀水平為主上升到“圖形－分析”水平，表現(xiàn)出以下特征：

（1）能結合圖形特征思考，具備良好的觀察力.“觀察”，觀為看，察為思.能通過幾何圖形性質，即圖形的組成部分和這些組成部分之間的關系，結合圖形外在結構特征，來感知（視覺－幾何直觀成分）和分析（思維－邏輯推理成分）圖形.

（2）能靈活進行合情推理，具備良好的探索力.透過觀察所得，發(fā)現(xiàn)圖形的構造特征，在外部操作或頭腦中操作的支持下，對圖形進行改造、變化或重組，如發(fā)現(xiàn)圖形是否能在一定程度上動態(tài)變化，設計圖形變化過程中的特殊情形，測量、比較圖形，進而猜測和歸納圖形的性質，探索問題，發(fā)現(xiàn)結論.其特征是在視覺的基礎上，進行模擬和猜想.

（3）能因題制宜構造分析，具備一定的創(chuàng)造力.能夠在心理上操作、旋轉、翻折或逆轉幾何對象，并能感受和想象操作過程中元素之間的數(shù)量與位置關系的變化，出現(xiàn)視覺的彈性與跳躍、組合與分析，既能注意把握整體，又不忽視細節(jié)，從多層面上捕捉有效信息，廣泛地對比、聯(lián)想，構造、完善圖形，啟示或產(chǎn)生創(chuàng)造性的方法.

案例3 （2013年山東·棗莊中考）從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個棱長為1的小正方體，得到一個如圖3所示的零件，則這個零件的表面積為________.

分析 整體觀察圖形，在頭腦中借助“平移”實現(xiàn)對問題解決過程的優(yōu)化，把求“表面積”的問題轉化成求“從上、下、左、右、前、后六個方向看到的視圖面積之和”的問題，則極易得到這個零件的表面積為6×（2×2）＝24.

點評 此時，視覺操作雖然沒有顯示到卷面上，但卻成為解題的關鍵，甚至能將問題拓展為：只要是從毛坯的一角，挖去任意一個長方體，則其表面積均為24，是不變的.幾何直觀的趣味性油然而生.

案例4 （2013山東·臨沂中考）如圖，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC、BD的交點處，以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB、BC所在的直線相交，交點分別為E、F.（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖4－1，則的值為__________；（2）現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉α（0°＜α＜60°）角，如圖4－2，求的值；（3）在（2）的基礎上繼續(xù)旋轉，當60°＜α＜90°，且使AP∶PC＝1∶2時，如圖4－3，的值是否變化？證明你的結論.

點評 此例之解決，在下筆之前，已然在頭腦中完成了對圖形的操作與轉化，預測到繼續(xù)實施程序操作成功的可能性.幾何直觀先行于書寫中的推理與表達.

層次Ⅲ 成為分析解決問題的有效工具——抽象與形象互輔

透過物理世界和直觀經(jīng)驗建構幾何圖形，聯(lián)系性質、概念、定理，達到幾何直觀的運用已達成熟階段：

（1）有效分離出具有特殊性質或熟悉的基本圖形，突破問題.

（2）善于構造幾何模型，變更命題.

（3）能夠全面認知圖形，隨機應變.對圖形已經(jīng)形成動態(tài)觀察和理解的習慣，頭腦中操作的是一般化圖形，以及相應的元素和結果后面隱藏的結構和關系.

案例5 （2013年江蘇·連云港中考）小明在一次數(shù)學興趣小組活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：

問題情境 如圖5－1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F.求證：S四邊形ABCD＝S△ABF.（S表示面積）

問題遷移 如圖5－2，在已知銳角∠AOB內有一定點P.過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N.小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值.請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由.

實際應用 如圖5－3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部門計劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區(qū)△MON.若測得∠AOB＝66°，∠POB＝30°，OP＝4km，試求 △MON的面積.（精確到0.1km2.參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25≈1.73）

拓展延伸 在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B、C、P的坐標分別為（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形的面積的最大值.

分析 題目呈現(xiàn)出明顯的從模型逐步推向應用的構題模式，能否在視覺和心理上發(fā)現(xiàn)和完成對圖形的調整、完善，并化歸為模型是解題的關鍵.圖5－1對應問題情境即是本題的模型，容易完成證明.圖5－2中，當P為MN中點時，S△MON最小.思路即是化歸為模型：過點P作另外一條直線EF交OA、OB于點E、F，不妨設PE＞PF，過點M作MG∥OB交EF于G.由“模型”知，當P為MN中點時，S△MON＝S四邊形MOFG，由于S△EOF＞S四邊形MOFG，所以S△EOF＞S△MON，即當P為MN中點時，S△MON最小.此時，圖5－2成為新的模型，將之遷移到圖5－3中，可知當PM＝PN時，△MON符合要求，進而結合所給數(shù)據(jù)，借助圖中輔助線，利用三角形中位線性質得S△MON值.“拓展延伸”應分作兩種情形考慮：①如圖5－4，完善圖形，當PM＝PN時，S△DMN最小，此時S四邊形OANM最大，結合所給數(shù)據(jù)，利用三角形中位線性質，可得其值為10；②如圖5－5，完善圖形，當PM＝PN時，S△TMN最小，此時S四邊形OCMN最大，結合所給數(shù)據(jù)，先得直線BC解析式、點T坐標、S△TOC值；結合點P的坐標，利用三角形中位線性質，可得點M坐標，進而可得S四邊形OCMN＝8.25，故截得四邊形面積的最大值為10.

點評 視覺的靈活性和敏捷性是順利實現(xiàn)化歸為模型的前提.

2 幾何直觀的教學建議

結合幾何直觀能力的形成過程和運用特點，提出以下教學建議：

（1）在內容學習方面，要發(fā)展幾何直觀能力，教學時應借助實物或圖形，直觀引入幾何概念和深化對幾何命題的理解.通過設計有效的變式練習，形成對線、角等幾何基本要素的“（位置和數(shù)量）關系感”，以及對圖形空間形狀和大小的感覺，這是建立幾何直觀、形成幾何意象的基礎.通過動手或心智操作，借助實物或圖形直觀，在視覺認知的基礎上，加強圖形和語言符號的聯(lián)系，活化命題理解，深化命題的縱橫聯(lián)系，形成命題網(wǎng)絡，完善心理圖式.對于一些具有數(shù)、形雙重身份特征的概念，更要注重揭示數(shù)和形的聯(lián)系，互輔互釋，雙向升華，把幾何直觀和數(shù)式精確的特征融合到對研究對象的理解之中.

（2）在知識運用方面，要發(fā)展幾何直觀能力，教學時應幫助學生樹立運用幾何直觀的意識，養(yǎng)成借助圖形推理的習慣.生動的幾何推理往往關系到公式和符號后面的意義.幾何直觀以直覺、想象和現(xiàn)實經(jīng)驗為基礎，為了描述和交流信息的需要，為思考和形成新觀念的需要，為深入理解的需要，在頭腦中，或在紙上，或利用技術工具，繪出并解釋圖形、圖象和圖表，其中伴隨著能力的發(fā)展.通過有意設計，如利用折紙、動手操作幾何對象、幾何畫板演示等手段，讓學生經(jīng)歷從有意識地感受與運用，到自覺運用，再到自動化運用幾何直觀理解與解決數(shù)學問題的過程，從外部操作逐漸過渡到心智操作，幾何直觀意識才能逐步樹立起來，并內化為個體進行數(shù)學活動的一種品質或習慣，如善于借助幾何圖形把抽象的問題直觀化；善于發(fā)現(xiàn)圖形中的結構特征，從中抽取出數(shù)量、形狀、位置、變換等關系；產(chǎn)生“完善圖形”的沖動，分割、補充圖形，使之呈現(xiàn)出“標準”或“熟悉”的狀態(tài)，猜想出一般結論，實現(xiàn)合情推理到演繹推理的自然過渡；鼓勵創(chuàng)新，從多角度感知、認識和分析圖形，獲得獨特見解.在此過程中，要注意由幾何直觀引發(fā)的想當然型失誤：

案例6 求證：所有的三角形都是等腰三角形.

且看證明過程：如圖6，△ABC是任一三角形.作∠A的平分線AO與BC的中垂線OH（垂足為H）相交于點O；過點O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N；連結OB、OC，易 知 ∠OAM＝∠OAN，∠OMA＝ ∠ONA＝ 90°，OM＝ON， 則△OAM≌ △OAN，于是有AM＝AN；由OH為BC的中垂線，得OB＝OC，結合OM＝ON，可得Rt△OMB≌Rt△ONC，則MB＝NC；繼而可得，AM＋MB＝AN＋NC，即AB＝AC.

點評 如此荒謬的結論和看似毫無漏洞的證明過程，形成鮮明的對比.問題在哪里？如果作圖準確的話，點O應在△ABC外！這一點提醒我們，借助幾何直觀解決問題，要避免想當然的視覺判斷，隨意地構造本不存在的圖形.

（3）從教學評價方面看，要發(fā)展幾何直觀能力，應改進評價方法，實施多元評價.在進行命題設計時，要圖文并茂，形（形象）神（抽象）兼?zhèn)?，增加題目的視覺操作成分考查.在評價方法上，可增加過程考查，如進行“出聲”地思考，表達解決幾何問題時觀察與分析的過程：哪些是看（依賴幾何直觀）出來的？哪些是分析（依賴邏輯推演）出來的？用到哪些圖形調整與變換的策略（如把試卷轉動一個角度，或翻過來看試卷的背面，以找到容易觀察或熟悉的角度）.再如，給予操作工具或物體，如剪刀、紙片、正方體塊等，允許進行裁剪、拼接、壘砌等實際動手操作活動，或運用信息技術手段，如幾何畫板等來理解和解決問題，帶來互動性和動態(tài)性的體驗，享受數(shù)學活動的愉悅感，動員非智力因素的參加.

1 中華人民共和國教育部制定.全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2011

2 苑建廣.信息轉化 —— 問題解決的核心策略［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2012.3